이름 (강제법) 문서 원본 보기

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[[집합론]]에서 '''이름'''({{llang|en|name}})은 [[강제법]]에 등장하는, [[집합]]의 개념의 일종의 일반화인 [[누적 위계]]이다. 집합의 경우 무언가가 집합의 원소인지 여부는 참 또는 거짓이지만, 무언가가 이름의 원소인지 여부는 보다 일반적인 [[원순서 집합]] 또는 [[완비 불 대수]]의 원소에 따라 나타내어진다.

== 정의 ==
=== 이름 ===
임의의 집합 <math>X</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 연산
:<math>Q\colon S\mapsto\mathcal P(S\times X)</math>
에 대한 [[누적 위계]]를 <math>X</math>-'''이름 위계'''({{llang|en|hierarchy of <math>X</math>-names}})라고 하며,<ref name="Kunen"/>{{rp|188, Definition VII.2.5}} <math>\operatorname{Name}_{X,\alpha}</math>로 표기한다. 이 개념은 [[강제법]]에 핵심적으로 사용된다.

임의의 두 이름 <math>\sigma,\tau\in\operatorname{Name}_X</math>에 대하여, <math>\sigma\in\tau</math>의 "참·거짓 여부"는 다음과 같은 <math>X</math>의 부분 집합으로 나타내어진다.
:<math>\{x\in X\colon (\sigma,x)\in \tau\}</math>
즉, 이 경우 참·거짓 여부가 (고전 논리의) 2원소 불 대수 <math>\{\top,\bot\}</math> 대신 [[불 대수]] <math>\mathcal P(X)</math>로 나타내어진다.

임의의 순서수 <math>\alpha</math>에 대하여, 다음과 같은 함수를 정의하자.
:<math>\operatorname{dom}\colon\operatorname{Name}_{X,\alpha}\to\mathcal P(\operatorname{Name}_{X,\alpha})</math>
:<math>\operatorname{dom}(\tau)=\{\sigma\colon(\sigma,x)\in X\}</math>

=== 좋은 이름 ===
[[원순서 집합]] <math>(X,\lesssim)</math>와 <math>P</math>-이름 <math>\tau</math>가 주어졌다고 하자. 또한, 함수 <math>f\colon\operatorname{dom}\tau\to\mathcal P(X)</math>의 [[치역]]의 모든 원소가 <math>P</math>의 [[강상향 반사슬]]이라고 하자. 이 경우, 다음과 같은 이름을 구성할 수 있다.
:<math>\sigma=\{(\tau',x)\colon \tau'\in\operatorname{dom}\tau,\;x\in f(\tau')\}</math>
이러한 꼴의 이름을 <math>\tau</math>에 대한 '''좋은 이름'''({{llang|en|nice name}})이라고 한다.<ref name="Kunen"/>{{rp|208, Definition VII.5.11}}

특히, <math>\tau</math>에 대한 좋은 이름 <math>\sigma</math>가 주어졌을 때, 다음이 성립한다.
:<math>\operatorname{dom}\sigma\subseteq\operatorname{dom}\tau</math>

== 성질 ==
=== 범주론적 성질 ===
임의의 순서수 <math>\alpha</math>에 대하여, <math>\operatorname{Name}_{-,\alpha}\colon\operatorname{Set}\to\operatorname{Set}</math>는 [[함자 (수학)|함자]]를 이룬다. 구체적으로, 임의의 함수 <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여,
:<math>\operatorname{Name}_{f,\alpha}\colon N\mapsto
\{
\left(\operatorname{Name}_{f,\beta}(a),f(x)\right)
\colon (a,x)\in N,\;a\in \operatorname{Name}_{X,\beta},\;\beta<\alpha
\}
</math>
이다.

보다 일반적으로, <math>\operatorname{Rel}</math>이 집합과 [[이항 관계]]의 [[범주 (수학)|범주]]일 때, 다음과 같은 함자가 존재한다.
:<math>\operatorname{Name}_{-,\alpha}\colon\operatorname{Rel}\to\operatorname{Set}</math>
:<math>\operatorname{Name}_{R,\alpha}\colon\sigma\mapsto
\{
\left(\operatorname{Name}_{R,\beta}(\tau),y\right)
\colon (\tau,x)\in\sigma,\;(x,y)\in R\}</math>

임의의 부분 집합 <math>S\subseteq X</math> 및 [[한원소 집합]] <math>\{\bullet\}</math>에 대하여, 다음과 같은 이항 관계 <math>R_S</math>를 생각하자.
:<math>(x,\bullet)\in R_S\iff x\in S</math>
그렇다면, 함수
:<math>\operatorname{Name}_{R_S}\colon\operatorname{Name}_X\to\operatorname{Name}_{\{\bullet\}}\cong V</math>
를 생각하자. 이를 <math>X</math>-이름의 <math>S</math>-'''해석'''이라고 하며,
:<math>\operatorname{val}_S\colon\operatorname{Name}_X\to V</math>
로 표기한다.<ref name="Kunen"/>{{rp|189, Definition VII.2.7}}

[[강제법]]에서, <math>\operatorname{val}_S(u)</math>는 [[포괄적 순서 아이디얼]] <math>S</math>를 사용하여 정의한 확장된 원소를 나타낸다.

=== 모형 이론적 성질 ===
이름의 개념은 [[ZFC]]의 [[표준 추이적 모형]]에 대하여 [[절대 논리식|절대적]]이다.<ref name="Kunen">{{서적 인용|title=Set theory: an introduction to independence proofs|url=https://archive.org/details/settheoryintrodu0000kune|성=Kunen|이름=Kenneth|저자링크=케네스 쿠넌|publisher=North-Holland|year=1980|isbn=0-444-85401-0|언어=en}}</ref>{{rp|188, §VII.2}} 즉, [[ZFC]]의 [[표준 추이적 모형]] <math>M</math> 및 <math>X\in M</math> 및 집합 <math>\tau\in M</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
:<math>\left(M\models(\tau\in\operatorname{Name}_X)\right)\iff \tau\in\operatorname{Name}_X</math>
다시 말해, <math>(\operatorname{Name}_X)^M=\operatorname{Name}_X\cap M</math>이다. 마찬가지로, 좋은 이름의 개념은 [[절대 논리식|절대적]]이다.<ref name="Kunen"/> 

[[ZFC]]의 [[표준 추이적 모형]] <math>M</math> 및 [[원순서 집합]] <math>X\in M</math> 및 두 이름 <math>\mu,\sigma\in M\cap\operatorname{Name}_X</math>에 대하여, 다음이 성립하는 <math>\sigma</math>-좋은 이름 <Math>\tau</math>가 존재한다.
:<math>\forall x\in X\colon x\Vdash (\mu\subseteq\sigma\implies \mu=\tau)</math>
다시 말해, 임의의 <math>X</math>의 [[포괄적 순서 아이디얼]] <math>G</math> 및 <math>\sigma\in\operatorname{Name}_X\cap M</math> 및 <math>S\in \mathcal P(\operatorname{val}_G(\sigma))\cap M[G]</math>에 대하여, <math>\operatorname{val}_G(\tau)=S</math>인 <math>\sigma</math>-좋은 이름 <math>\tau</math>가 존재한다. (그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 즉, 만약 <math>\tau</math>가 <math>\sigma</math>-좋은 이름일 때, <math>\operatorname{val}_G(\tau)\subseteq\operatorname{val}_G(\sigma)</math>일 필요는 없다.<ref name="Kunen"/>{{rp|209}})

== 예 ==
만약 <math>X</math>가 [[공집합]]이라면 <math>\operatorname{Name}_\varnothing=\{\varnothing\}</math>이다.

만약 <math>X</math>가  [[한원소 집합]]이라면 <math>Q</math>는 [[멱집합]] 연산과 동형이며, 이름 위계는 [[폰 노이만 전체]]와 동형이다. 이에 따라 이름 위계는 [[폰 노이만 전체]]의 확장으로 여길 수 있다.

== 각주 ==
{{각주}}

{{전거 통제}}

[[분류:집합론]]
[[분류:모형 이론]]