이산 코사인 변환 문서 원본 보기

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[[파일:Phalaenopsis fft dct.png|섬네일|2차원 DCT와 [[이산 푸리에 변환|DFT]]의 비교]]

'''이산 코사인 변환''', '''DCT'''(discrete cosine transform)는 [[이산 푸리에 변환]](DFT)과 유사한 변환이다. '''이산여현변환'''(離散餘弦變換)이라고 하기도 한다. 수식적으로는 길이가 두 배이고 실수값을 가지는 [[짝함수]]에 DFT 연산을 수행하는 것과 동일하다. 실수값을 가지는 짝함수의 푸리에 변환도 실수값을 가지는 짝함수이기 때문이다. 입력/출력 데이터를 반 샘플 정도 이동시키는 등 8가지의 변형이 있는데 그중에서 4가지가 널리 사용된다.

가장 널리 쓰이는 변형 DCT 알고리즘은 type-II DCT인데, 이것을 그냥 "DCT"라고 부르는 경우가 많다. 이것의 역변환이 type-III DCT인데 마찬가지로 단순히 "역DCT"혹은 "IDCT"라고 부른다.

DCT와 연관된 변환은 두 가지가 있다. [[이산 사인 변환]] (DST)은 실수 값을 가지는 홀함수의 DFT와 동일하며, [[변형 이산 코사인 변환]] (MDCT)은 다른 하나는 겹치는 데이터를 사용한다.

== 응용 ==
실수 신호에 대하여, 변환 결과물이 복소수로 나오는 DFT와는 달리 실수로만 결과물이 나오기 때문에, 처리하기가 간편하여 신호처리 및 영상처리에 널리 사용한다. 특히 신호의 에너지 성분 대부분이 저주파 성분 일부에 집중되는 '에너지 집중 현상'을 가지고 있기 때문에, [[손실 압축]]에 널리 사용한다. 예를 들어, [[JPEG]] 영상 압축, [[MJPEG]], [[MPEG]], [[DV (비디오 포맷)|DV]] 동영상 압축등에서 DCT를 사용한다. ''N'' × ''N'' 블록에 2차원 DCT-II을 적용하고, 결과값을 [[양자화 (신호처리)|양자화]]하고 [[엔트로피 부호화]]한다. 이때, ''N''값은 보통 8이며 이 블록의 행과 열에 DCT-II 공식을 적용한다. 결과값은 8 × 8 변환 계수 행렬이며, (0,0) 원소는 (주파수가 0인) 직류 성분이고 나머지 성분은 점점 주파수가 커지는 순서로 배열된다.

[[파일:Example dft dct.svg|섬네일|350px|오른쪽|2차원 DCT와 [[이산 푸리에 변환|DFT]]의 비교]]

변형 이산 코사인 변환 (modified discrete cosine transform, 줄여서 [[MDCT]])는 [[고급 오디오 부호화|AAC]], [[Vorbis]], [[MP3]] 등의 오디오 압축에 사용한다. DCT는 [[편미분 방정식]]을 푸는데도 사용할 수 있다.

== 엄밀한 정의 ==
이산 코사인 변환은 역함수가 존재하는 [[선형]]함수 ''F'' : '''R'''<sup>''N''</sup> → '''R'''<sup>''N''</sup>이다. ('''R'''은 [[실수]]의 집합이다.) 또는 ''N'' × ''N'' [[정사각행렬]]로 나타낼 수도 있다. DCT의 정의는 약간씩 다를 수 있다. 아래 공식 중 하나를 이용하여 ''N''개의 실수 ''x''<sub>0</sub>, ..., ''x''<sub>''N''-1</sub>가 ''N''개의 실수 ''f''<sub>0</sub>, ..., ''f''<sub>''N''-1</sub>로 변형한다.

== 역변환 ==
DCT-I의 역변환은 DCT-I에 2/(''N''-1)을 곱한 것이다. DCT-IV의 역변환은 DCT-IV에 2/''N''을 곱한 것이다. DCT-II의 역변환은 DCT-III에 2/''N''을 곱한 것이며, DCT-III의 역변환은 DCT-II에 2/''N''을 곱한 것이다.

[[이산 푸리에 변환|DFT]]과 마찬가지로, 관습적으로 변환 공식 앞에 일정한 수를 곱해서 정규화하는 경우가 있는데 이를 따르지 않는 경우도 많다. 예를 들어, 어떤 사람들은 역변환 공식 앞에 곱하는 수를 없애기 위해서 변환 공식 자체에 <math>\sqrt{2/N}</math>를 곱하기도 한다.

== 계산 ==
공식을 그대로 적용하면 O(''N''<sup>2</sup>)의 연산이 필요하지만, [[고속 푸리에 변환]](FFT)과 마찬가지로 계산 과정을 분해하여 O(''N'' log ''N'')만큼의 연산으로 계산할 수도 있다. O(''N'')만큼의 전처리 및 후처리 과정을 통해 DCT를 FFT로 변환하여 계산할 수도 있다.

== 같이 보기 ==
* [[이산 웨이블릿 변환]]
* [[JPEG]]
* [[푸리에 관련 변환의 목록]]
* [[수정 이산 코사인 변환]]

== 외부 링크 ==
* [https://web.archive.org/web/20060821030321/http://f-cpu.seul.org/whygee/dct_fc0/dct_fc0.html 소스 코드]

[[분류:디지털 신호 처리]]
[[분류:푸리에 해석학]]
[[분류:H.26x]]
[[분류:이산 변환]]