은 비율 문서 원본 보기

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'''은 비율''' 또는 '''백은비'''(白銀比 , Silver ratio)란 두 수중 큰 수의 두 배 그리고 작은 수의 합과 큰 수의 비가 큰 수와 작은 수의 [[비율]]과 일치할 때의 비율을 말한다. 그 값은 1에 루트 2를 더한 것으로 약 2.4142135623이다.<ref>(OEIS)http://oeis.org/A014176</ref>

대수적으로 정의하면 다음과 같다.

:<math> \frac{2a + b}{a} = \frac{a}{b} \equiv \delta_S</math>

또는

:<math> 2 + \frac{b}{a} = \frac{a}{b} \equiv \delta_S</math>

은 비율은 다음과 같은 간단한 [[연분수]] 형태로도 표시할 수 있다.


:<math> 2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}} =\delta_S </math>


[[황금비]]가 [[피보나치 수열]]의 비율의 극한값인 것과 마찬가지로 [[펠 수열]]의 비율의 극한값은 은 비율과 같다.

==수학적 성질==
[[파일:Silver rectangle.svg|섬네일|백은비율 직사각형]]

백은비(은 비율)은  [[2의 제곱근|<math>\sqrt{2}</math>]]와 관련된 [[수학 상수]]로서 <math> 1+\sqrt{2}</math>이다.
:<math> 1:1+\sqrt{2}</math>
로 그 비율이 표현된다.

:백은비율<math> (\delta_S)= {{a}\over{b}} =  {{2a+b}\over{a}}  </math>
[[수론]]및 [[대수학]]에서  큰 경우의 양(<math>a</math>)에대한 작은 경우의 양(<math>b</math>)과의 두 비율이 작은 양과 큰 양의 두 배가 더하여진 경우에대한 큰 양의 비율과 같으면 이것은  백은 비율 (백은비 평균 또는 백은비 상수)이 된다. 이것으로  백은 비율을 [[무리수]]인 [[수학 상수]]로 정의하며,
<!-- 
<math>1</math> 의 값 에  <math>\sqrt{2} </math>를 더한 값  <math>2.4142135623...</math>이다. 이것의 이름은 황금 비율로부터 대응되어 나왔다.  [[황금비|황금 비율]]이 연속 [[피보나치 수]]의 제한 비율과 유사한 방식으로 백은 비율은 연속적인 [[펠 수]](Pell number)의 제한 비율이다. 백은 비율은 <math>{\delta_S}</math>로 표시한다.
-->
:백은비율<math> (\delta_S) =  {{2a+b}\over{a}} = {{a}\over{b}} </math>
:<math> 2+{{b}\over{a}} = {{a}\over{b}} = \delta_S</math>
:<math> 2 + {{1}\over{\delta_S}} = \delta_S </math>
:<math> 2\delta_S +1 ={\delta_S}^2 </math>
:<math>{\delta_S}^2 - 2\delta_S - 1 = 0</math>
:<math>{\delta_S}^2 - 2\delta_S - 1=(\delta_S - 1)^2 -2 </math>
따라서
:<math>(\delta_S - 1)^2 =2 </math>
:<math>\sqrt{(\delta_S - 1)^2} =\sqrt{2} </math>
:<math>\delta_S - 1 =\sqrt{2} </math>
:<math>\delta_S =1+\sqrt{2} </math>
따라서
:<math>\delta_S = 1 + \sqrt{2} = 2.41421356237\dots</math>

수학자 들은 [[2의 제곱근]] 그리고 그 수렴, [[정사각수]]이면서 [[삼각수]]인 [[사각 삼각 수]], [[펠 넘버|펠 (Pell) 수]], [[팔각형]] 등의 연결 문제 때문에 그리스 시대 이후 백은 비율을 연구했다.

==황금비율과 백은비율의 유사성==
황금비율
:<math> {{a+b}\over{a}} = {{a}\over{b}} = \varphi</math>
백은비율
:<math> {{2a+b}\over{a}} = {{a}\over{b}} = \delta_S</math>

==도형속의 백은비==
<table>
<tr>
<td>
[[파일:Silver ratio octagon.svg|120px]] [[파일:Octagon1.png|150px]]
</td>
<td>
<math>\qquad</math>
</td>
<td>
[[파일:Silver spiral approximation.png|150px]]
</td>
</tr>
<tr>
<td>
<math>\qquad</math>정팔각형에서의 백은비
</td>
<td>
<math>\qquad</math>
</td>
<td></td>
</tr>
</table>

* [[황금비]]
* [[펠 방정식]]
* [[금강비|금강비(닮음비)]]
* [[2의 제곱근|<math>\sqrt{2}</math>]]

== 같이 보기 ==
* [[황금비]]
==참고==
{{포털|수학}}
{{각주}}
*([[매스월드]])https://web.archive.org/web/20181227073003/http://mathworld.wolfram.com/SilverRatio.html
*([[OEIS]])http://oeis.org/A014176
*([[OEIS]])http://oeis.org/A179807


[[분류:대수적 수]]
[[분류:무리수]]
[[분류:수학 상수]]
[[분류:비 (수학)]]