음함수와 양함수 문서 원본 보기

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수학에서 '''양함수'''(explicit function)란, 종속변수와 독립변수들이 분리된 함수를 말한다. 독립변수가 하나일 경우, 양함수는 다음과 같은 형태가 된다.
:<math>y = f(x)</math>
역으로, '''음함수'''(implicit function)는 종속변수가 독립변수와 분리되지 않은 하나의 관계식으로 주어진 함수를 말한다. 독립변수가 하나일 경우, 음함수는 다음과 같은 형태가 된다.
:<math>P(x,y) = 0</math>
음함수를 종속변수에 대해 식을 정리하여 양함수로 만들 수 있는 경우도 있지만, 그렇지 못한 경우도 있다. 이 경우 다가함수(multivalued function)가 된다. 이것은 실질적으로 [[함수]]의 정의에서 벗어나므로 함수가 아니지만 함수처럼 취급하면 편리한 경우가 많으므로 통상 '함수'라는 용어를 쓰고 있다.

[[음함수 정리]](the implicit function theorem)는 특정 조건을 만족하는 음함수는 국지적으로 양함수로 바꿀 수 있다는 정리로서, 음함수와 양함수간의 관계를 설명해준다.

== 양함수와 음함수의 예 ==
몇 가지 예를 통해 음함수와 양함수를 쉽게 이해할 수 있다.

=== 일차함수 ===
다음 함수는 음함수이다.
:<math>2x - y - 1 = 0</math>
이 식을 <math>y</math>에 대해 정리하면 양함수가 된다. 즉,
:<math>y = 2x - 1</math>
기본적으로 음함수로 표현된 모든 일차함수는 양함수로 표현가능하다.

=== 원의 방정식 ===
다음 식은 원점을 중심으로 하는 반지름이 1인 원을 표현한다.
:<math>x^2 + y^2 = 1</math>
이것은 음함수이다. 그러나 하나의 독립변수에 대해 두 개의 종속변수가 할당되므로 이 식은 [[함수]]가 아니다. 본질적으로 이 식은 다음 두 개의 양함수를 합친 것이다.
:<math>y = \pm\sqrt{1-x^2}</math>
이런 의미에서 일종의 함수로서 취급할 수 있고, 따라서 그 미분도 구할 수 있다.

== 음함수의 미분 ==
[[미적분학]]에서 '''음함수의 미분'''(Implicit differentiation)이란, [[연쇄법칙]](Chain rule)을 이용한 미분법을 말한다. 음함수를 양함수로 바꾸지 않고 미분한 다음, <math>\frac {dy} {dx}</math>를 계산한다. 이 결과는 양함수로 바꾼 후에 통상적인 미분을 시행한 결과와 같지만 계산이 수월하다는 장점이 있다. 그러나 경우에 따라 양함수로 먼저 바꾸는 쪽이 더 쉬운 경우도 있다.

=== 예 1 : 일차함수 ===
다음과 같은 음함수를 미분하려고 한다.
:<math>y + 2x = -4</math>
이를 양함수로 바꾸어 미분하면 다음과 같다.
:<math>\frac{dy}{dx} = -2</math>
이번에는 주어진 음함수에 대해 그대로 양변을 미분해보자.
:<math>\frac{dy}{dx} + \frac{d(2x)}{dx} = \frac{d(-4)}{dx}</math>
간단한 미적분학의 지식을 통해 다음과 같이 됨을 알 수 있다.
:<math>\frac{dy}{dx} + 2 = 0</math>
그리하여 양함수를 미분했을 때와 동일한 결과를 얻게 된다.

=== 예 2 : 원의 방정식 ===
[[단위원]]의 방정식이 주어져 있다.
:<math>x^2 + y^2 = 1</math>
양변을 미분하여 다음을 얻는다.
:<math>2x + 2y \cdot \frac{dy}{dx} = 0</math>
<math>y^2</math>을 미분할 때 [[연쇄법칙]](Chain rule)을 이용하였다. 또는 합성함수의 미분이라고 생각해도 좋다.
그래서 정리하면 다음과 같은 결과를 얻는다.
:<math>\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}</math>

== 음함수 정리 ==
{{본문|음함수 정리}}

== 같이 보기 ==
* [[함수 방정식]]
* [[레벨집합]]
* [[한계대체율]]
* [[음함수 정리]]

{{전거 통제}}

[[분류:함수와 사상]]
[[분류:미분학]]
[[분류:다변수 미적분학]]
[[분류:해석학 정리]]