이산 값매김환 문서 원본 보기

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[[가환대수학]]에서 '''이산 값매김환'''(離散-環, {{llang|en|discrete valuation ring}}, 약자 DVR) 또는 '''이산 부치환'''(離散付値環)은 정확히 하나의 0이 아닌 [[극대 아이디얼]]을 갖는 [[주 아이디얼 정역]]이다. 대수기하학적으로, [[대수 곡선]]의 [[특이점 (대수기하학)|비특이점]]에서의 [[국소환]]을 나타낸다. 그 [[분수체]]의 원소는 ‘[[유리형 함수]]’의 ‘싹’에 해당하며, [[원점]](유일한 닫힌 점)에서의 ‘극점’ (또는 ‘영점’)의 ‘차수’를 정의할 수 있다. 이 차수는 정수 값이며, 이산 값매김환의 '''값매김'''이라고 한다.

== 정의 ==
<math>R</math>가 [[정역]]이라고 하자. 편의상, <math>R</math>가 만족시킬 수 있는 다음 조건들을 정의하자.
* (N) [[뇌터 환]]이다.
* (LR): [[국소환]]이다.
* (Ded): [[데데킨트 정역]]이다. (이는 (N)을 함의한다.)
* (UFD): [[유일 인수 분해 정역]]이다. ((Ded) + (UFD)는 [[주 아이디얼 정역]]이라는 것과 같다. 또한, (Ded) + (UFD) + (NF) = (UFD) + (1D)이다.)
* (NF) [[체 (수학)|체]]가 아니다.
* (1D) [[크룰 차원]]이 1이다. (이는 (NF)를 함의한다.)
* (VR) [[값매김환]]이다. (이는 (L)을 함의한다.)

그렇다면, [[정역]]에 대하여 다음 조건들은 모두 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 정역을 '''이산 값매김환'''이라고 한다.
* (VR) + 값군이 <math>\mathbb Z</math>와 동형이다.<ref name="Matsumura"/>{{rp|78}}
* (VR) + (N) + (NF)<ref name="Matsumura">{{서적 인용|이름=Hideyuki|성=Matsumura|기타=Miles Reid 역|총서=Cambridge Studies in Advanced Mathematics|권=8|제목=Commutative ring theory|출판사=Cambridge University Press|날짜=1989-06|isbn=978-0-521-36764-6|doi=10.1017/CBO9781139171762|mr=1011461|판=2|언어=en}}</ref>{{rp|78, Theorem 11.1(3)}}
* (L) + (Ded) + (NF)
* (L) + (N) + (NF) + [[극대 아이디얼]]이 [[주 아이디얼]]이다.<ref name="Matsumura"/>{{rp|79, Theorem 11.2(3)}}
* (L) + (N) + (1D) + [[정수적으로 닫힌 정역]]이다.<ref name="Matsumura"/>{{rp|79, Theorem 11.2(4)}}
* (1D) + [[정칙 국소환]]이다.<ref name="Matsumura"/>{{rp|106}}
* (UFD) + (Ded) + 유일한 0이 아닌 [[소 아이디얼]]을 가진다.
* (UFD) + (Ded) + [[환의 스펙트럼|스펙트럼]]이 [[시에르핀스키 공간]]과 [[위상 동형]]이다.
* (UFD) + ([[가역원]]과의 곱에 대한) 유일한 [[기약원]] [[동치류]]를 가진다.

== 성질 ==
=== 함의 관계 ===
모든 이산 값매김환은 [[유클리드 정역]]을 이룬다.

=== 연산에 대한 닫힘 ===
이산 값매김환 <math>(D,\mathfrak m,\kappa)</math>의 [[완비화 (환론)|완비화]]
:<math>\hat D = \varprojlim_{n\to\infty} \frac D{\mathfrak m^n}</math>
역시 이산 값매김환이다. 

=== 원소의 구조 ===
이산 값매김환 <math>(D,\mathfrak m,\kappa)</math>의 원소 <math>t\in D</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이 조건을 만족시키는 원소를 '''균등화원'''({{llang|en|uniformizing element}})이라고 한다.
* <math>(t) = \mathfrak m</math>이다. 즉, 유일한 [[극대 아이디얼]] <math>\mathfrak m</math>은 <math>t</math>로 생성되는 [[주 아이디얼]]이다. (이산 값매김환은 [[주 아이디얼 정역]]이므로 이러한 원소는 항상 존재한다.)
* <math>t</math>는 <math>D</math>의 [[기약원]]이다. (즉, 가역원 또는 0이 아닌 두 원소의 곱으로 표현될 수 없다. 이산 값매김환은 [[정역]]이므로 이 개념이 잘 정의된다.)
균등화원은 항상 존재하지만, 일반적으로 유일하지 않을 수 있다. 균등화원 <math>t</math>의 경우, 임의의 <math>m,n\in\mathbb N</math>에 대하여
:<math>\forall m,n\in\mathbb N \colon \left( m = n \iff t^m = t^n \right)</math>
이다. 즉, 균등화원의 서로 다른 [[자연수]] 지수의 거듭제곱은 항상 서로 다르다.

이산 값매김환 <math>(D,\mathfrak m,\kappa)</math>의 균등화원 <math>t\in D</math>이 주어졌을 때, <math>D</math>의 모든 [[아이디얼]]과 모든 원소는 다음과 같이 표준적으로 분류된다.
* <math>D</math> 속의 모든 [[아이디얼]]은 <math>(0)</math>이거나 또는 어떤 <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여 <math>(t^n)</math>의 꼴이다. (여기서 물론 <math>(t^0) = D</math>이다.)
* <math>D</math> 속의 모든 0이 아닌 원소 <math>x\in D \setminus\{0\}</math>는 다음과 같이, [[가역원]]과 <math>t</math>의 거듭제곱의 곱의 꼴로 유일하게 표현된다.
*:<math>x = at^{\nu(x)} \qquad(a\in D^\times)</math>
즉, 이산 값매김환의 [[곱셈]] 구조는 그 [[가역원군]] <math>D^\times</math>으로서 완전히 결정된다. 물론, [[가환환]]은 곱셈과 덧셈으로 정의되며, 환의 덧셈 구조는 이와 별개의 데이터이다.

=== 대수 곡선의 비특이점의 국소환 ===
이산 값매김환은 1차원 [[정칙 국소환]]이므로, [[대수기하학]]에서 이산 값매김환은 [[대수 곡선]] (1차원 [[스킴 (수학)|스킴]]) <math>X</math>의 닫힌 비특이점 <math>x\in X</math>에서의 [[줄기 (수학)|줄기]] <math>\mathcal O_{X,x}</math>이다.

특히, [[대수적으로 닫힌 체]] 위의 대수다양체의 경우는 다음과 같다.
<math>k</math>가 [[대수적으로 닫힌 체]]라고 하고, <math>C</math>가 <math>k</math> 위의 [[대수 곡선]](1차원 [[대수다양체]])이며, <math>x\in C</math>가 [[특이점 (대수기하학)|특이점이 아닌 닫힌 점]]이라고 하자. 그렇다면, [[국소환]] <math>\mathcal O_{C,x}</math>은 이산 값매김환이며, 포함 관계
:<math>k\subsetneq\mathcal O_{C,x}\subsetneq \mathcal K(C)</math>
가 성립한다. 또한, <math>k</math>는 <math>\mathcal O_{C,x}</math>에서 [[값매김]]이 0 또는 <math>\infty</math>인 원소들로만 구성된다.

반대로, <math>k</math>가 [[대수적으로 닫힌 체]]이며, <math>D\supsetneq k</math>가 이산 값매김환이며, <math>k</math>의 원소들의 값매김이 0 또는 <math>\infty</math>라고 하자. 그렇다면 <math>D</math>는 유리 함수체 <math>\operatorname{Frac}D</math>를 갖는 어떤 <math>k</math> 위의 [[대수 곡선]]의 특이점이 아닌 닫힌 점에서의 국소화이다.<ref name="Hartshorne">{{서적 인용 | 이름=Robin|성=Hartshorne| 날짜 = 1977|제목=Algebraic geometry|저자링크=로빈 하츠혼|출판사=Springer| isbn =  978-0-387-90244-9|mr=0463157 | zbl = 0367.14001 | 언어=en|doi=10.1007/978-1-4757-3849-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=52|issn=0072-5285}}</ref>{{rp|42, Corollary I.6.6}} 구체적으로, <math>a\in D\setminus k</math>라고 하고, [[다항식환]] <math>k[a]</math>의 <math>D</math> 속에서의 [[정수적 폐포]]를 <math>B</math>라고 하자. 그렇다면, <math>B</math>는 데데킨트 정역이자 <math>K</math> 위의 유한 생성 [[단위 결합 대수]]이며, 따라서 <math>\operatorname{Spec}B</math>는 <math>K</math> 위의 아핀 대수 곡선이다. 또한, <math>D</math>의 극대 아이디얼을 <math>\mathfrak m</math>이라고 하면, <math>\mathfrak m\cap B</math>는 <math>\operatorname{Spec}B</math>의 [[극대 아이디얼]]이며, <math>\operatorname{Spec}B</math>의 <math>\mathfrak m\cap B</math>에서의 [[국소환]]은 <math>D</math>와 동형이다.

=== 위상환의 위상 ===
이산 값매김환 <math>(D,\mathfrak m)</math>은 [[국소 가환환]]이므로 표준적으로 [[위상환]]을 이룬다. 이 위상과 호환되는 다음과 같은 [[거리 함수]]가 존재한다.
:<math>d(x,y) = 
\begin{cases}
\exp(-\nu(x-y)) & x \ne y \\
0 & x = y
\end{cases}</math>
여기서 <math>\nu\colon D \setminus \{0\} \to \mathbb N</math>은 이산 값매김이다.

이 경우, 이산 값매김환 <math>(D,\mathfrak m,\kappa)</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>D</math>는 ([[위상환]]으로서) [[콤팩트 공간]]이다.
* <math>D</math>는 [[완비 거리 공간]]이며, 그 [[잉여류체]] <math>\kappa</math>는 [[유한체]]이다.

=== 스킴 구조 ===
이산 값매김환 <math>(D,\mathfrak m,\kappa)</math>는 ([[국소환]]이므로) 유일한 극대 아이디얼 <math>\mathfrak m</math>을 가지며, ([[크룰 차원]]이 1이므로) [[소 아이디얼]]은 두 개 <math>(0)</math>, <math>\mathfrak m</math>이다. 즉, 이산 값매김환의 [[환의 스펙트럼|스펙트럼]] <math>\operatorname{Spec}D</math>는 두 개의 점을 가진다. 그 가운데 <math>\mathfrak m</math>은 닫힌 점, <math>(0)</math>은 [[일반점]]이다. 특히, <math>\operatorname{Spec}D</math>는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]으로서 [[시에르핀스키 공간]]이다.

이 경우, 이산 값매김환 위의 두 표준적인 [[환 준동형]]
:<math>D \twoheadrightarrow \frac D{\mathfrak m} = \kappa</math>
:<math>D \hookrightarrow \operatorname{Frac}D = K</math>
은 각각 닫힌 점과 [[일반점]]에 대응되는 스킴 사상
:<math>\operatorname{Spec}\kappa \to \operatorname{Spec}D</math>
:<math>\operatorname{Spec}K \to \operatorname{Spec}D</math>
에 해당한다.

== 예 ==
[[데데킨트 정역]]의, 0이 아닌 [[소 아이디얼]]에서의 [[국소화 (환론)|국소화]]는 이산 값매김환이다. 특히, [[대수적 수체]]의 [[대수적 정수환]]은 데데킨트 정역이므로, 대수적 정수환을 0이 아닌 소 아이디얼에서 국소화하여 이산 값매김환의 다양한 예를 얻을 수 있다.
예를 들어, [[정수환]]의 0이 아닌 [[소 아이디얼]] <math>(p)</math>에서의 국소화 <math>\mathbb Z_{(p)}</math>는 이산 값매김환이다.

대표적인 이산 값매김환의 예는 다음과 같다.
{| class=wikitable
! 이산 값매김환 <math>D</math> || 값매김 <math>v</math> || [[극대 아이디얼]] <math>\mathfrak m</math> || [[잉여류체]] <math>D/\mathfrak m</math> || [[분수체]] <math>\operatorname{Frac}D</math>
|-
| [[소수 (수론)|소수]] <math>p</math>에 대한 [[p진 정수|<math>p</math>진 정수환]] <math>\mathbb Z_p=\varprojlim^{n\to\infty}\mathbb Z/(p^n)</math> || <math>p^n\mapsto n,\;m\mapsto 0\;(p\nmid m)</math> || <math>(p)</math> || <math>\mathbb F_p</math> || [[p진수체|<math>p</math>진수체]] <math>\mathbb Q_p</math>
|-
| 정수환의 [[국소화 (환론)|국소화]] <math>\mathbb Z_{(p)}=\{m/n\colon\gcd\{m,n\}=1,\;p\nmid n\}</math> || <math>p^n\mapsto n,\;m\mapsto 0\;(p\nmid m)</math> || <math>(p)</math> || <math>\mathbb F_p</math> || [[유리수체]] <math>\mathbb Q</math>
|-
| [[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 [[형식적 멱급수환]] <math>K[[x]]</math> || <math>x^n\mapsto n</math> || <math>(x)</math> || <math>K</math> || [[형식적 로랑 급수체]] <math>K((x))</math>
|-
| [[국소화 (환론)|국소화]] <math>K[x]_{(x)}=\{p/q\colon p,q\in K[x],\;q(0)\ne0\}</math> || <math>x^n\mapsto n</math> || <math>(x)</math> || <math>K</math> || [[유리 함수체]] <math>K(x)</math>
|-
| 수렴 [[거듭제곱 급수]]환 <math>\{p\in K[[x]]\colon\exists\epsilon>0\forall x\colon|x|<\epsilon\implies p(x)<\infty\},\,K=\mathbb R,\mathbb C</math> || <math>x^n\mapsto n</math> || <math>(x)</math> || <math>K</math> || 원점 근방의 [[유리형 함수]]체
|}

== 같이 보기 ==
* [[국소환]]
* [[값매김환]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Discretely-normed ring}}
* {{nlab|id=valuation ring|title=Valuation ring}}

{{전거 통제}}

[[분류:가환대수학]]