융의 정리 문서 원본 보기

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[[기하학]]에서 '''융의 정리'''({{llang|de|Satz von Jung}}, Jung's Theorem)는 [[독일]]의 수학자 [[하인리히 융]](Heinrich Jung)이 1901년에 처음 증명한 정리이다. 이 정리는 주어진 [[지름]]을 갖는 유클리드 공간의 도형에 대하여 그 도형을 덮을 수 있는 최소 반지름의 n-차원 닫힌 구를 찾으려는 노력에서 비롯되었다. 1차원에서는 지름의 반이 되는 닫힌 구를 잡으면 자명하지만, 2차원부터는 그다지 자명한 결과를 얻을 수는 없다. 융의 정리에서 말하는 그 결과는 지름에 대한 반지름 비의 식으로 주어지는데, 이는 도형의 모양에 관계가 없이 '''차원의 수'''에만 의존해서 성립한다는 점에서 놀라운 결과이다.

== 공식화 ==
유클리드 n-차원 공간상의 어떤 [[공집합]]이 아닌 [[집합]] <math>P</math>를 고려하자. 이 집합의 '''지름''' <math>diam(P)</math>를,
* <math>diam(P) = sup\{d(x, y)|x, y \in P\}</math>
로 정의한다. 그러면, 다음과 같은 닫힌 구
* <math>c(B(x, \sqrt{\frac{n}{2(n+1)}}diam(P)))</math>
는 적어도 한 공간상의 어떤 점 <math>x</math>에 대하여 <math>P</math>를 덮는다.

== 경계 조건 ==
n차원 '''[[단체 (수학)|단체]]''', 즉 n-차원에서의 삼각형, 정사면체, 그리고 그것들의 확장 형태에 대해서는 경계 조건이 성립한다.

예컨대 2차원에서의 삼각형을 고려해 보자. 이 삼각형의 지름을 <math>d</math>라고 하면, 이것은 그 한 변의 길이와 같다. [[피타고라스의 정리]]에 의하여 한 꼭짓점에서 다른 변까지의 거리는 <math>\frac{\sqrt3}{2}d</math>이고, 따라서 거기에 <math>\frac{2}{3}</math>을 곱한 것이 한 꼭짓점에서 중심점까지의 거리와 같다. 이것은 <math>\frac{1}{\sqrt3}d</math>이 되는데, 이때 바로 융의 정리에 의하여(n이 2) 이만큼의 반지름을 갖는 닫힌 구라면 삼각형을 덮는 데 정확히 충분함을 알 수 있다. 또, 실제로 이렇게 만들어진 닫힌 구는 삼각형을 덮는다.

== 일반적인 거리 공간 ==
일반적인 [[거리 공간]]에서는 덮개 닫힌 구의 반지름 <math>R</math>과 원 도형의 지름과의 비율이 유클리드 공간에서와 다르게 나온다. 그러나 일반적으로, 항상,
* <math>\frac{diam(P)}{2} \le R \le diam(P)</math>
은 성립한다. 이 부등식은 증명하기 어렵지 않다. 좌측의 경우는 자명하고, 우측의 경우 역시 임의의 <math>p \in P</math>에 대하여,
* <math>c(B(p, diam(P)))</math>
을 잡으면 <math>diam(P)</math>의 정의에 의하여 이 구는 원래 도형을 포함해야 한다.

== 참고 문헌 ==
* Frank Jones, ''Lebesgue Integration on Euclidian Space'', Jones and Bartlett Mathematics, 2001

{{전거 통제}}
[[분류:유클리드 기하학]]
[[분류:기하학 정리]]
[[분류:계량기하학]]
[[분류:기하부등식]]