음악 동형 문서 원본 보기

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[[미분기하학]]에서 '''음악 동형'''(音樂同型, {{llang|en|musical isomorphism}})은 [[매끄러운 다양체]]의 [[접다발]]과 [[공변접다발]] 사이의 [[동형 사상]]이다. [[준 리만 다양체]]나 [[심플렉틱 다양체]]의 경우 표준적인 음악 동형이 존재한다.

== 정의 ==
[[매끄러운 다양체]] <math>M</math>의 '''음악 동형'''은 그 [[접다발]] <math>\mathrm TM</math>과 [[공변접다발]] <math>\mathrm T^*M</math> 사이의 [[벡터 다발]] [[동형 사상]]이다. 이는 보통 기호로 다음과 같이 표기된다.
:<math>\flat\colon \mathrm TM\to\mathrm T^*M</math>
:<math>\sharp\colon \mathrm T^*M\to\mathrm TM</math>
:<math>\sharp\circ\flat = \operatorname{id}_{\mathrm TM}</math>
:<math>\flat\circ\sharp = \operatorname{id}_{\mathrm T^*M}</math>

이를 사용하여, [[벡터장]]을 [[1차 미분 형식]]에 대응시킬 수 있으며, 또 그 역도 가능하다. 이는 다음과 같이 표기된다.
:<math>\Gamma(\mathrm TM)\ni X \mapsto X^\flat \in \Gamma(\mathrm T^*M)</math>
:<math>\Gamma(\mathrm T^*M)\ni \alpha \mapsto \alpha^\sharp \in \Gamma(\mathrm TM)</math>

== 성질 ==
=== 존재와 유일성 ===
임의의 [[매끄러운 다양체]]에서, 음악 동형은 항상 존재하지만, 일반적으로 유일하지 않다. (사실, 임의의 매끄러운 다양체 위에는 항상 [[리만 다양체]]의 구조를 줄 수 있다.)

=== 리만 구조 및 심플렉틱 구조와의 관계 ===
음악 동형이 주어졌을 때, 각 점 <math>x\in M</math>에서 접공간 <math>\mathrm T_xM</math> 위에 [[쌍선형 형식]]
:<math>B(-,-) \colon \mathrm T_xM\otimes\mathrm T_xM \to \mathbb R</math>
:<math>B(X,Y) = \langle X^\flat,Y\rangle</math>
이 존재한다.

이 쌍선형 형식은 [[대칭 쌍선형 형식]]일 필요가 없으며, 일반적으로 다음과 같이 대칭 성분과 반대칭 성분으로 분해된다.
:<math>g(X,Y) = \frac{B(X,Y)+B(Y,X)}2</math>
:<math>\omega(X,Y) = \frac{B(X,Y)-B(Y,X)}2</math>
만약 <math>\omega = 0</math>이라면, <math>g</math>는 <math>M</math> 위의 [[준 리만 다양체]] 구조를 정의한다. 마찬가지로, 만약 <math>g=0</math>이라면, <math>\omega</math>는 <math>M</math> 위의 '''준 심플렉틱 다양체'''({{llang|en|almost symplectic manifold}}) 구조를 정의한다. (만약 추가로 <math>\mathrm d\omega = 0</math>이라면, 이는 [[심플렉틱 다양체]] 구조를 이룬다.)

반대로, [[준 리만 다양체]] <math>(M,g)</math>가 주어졌을 때, 음악 동형
:<math>\flat \colon \mathrm TM\to\mathrm T^*M</math>
:<math>\flat|_x \colon v \mapsto g(v,-)\qquad(x\in M,\;v\in\mathrm T_xM)</math>
:<math>\sharp \colon \mathrm T^*M\to\mathrm TM</math>
:<math>\sharp|_x \colon \phi \mapsto g_x^{-1}(\phi)\qquad(x\in M,\;\phi\in\mathrm T_x^*M)</math>
을 정의할 수 있다. 마찬가지로, 준 심플렉틱 다양체 <math>(M,\omega)</math>가 주어졌을 때, 음악 동형
:<math>\flat \colon \mathrm TM\to\mathrm T^*M</math>
:<math>\flat|_x \colon v \mapsto \omega(v,-)\qquad(x\in M,\;v\in\mathrm T_xM)</math>
을 정의할 수 있다.

== 역사 ==
[[파일:Marcel Berger.jpeg|섬네일|[[마르셀 베르제]](1968년)]]
‘음악 동형’이라는 용어는 [[마르셀 베르제]]가 1971년에 이미 사용하였다.<ref>{{서적 인용|제목=Le Spectre d’une variété riemannienne | 이름=Marcel | 성=Berger | 이름2=Paul | 성2=Gauduchon | 이름3=Edmond | 성3=Mazet | doi=10.1007/BFb0064643 | 출판사=Springer-Verlag | issn=0075-8434 | 총서=Lecture Notes in Mathematics |권=194 | 언어=fr}}</ref>{{rp|21}}

‘음악 동형’이라는 용어 및 그 기호는 일종의 말장난이다. 물리학에서는 보통 [[벡터장]]([[접다발]]의 단면)을 윗첨자 <math>X^\mu</math>로, [[1차 미분 형식]]([[공변접다발]]의 단면)을 아랫첨자 <math>X_\mu</math>로 표기한다. 그런데 물리학과 달리 수학에서는 보통 이와 같은 첨자 표기법을 잘 사용하지 않으며, 다른 표기법이 필요하다. 이에 따라, 접다발을 공변접다발에 대응시키는 것은 첨자를 “올리는” 것이므로, 음악의 [[올림표]](♯)를 사용하여 표기하며, 반대로 공변접다발을 접다발에 대응시키는 것은 첨자를 “내리는” 것이므로, 음악의 [[내림표]](♭)를 사용하여 표기한다. 이 두 기호가 음악에서 유래하였으므로 이러한 [[벡터 다발]] [[동형 사상]]에 ‘음악 동형’이라는 이름이 붙었다.

== 같이 보기 ==
* [[쌍대성]]
* [[호지 쌍대]]
* [[벡터 다발]]
* [[내림표]]
== 참고 문헌 ==
{{각주}}
* {{서적 인용 |last=Lee|first= J. M.|title=Introduction to Smooth manifolds|year=2003|publisher=|series=Springer Graduate Texts in Mathematics|isbn=0-387-95448-1|volume=218}}
* {{서적 인용 |last=Lee|first= J. M.|title=Riemannian Manifolds – An Introduction to Curvature|year=1997|publisher=Springer Verlag|location=New York · Berlin · Heidelberg|series=Springer Graduate Texts in Mathematics|volume=176|isbn=978-0-387-98322-6}}
* {{서적 인용 |last1=Vaz|first1=Jayme |last2=da Rocha|first2=Roldão |year=2016 |title=An Introduction to Clifford Algebras and Spinors |publisher=[[옥스퍼드 대학교 출판부|Oxford University Press]] |isbn=978-0-19-878-292-6}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=https://mathoverflow.net/questions/69074/the-origin-of-the-musical-isomorphisms | 제목=The origin of musical isomorphisms | 웹사이트=Math Overflow | 언어=en}}

[[분류:미분기하학]]
[[분류:리만 기하학]]
[[분류:벡터 다발]]
[[분류:심플렉틱 기하학]]