이국적 초구 모노이드 문서 원본 보기

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[[미분위상수학]]에서 '''이국적 초구'''(異國的超球, {{lang|en|exotic sphere}})는 n차원 [[초구]]와 [[위상 동형]]이지만 [[미분 동형]]은 아닌 다양체를 말한다. 다시 말해 위상적으로는 구와 같지만 [[매끄러움 구조]]가 일반적인 구와 다른 다양체이다.

일반적인 구를 항등원으로, [[연결합]]을 연산으로 놓으면 각 n차원에 대해서 이국적 구는 [[가환 모노이드]]를 이룬다. 이 모노이드는 n=4인 경우를 제외하면 [[유한군|유한]] [[아벨 군]]이 된다.

== 개요 ==
위상수학에서는 어떤 다양체가 단위 n차원 초구 <math>\{ (x_1, x_2, \ldots , x_{n+1}) | x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_{n+1}^2 = 1 \} \in \R^n</math> 사이에 [[위상동형사상]]이 존재하면 그 다양체를 ‘n차원 초구’라 부른다. 한편 미분위상수학에서는 두 다양체 사이에 [[미분동형사상]]이 있으면서 그 사상과 역사상이 무한 번 미분 가능한 [[매끄러운 함수|매끄러운 사상]]일 경우 두 다양체의 매끄러움 구조가 같다고 말한다. 이 때 단위 초구(‘표준 초구’)와 위상동형이지만 매끄러움 구조가 서로 다른 다양체를 ‘이국적 초구’라 부른다.

== 분류 ==

같은 차원의 이국적 초구 두 개를 [[연결합]]을 하면 초구와 위상 동형이 된다. (<math>\mathbb S^n\#\mathbb S^n \cong_{\operatorname{TopMfd}} \mathbb S^n</math>.) 또한 연결합은 [[교환 법칙]]과 [[결합 법칙]]을 따르므로 각각의 n차원 이국적 초구는 [[가환 모노이드]]를 이룬다. 이 가환 모노이드는 <math>n \ne 4</math>일 때 역원이 존재하는 [[아벨군]]이 되며, n차원 호모토피 초구들이 이루는 [[h-보충 경계]]류들의 군 <math>\Theta_n</math>과 동형이 된다.

n=4일 때 초구가 존재하는지, 얼마나 많은지, 모노이드가 어떤 구조인지는 [[수학의 미해결 문제 목록|미해결 문제]]이다.

=== 성질 ===

* <math>\Theta_n</math>은 [[유한군|유한]] [[아벨 군]]이다.
* 표준 매끄러운 [[초구]]는 <math>\Theta_n</math>의 항등원을 이룬다.
* <math>n\in\{0,1,2,3,5,6,12,56,61\}</math>일 때, <math>\Theta_n</math>은 [[자명군]]이다.<ref name="WX">{{저널 인용|이름=Guozhen|성= Wang|이름2= Zhouli|성2= Xu|제목= The triviality of the 61-stem in the stable homotopy groups of spheres |arxiv=1601.02184|날짜=2016|언어=en}}</ref>{{rp|Corollary 1.15}}
* <math>n</math>이 1, 3, 5, 61이 아닌 [[홀수]]라면, <math>|\Theta_n|>1</math>이다.<ref name="WX"/>{{rp|Corollary 1.13}}
* <math>\Theta_7</math>은 크기 28의 [[순환군]]이다.

=== 평행화 가능 다양체 ===

군 <math>\Theta_n</math>의 원소 중 [[평행화 가능 다양체]]의 경계가 될 수 있는 초구들의 집합 <math>bP_{n+1}</math>은 <math>\Theta_n</math>의 부분 [[순환군]]을 이룬다. 그 몫군 <math>\Theta_n / bP_{n+1}</math>의 발견은 [[수술 (수학)|수술 이론]] 발전에 기여했다.

<math>bP_{n+1}</math>는 n이 짝수일 때는 자명군이며, <math>n=4k+1</math>일 때는 원소 1개 또는 2개의 군이다. 언제 2가 되는지는 {{임시링크|케르베르 불변량|en|Kervaire invariant}}과 관련이 있으며 n=125인 경우를 제외하고는 전부 밝혀져 있다. <math>n=4k-1, k \ge 2</math>인 경우
: <math>|bP_{n+1}| = |bP_{4k}| = 2^{2k-2}(2^{2k-1}-1)B</math>
이며, 여기서 B는 <math>4B_{2k}/k</math>의 분모이고 <math>B_{2k}</math>는 [[베르누이 수]]이다. (베르누이 수는 문헌마다 정의가 조금씩 다르다.)

=== 안정 호모토피군과의 관계 ===
몫군 <math>\Theta_n / bP_{n+1}</math>은 {{임시링크|초구의 안정 호모토피군|en|Homotopy groups of spheres}} <math>\pi_n^S</math>과 [[J-준동형]]의 상 사이의 몫군과 관련이 있다. 사상
: <math>\Theta_n / bP_{n+1} \to \pi_n^S / \operatorname{im}(J)</math>
은 단사이며 index가 1 또는 2이다. 언제 2가 되는지는 {{임시링크|케르베르 불변량|en|Kervaire invariant}}과 관련이 있다.

=== <math>\Theta_n</math>의 크기 ===
<math>\Theta_n</math>의 크기는 다음과 같다.

:{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! !! OEIS !! n=1 !! 2 !! 3 !! 4 !! 5 !! 6 !! 7 !! 8 !! 9 !! 10 !! 11 !! 12 !! 13 !! 14 !! 15 !! 16 !! 17 !! 18 !! 19 !! 20
|-
! <math>|\Theta_n|</math>
| [[OEIS:A1676|A1676]]
| 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 28 || 2 || 8 || 6 || 992 || 1 || 3 || 2 || 16256 || 2 || 16 || 16 || 523264 || 24
|-
! <math>|bP_{n+1}|</math>
| [[OEIS:A187595|A187595]]
| 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 28 || 1 || 2 || 1 || 992 || 1 || 1 || 1 || 8128 || 1 || 2 || 1 || 261632 || 1
|-
! <math>\Theta_n / bP_{n+1}</math>
|
| 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 2 || 2×2 || 6 || 1 || 1 || 3 || 2 || 2 || 2 || 2×2×2 || 8×2 || 2 || 24
|-
! <math>\pi_n^s / \operatorname{im}(J)</math>
|
| 1 || 2 || 1 || 1 || 1 || 2 || 1 || 2 || 2×2 || 6 || 1 || 1 || 3 || 2×2 || 2 || 2 || 2×2×2 || 8×2 || 2 || 24
|-
! index
|
| – || 2 || – || – || – || 2 || – || – || – || – || – || – || – || 2 || – || – || – || – || – || –
|}

== 이국적 초구의 구체적인 예 ==
[[존 밀너]]가 발견한 7차원 이국적 초구는 구체적으로 다음과 같다.

[[경계다양체]] <math>\mathbb B^4\times\mathbb S^3\times\{0,1\}</math>를 생각하자. 그 경계는 <math>\mathbb S^3\times\mathbb S^3\times\{0,1\}</math>이다. 3차원 [[초구]]는 단위 [[절댓값]]의 [[사원수]]의 집합 <math>\{x\in\mathbb H\colon |x|=1\}</math>로 여길 수 있다.

이제, 그 경계를 다음과 같이 이어붙이자.
:<math>(a,b,0) \sim (a,a^2b a^{-1}, 1) \qquad (a,b \in \mathbb S^3)</math>
여기서 곱셈은 [[사원수]]의 곱셈이다.

이렇게 하여 얻는 7차원 [[매끄러운 다양체]] <math>X</math>는 7차원 매끄러운 [[초구]]와 [[위상 동형]]이지만, [[미분 동형]]이 아니다. 구체적으로, <math>X</math>는 7차원 매끄러운 초구와 달리 다음과 같은 성질들을 갖는다.
* [[방향 (다양체)|방향]]을 뒤집는 [[미분 동형]] <math>X \to \bar X</math>이 존재하지 않는다. (반면, 매끄러운 [[초구]]의 경우 이것이 간단하게 존재한다.)
* 4차 [[베티 수]]가 0인 8차원 [[매끄러운 다양체|매끄러운]] [[경계다양체]]의 경계가 될 수 없다. (반면, 7차원 매끄러운 [[초구]]는 물론 자명한 [[베티 수]]를 갖는 8차원 공의 경계이다.)

보다 일반적으로, 7차원에서 존재하는 28개의 초구 [[매끄러움 구조]]는 다음과 같다. [[복소수 벡터 공간]] <math>\mathbb C^5=\{(a,b,c,d,e)\colon a,b,c,d,e\in\mathbb C\}</math>에서, 다음 다항식으로 정의되는 복소수 4차원 (실수 8차원) [[대수다양체]]를 생각하자.
:<math>a^2+b^2+c^2+d^3+e^{6k-1} = 0 \qquad(k\in\{1,2,\dotsc,28\})</math>
이제, <math>\mathbb C^5</math>의 원점에서 충분히 작은 9차원 [[초구]]를 생각하자. 9차원 초구와 8차원 다양체의 교집합은 ([[여차원]]이 더해지므로) 7차원 [[매끄러운 다양체]]를 정의한다. 이제, <math>k\in\{1,2,\dotsc,28\}</math>에 대하여 이들은 각각 28개의 7차원 이국적 초구들을 이룬다.

== 역사 ==
[[파일:Edwin Moise Headshot.jpg|thumb|right|에드윈 에버리스트 모이즈]]
[[파일:John Milnor.jpg|thumb|right|[[존 밀너]]]]
1952년에 에드윈 에버리스트 모이즈({{llang|en|Edwin Evariste Moise}}, 1918~1998)가 <math>M_3</math>이 [[자명군]]이라는 사실을 증명하였다.<ref>{{저널 인용 | last1=Moise | first1=Edwin Evariste | title=Affine structures in 3-manifolds. Ⅴ. The triangulation theorem and Hauptvermutung | jstor=1969769 | mr=0048805  | year=1952 | journal=Annals of Mathematics | issn=0003-486X | volume=56 | pages=96–114 |언어=en}}</ref> (2차원 이하의 경우는 자명하다.)

최초의 이국적 초구는 [[존 밀너]]가 1956년에 발견한 7차원 이국적 초구이다.<ref>{{저널 인용|first=John Willard|last= Milnor|저자링크=존 밀너 |title=On manifolds homeomorphic to the 7-sphere|url=https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematics_1956-09_64_2/page/n194|journal= Annals of Mathematics |volume=64|year=1956|issue= 2 |pages=399&ndash;405|mr= 0082103|doi=10.2307/1969983|jstor=1969983|언어=en}}</ref> 이에 대하여 밀너는 훗날 다음과 같이 적었다.
{{인용문2|1950년대 중반에 이러한 [이국적 초구의] 예를 발견하였을 때, 나는 매우 당혹스러웠으며 이것이 무엇을 의미하는지 몰랐다. 처음에 나는 내가 7차원에서 일반화 푸앵카레 추측의 반례를 발견했다고 생각했다. 그러나 조심스럽게 연구한 결과, 이 다양체가 실제로 ''S''<sup>7</sup>와 [[위상 동형]]인 것으로 드러났다. 따라서, ''S''<sup>7</sup> 위에는 표준 [[매끄러움 구조]]와 다른 [[매끄러움 구조]]가 존재한다.
{{lang|en|When I came upon such an example in the mid-50s, I was very puzzled and didn’t know what to make of it. At first, I thought I’d found a counterexample to the generalized Poincaré conjecture in dimension seven. But careful study showed that the manifold really was homeomorphic to ''S''<sup>7</sup>. Thus, there exists a differentiable structure on ''S''<sup>7</sup> not diffeomorphic to the standard one.}}
|<ref>{{서적 인용 | last1=Milnor | first1=John Willard | author1-link=존 밀너 | editor1-last=Mrowka | editor1-first=Tomasz S. | editor2-last=Ozsváth. | editor2-first=Peter S. | title=Low dimensional topology. Lecture notes from the 15th Park City Mathematics Institute (PCMI) Graduate Summer School held in Park City, UT, Summer 2006. | 장url=http://www.math.sunysb.edu/~jack/PREPRINTS/pcity-lec.pdf | publisher=American Mathematical Society | series=IAS/Park City Math. Ser. | isbn=978-0-8218-4766-4  | mr=2503491 | year=2009 | volume=15 | chapter=Fifty years ago: topology of manifolds in the 50’s and 60’s | pages=9–20|언어=en}}</ref>
}}
이후 1963년에 [[미셸 케르베르]]와 [[존 밀너]]가 5차원 이상의 경우 <math>M_n</math>이 [[유한군|유한]] [[아벨 군]]이며, 또한 그 군을 h-보충 경계 이론을 통해 계산할 수 있다는 사실을 증명하였다.<ref>{{저널 인용| ref = harv| first1 = Michel A. | last1 = Kervaire | first2 = John Willard | last2 = Milnor | authorlink2 = 존 밀너 | url = http://www.uni-math.gwdg.de/schick/publ/Groups%20of%20homotopy%20spheres%20I.pdf | title = Groups of homotopy spheres Ⅰ | journal = Annals of Mathematics | volume = 77 | year = 1963 | issue = 3 | pages = 504&ndash;537 | doi = 10.2307/1970128| jstor = 1970128| mr = 0148075 | 언어=en}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[별난 4차원 유클리드 다양체]]
* [[7차원]]
== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Milnor sphere}}
* {{매스월드|id=ExoticSphere|title=Exotic sphere}}
* {{nlab|id=exotic smooth structure|title=Exotic smooth structure}}
* {{nlab|id=7-sphere}}

[[분류:미분위상수학]]