육만오천오백삼십칠각형 문서 원본 보기

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[[파일:65537-gon.svg|섬네일|[[SVG]] 형식의 육만오천오백삼십칠각형. 거의 [[원 (기하학)|원]]에 가깝다.]]
'''육만오천오백삼십칠각형'''(六萬五千五百三十七角形)은 [[다각형]]의 하나로, 65537개의 [[변 (기하학)|변]]과 65537개의 [[꼭짓점]]을 가진 [[도형]]이다. [[내각]]의 합은 11796300°, [[대각선]]의 개수는 2147450879개이다.

특별한 점이 있다면, 정65537각형은 [[컴퍼스와 자 작도]]가 가능한 도형이다.

== 성질 ==
정65537각형의 형상은 [[변 (기하학)|변]]의 수가 매우 많기 때문에 거의 [[원 (기하학)|원]]에 가깝다. 정65537각형의 외각의 크기는
:<math>\frac{360^\circ}{65537} \approx {0.005493^\circ} \approx 19.775''</math>
이고, 내각의 크기는 약 179.99450692°이다. 반지름이 1인 원에 내접하는 정65537각형의 면적은
:<math>\frac{65537}{2} \sin \frac{2 \pi}{65537} \approx 3.141592648777</math>
이고, 이 원의 면적인 [[원주율]]에 지극히 가까운 수치이다. 한 변의 길이는
:<math>2 \sin \frac{\pi}{65537} \approx 0.00009587</math>
이다. 예를 들면, 가로, 세로 200[[미터]]의 영역에 가능한 크게 정65537각형을 그려도, 한 변의 길이는 1 센티미터 미만(약 9.58 [[밀리미터]])밖에 안 된다.

== 작도 가능성 ==
{{참고|컴퍼스와 자 작도#작도 가능한 정다각형}}
[[65537]]은 <math>2^{2^4}+1</math>의 형태로 알려져 있는 [[페르마 소수]]이다. [[카를 프리드리히 가우스]]는 1801년에 출판한 《[[산술 연구]]》에서 <math>p</math>가 페르마 소수라면 정<math>p</math>각형은 자와 컴퍼스로 작도 가능함을 증명했다. 반대로, 소수 <math>p</math>에 대해서 정<math>p</math>각형이 작도 가능하면 <math>p</math>는 페르마 소수라는 것도 증명했다. 알려져 있는 페르마 소수는 가우스 이전부터
: [[3]], [[5]], [[17]], [[257]], [[65537]] {{OEIS|A19434}}
뿐이며, 이것이 전부라고 예상되고 있다.

정65537각형이 컴퍼스와 자로 작도 가능하다는 일은 [[1의 거듭제곱근|1의 65537제곱근]]
:<math>\cos \frac{2\pi}{65537}+i \sin \frac{2\pi}{65537} \approx 0.9999999954042+0.0000958723362i</math>
의 실수부와 허수부가 모두 [[유리수]]로부터 시작해 사칙연산 및 [[제곱근]]을 취하는 계산을 유한한 횟수로 조합해 표현할 수 있는 것을 의미한다.

== 작도법 ==
가우스는 결과적으로 정65537각형이 작도 가능하다는 것을 증명했지만, 구체적인 작도법을 준 것은 아니다. 그 증명 및 배경을 잘 이해하면 원칙적으로는 작도법을 이끌 수 있지만, 이는 방대한 작업이다. 독일의 [[요한 구스타프 헤르메스]]는 10년의 세월을 걸쳐 정65537각형의 작도법을 조사해 1894년에 계산의 요지만의 보고를 학술지에 발표했다.<ref>{{저널 인용| first=Johann Gustav | last=Hermes | title=Ueber die Teilung des Kreises in 65537 gleiche Teile |language=독일어| journal=Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen, Mathematisch-Physikalische Klasse | location=Gottingen | year=1894 | volume=3 | pages=pp. 170□186 | url=http://www.digizeitschriften.de/resolveppn/GDZPPN002496585}}</ref><ref>{{저널 인용| first=Johann Gustav | last=Hermes | title=Ueber die Teilung des Kreises in 65537 gleiche Teile |language=독일어| journal=Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen, Mathematisch-Physikalische Klasse | location=Gottingen | year=1894 | volume=3 | pages=pp. 170□186 | url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN252457811_1894&DMDID=dmdlog34}}</ref> 200쪽을 넘는 원고는 [[괴팅겐 대학교]]에 보관되어 있다.<ref>{{저널 인용|author=淡中忠郎|year=1982|month=9|title=フェルマー数物語|journal=数学セミナーリーディングス　数の世界|issue=数学セミナー増刊号|pages=68–70|publisher=日本詳論社}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 같이 보기 ==
* [[페르마 수]]
* [[컴퍼스와 자 작도]]

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=65537-gon|title=65537-gon}}

{{다각형}}

[[분류:변의 수에 따른 다각형]]
[[분류:유클리드 평면기하학]]
[[분류:작도가능한 다각형]]
[[분류:카를 프리드리히 가우스]]