유효 작용 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Quantum effective potential convex example.jpg|thumb]]
{{양자장론}}
[[양자장론]]에서 '''유효 작용'''(有效作用, {{lang|en|effective action}})은 고전적인 [[작용 (물리학)|작용]]을 [[양자역학]]적인 효과를 고려하여 수정한 것이다. 고전적인 작용은 고전적 장의 [[범함수]]인데 반해, 유효작용은 양자론적 장의 [[진공 기댓값]] <math>\phi_\text{cl}</math>의 범함수다. 대개 기호 <math>\Gamma[\phi_\text{cl}]</math>로 나타낸다.

[[고전역학]]에서는 [[운동 방정식]]을 [[해밀턴 원리|최소 작용 원리]]로 계산할 수 있다. 그러나 양자론에서는 최소 작용 원리는 단순히 [[경로 적분]]을 근사할 뿐이다. 그러나 고전적 작용을 유효 작용으로 바꾸면 고전적인 경우와 같이 유효 작용에 최소 작용 원리를 사용하여 [[진공 기댓값]]의 운동 방정식을 정확히 계산할 수 있다.

== 정의 ==
샘마당(source field) <math>J</math>에 대한 [[분배 함수]]
:<math>Z[J]=\int\mathcal D\phi\,\exp(iS[\phi]+i\langle J,\phi\rangle)=\int\mathcal D\phi\,\exp\left(\mathrm i\int d^4x\;(\mathcal L[\phi(x)]+J(x)\phi(x))\right)</math>
를 생각하자. 에너지 범함수 <math>E[J]</math>는
:<math>E[J]=i\log Z[J]</math>
와 같이 정의한다. 이는 [[통계역학]]의 [[자유 에너지]]에 해당하는 값이다.

마당 <math>\phi</math>의 [[진공 기댓값]] <math>\phi_\text{cl}=\langle\phi\rangle</math>은 다음과 같이 에너지의 [[도함수]]로 쓸 수 있다.
:<math>\phi_\text{cl}=-\frac{\delta E[J]}{\delta J}</math>.
이 식은 <math>\phi_\text{cl}</math>가 <math>J</math>에 대한 범함수로 주어진다는 것을 의미하는데, 이를 역으로 사용하여 <math>J</math>를 <math>\phi_\text{cl}</math>에 대한 범함수로 간주할 수 있다. 이를 바탕으로 [[르장드르 변환]]을 하면 '''유효 작용''' <math>\Gamma[\phi_\text{cl}]</math>를 얻는다.
:<math>\Gamma[\phi_\text{cl}]=-E[J]-\int d^4x\;J(x)\phi_\text{cl}(x)</math>

만약 진공이 [[병진]]불변이라면, 유효작용을 장의 (범함수가 아니라 일반) 함수인 유효[[퍼텐셜]] <math>V(\phi_\text{cl})</math>로 나타낼 수 있다.
:<math>\Gamma[\phi_\text{cl}]=-V(\phi_\text{cl})\int d^4x.</math>

== 1점기약 상관함수의 모함수 ==
[[분배 함수]] ''Z[J]''가 [[상관함수 (양자장론)|상관함수]]의 [[생성함수 (수학)|생성함수]]고, 에너지 <math>E[J]</math>가 연결상관함수 (connected correlation function)의 [[생성함수 (수학)|생성함수]]인 것처럼, 유효 작용은 1점기약(一點旣約, one-point irreducible) 상관함수의 모함수다.

즉, 유효작용은 다음과 같은 식으로 써질 수 있는데, 이 식에 등장하는 유효작용의 n계 미분항 <math>\Gamma^{(n)}(x_1,\cdots,x_n)</math>가 기약상관함수라는 말이다. 이런 식으로 상관함수를 미분을 통해 생성할 수 있기 때문에, 상관함수의 생성함수 또는 모함수라고 부른다.
:<math>\Gamma[\phi_\text{cl}]=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\int d^4 x_1 \cdots \int d^4 x_n\;\Gamma^{(n)}(x_1,\cdots,x_n)(\phi_\text{cl}(x_1)-\langle\phi(x_1)\rangle_{0})\cdots(\phi_\text{cl}(x_n)-\langle\phi(x_n)\rangle_{0})</math>
여기서 <math>
\Gamma^{(n)}(x_1,\cdots,x_n)</math>는 다음과 같으며,
:<math>
\Gamma^{(n)}(x_1,\cdots,x_n) = \left.\frac{\delta^n \Gamma[\phi_\text{cl}]}{\delta \phi_\text{cl}(x_1) \cdots \delta \phi_\text{cl}(x_n)}\right|_{\phi_\text{cl}=\langle\phi\rangle_{0}}</math>
<math>\langle\phi\rangle_{0}</math>는 <math>J=0</math>일 때의 장의 진공기대값 <math>\langle\phi\rangle</math>를 의미한다.

=== 1점 상관함수 ===
유효작용의 1계 미분항 <math>\Gamma^{(1)}(x) = \left.\frac{\delta \Gamma[\phi_\text{cl}]}{\delta \phi_\text{cl}(x)}\right|_{\phi_\text{cl}=\langle\phi\rangle_{0}}</math>의 경우, 직접 풀면 다음과 같다. 물론 이는 잘 알려진 르장드르 변환의 성질이다.
:<math>\Gamma^{(1)}(x) = \left.\frac{\delta ( -E[J]-\int d^4y\;J(y)\phi_\text{cl}(y))}{\delta \phi_\text{cl}(x)}\right|_{\phi_\text{cl}=\langle\phi\rangle_{0}}=-\int d^4z\;\frac{\delta E[J]}{\delta J(z)}\frac{\delta J(z)}{\delta \phi_\text{cl}(x)}-\int d^4y\;\left(\frac{\delta J(y)}{\delta \phi_\text{cl}(x)}\phi_\text{cl}(y)+J(y)\frac{\delta\phi_\text{cl}(y)}{\delta \phi_\text{cl}(x)}
\right)=-J(x)</math>

=== 2점 상관함수 ===
유효작용의 2계 미분항 <math>\Gamma^{(2)}(x,y) = \left.\frac{\delta^2 \Gamma[\phi_\text{cl}]}{\delta \phi_\text{cl}(x) \delta \phi_\text{cl}(y)}\right|_{\phi_\text{cl}=\langle\phi\rangle_{0}}</math>와 에너지 범함수 <math>E[J]</math>로부터 얻은 2점 연결상관함수 <math>G^c_{(2)}=i\left.\frac{\delta^2 E[J]}{\delta J(x)\delta J(y)}\right|_{J=0}</math> 사이의 관계를 다음과 같이 찾을 수 있다. 일단 <math>\Gamma^{(2)}(x,y)</math>와 <math>G^c_{(2)}(x,y)</math>을 각각 <math>J</math>와 <math>\phi_\text{cl}</math>을 사용하여 표현하면 다음과 같다.
:<math>\Gamma^{(2)} = \frac{\delta (\delta \Gamma / \delta \phi_\text{cl}(y))}{\delta \phi_\text{cl}(x)}= - \frac{\delta J(y)}{\delta \phi_\text{cl}(x)}</math>
:<math>G^c_{(2)}=i\frac{\delta (\delta E[J]/\delta J(x))}{\delta J(y)}=-i\frac{\delta \phi_\text{cl}(x)}{\delta J(y)}</math>
그러므로 <math>{\delta J(y)}/{\delta \phi_\text{cl}(x)}</math>와 <math>{\delta \phi_\text{cl}(x)}/{\delta J(y)}</math>의 관계를 파악해야 하는데, 이 둘은 서로에게 역범함수의 관계에 있다.
:<math>\int d^4b \left(\frac{\delta J(a)}{\delta \phi_\text{cl}(b)}\right)
\left(\frac{\delta \phi_\text{cl}(b)}{\delta J(c)}\right)= \int d^4b \left(\frac{\delta \phi_\text{cl}(a)}{\delta J(b)}\right)\left(\frac{\delta J(b)}{\delta \phi_\text{cl}(c)}\right) = \delta (a-c)</math>
이러한 맥락에서 다음과 같이 표기할 수 있다.
:<math>\frac{\delta J(y)}{\delta \phi_\text{cl}(x)} = \left(\frac{\delta \phi_\text{cl}(x)}{\delta J(y)}\right)^{-1}</math>
참고로 역범함수의 정의는 다음과 같다.
:<math>\int d^4b \left(\frac{\delta \phi_\text{cl}(b)}{\delta J(a)}\right)^{-1} \left(\frac{\delta \phi_\text{cl}(b)}{\delta J(c)}\right)= \int d^4b \left(\frac{\delta \phi_\text{cl}(a)}{\delta J(b)}\right)\left(\frac{\delta \phi_\text{cl}(c)}{\delta J(b)}\right)^{-1} = \delta (a-c)</math>
따라서 <math>\Gamma^{(2)}(x,y)</math>와 <math>G^c_{(2)}(x,y)</math>, 이 둘은 <math>G^c_{(2)}=i(\Gamma^{(2)})^{-1}</math>의 관계를 가진다.

잘 알려진 대로, 양자장론이 다루는 대부분의 물리적 2점 연결상관함수는 운동량 <math>p</math>을 기저로 선택한 표현에서 1입자기약 (1PI, 1 Particle Irreducible) 함수를 이용해서 나타낼 수 있으며, <math>\phi^4</math> 이론의 경우, 그 표현은 <math>-i/(p^2 + m^2 -\Pi(p))</math>이다. 여기서 <math>\Pi(p)</math>는 <math>\phi^4</math> 이론의 1입자기약 함수이다.
따라서, <math>\phi^4</math> 이론의 경우에 <math>\Gamma^{(2)}</math>는 <math>-p^2 - m^2 +\Pi(p)</math>의 꼴을 가진다. 이때, <math>-p^2 - m^2</math>는 2점 기약상관함수를 이루는 파인만 도형 중 상호작용의 효과가 없는 항으로 생각될 수 있고, <math>\Pi(p)</math>는 2점 기약상관함수를 이루는 파인만 도형 중 상호작용의 효과가 있는 항으로 생각될 수 있으며, 이 둘이 합해 기약 상관함수를 이룬다고 생각할 수 있다.

=== 3점 기약함수 ===
유효작용의 3계 미분항 <math>\Gamma^{(3)}</math>와 3점 연결상관함수 <math>G^c_{(3)}</math>의 관계는 다음과 같이 구할 수 있다.
:<math>G^c_{(3)} = \frac{1}{i}\frac{\delta G^c_{(2)}(x,y)}{\delta J(z)} = \frac{1}{i}\int d^4 a \frac{\delta G^c_{(2)}(x,y)}{\delta \phi_\text{cl}(a)}\frac{\delta \phi_\text{cl}(a)}{\delta J(z)} = \frac{1}{i}\int d^4 a \frac{\delta i (\Gamma^{(2)} (x,y))^{-1}}{\delta \phi_\text{cl}(a)}\frac{\delta \phi_\text{cl}(a)}{\delta J(z)} = \int d^4 a \left( \int d^4 b \int d^4 c  -(\Gamma^{(2)} (x,b))^{-1}(\Gamma^{(2)} (y,c))^{-1} \Gamma^{(3)}(b,c,a) \right)\left(-(\Gamma^{(2)} (a,z))^{-1}\right)</math>
여기서 <math>(\Gamma^{(2)} (x,y))^{-1}</math>의 범함수 미분은, 앞서 정의한 역범함수의 정의로부터 구할 수 있다. 역범함수의 정의가 되는 식의 양변을 미분하면, 우변의 델타함수는 함수 <math>\phi_\text{cl}(a)</math>에 대해 상수이므로 0이 된다. 미분한 좌변은 다음과 같다.
:<math>\int d^4 b \frac{\delta (\Gamma^{(2)} (x,b))^{-1}}{\delta \phi_\text{cl}(a)} \Gamma^{(2)} (b,c) + \int d^4 b(\Gamma^{(2)} (x,b))^{-1} \frac{\delta \Gamma^{(2)} (b,c)}{\delta \phi_\text{cl}(a)}= 0</math>
위의 식에 <math>\int d^4 c(\Gamma^{(2)} (c,y))^{-1}</math>을 적분해주면, 다음과 같다.
:<math>\frac{\delta (\Gamma^{(2)} (x,y))^{-1}}{\delta \phi_\text{cl}(a)} = - \int d^4 b \int d^4 c(\Gamma^{(2)} (x,b))^{-1} (\Gamma^{(2)} (y,c))^{-1}\frac{\delta \Gamma^{(2)} (b,c)}{\delta \phi_\text{cl}(a)}</math>
앞서 구한 <math>\Gamma^{(3)}</math>와 <math>G^c_{(3)}</math> 사이의 관계를 정리하면 다음과 같다.
:<math>G^c_{(3)}(x,y,z) = \int d^4 a \int d^4 b \int d^4 c (\Gamma^{(2)} (x,b))^{-1} (\Gamma^{(2)} (y,c))^{-1} (\Gamma^{(2)} (z,a))^{-1} \Gamma^{(3)}(a,b,c) = \int d^4 a \int d^4 b \int d^4 c \, G^c_{(2)}(x,b)  G^c_{(2)}(y,c)  G^c_{(2)}(z,a) \, i\Gamma^{(3)}(a,b,c)</math>
잘 알려졌다시피, 좌변의 연결상관함수는 모든 연결된 파인만 도형의 합으로 생각될 수 있다. 우변을 보면 세 개의 <MATH>G^c_{(2)}</MATH>가 x, y, z 점에서 뻗어나가고 있는데, 이 2점 연결상관함수부분을 제외하면 <math>i\Gamma^{(3)}(a,b,c)</math>만이 남는다. 한편, 우변에서 연결상관함수를 제외하는 것은, 좌변이 의미하는 모든 연결 파인만 도형의 합에서 외부 다리(external leg)를 절단(amputate)하는 것과 동등하며, 이를 절단함으로써 남는 것은, 한 개의 선분을 자름으로써 두 부분으로 나누어질 수 없는 파인만 도형들의 합이다. 그런데 이는 기약함수의 정의와 같으므로, 따라서 좌변의 <math>i\Gamma^{(3)}(a,b,c)</math>은 3점 기약함수의 값에 해당한다.

=== n점 기약함수 ===
유효작용의 일반적인 n계도 미분항이 n점 기약함수와 일치하는지 여부도 3점 기약함수와 비슷한 방법으로 알 수 있다. n점 연결상관함수를 유효작용의 미분항으로 표현하면, 유효작용의 n계도 미분항부터 3계 미분항까지의 여러 미분항과 2점 연결상관함수를 각기 곱한 것들의 합으로 주어지는데, 3점 기약함수에서 본 것과 같이, 그 각각의 파인만 도형에서의 성질을 생각하면, n계도 미분항은 '한 개의 선분을 자름으로써 두 부분으로 나누어질 수 없는 파인만 도형들의 합'과 일치함을 볼 수 있다.

예를 들어, 4점 연결상관함수는 유효작용의 미분항으로 다음과 같이 표현할 수 있다.
:<math>G^c_{abcd} = \frac{1}{i}\frac{\delta G^c_{abc}}{\delta J_d}=\frac{1}{i}\frac{\delta (\Gamma^{(2)}_{ax})^{-1}(\Gamma^{(2)}_{by})^{-1}(\Gamma^{(2)}_{cz})^{-1}\Gamma^{(3)}_{xyz}}{\delta \phi_\textrm{cl}^i}\frac{\delta \phi_\textrm{cl}^i}{\delta J_d}=\frac{1}{i}\left (-(\Gamma^{(2)}_{aj})^{-1}(\Gamma^{(2)}_{xk})^{-1}\Gamma^{(3)}_{ijk}(\Gamma^{(2)}_{by})^{-1}(\Gamma^{(2)}_{cz})^{-1}\Gamma^{(3)}_{xyz}-(\Gamma^{(2)}_{ax})^{-1}(\Gamma^{(2)}_{bj})^{-1}(\Gamma^{(2)}_{yk})^{-1}\Gamma^{(3)}_{ijk}(\Gamma^{(2)}_{cz})^{-1}\Gamma^{(3)}_{xyz}-(\Gamma^{(2)}_{ax})^{-1}(\Gamma^{(2)}_{by})^{-1}(\Gamma^{(2)}_{cj})^{-1}(\Gamma^{(2)}_{zk})^{-1}\Gamma^{(3)}_{ijk}\Gamma^{(3)}_{xyz}
+(\Gamma^{(2)}_{ax})^{-1}(\Gamma^{(2)}_{by})^{-1}(\Gamma^{(2)}_{cz})^{-1}\Gamma^{(4)}_{xyzi}\right)(-(\Gamma^{(2)}_{id})^{-1})</math>
이 식에서는 아인슈타인 표기법(Einstein convention)을 이용했다. 여기서 2점 기약함수의 역함수가 2점 연결상관함수라는 점과 유효작용의 3계 미분항이 3점 기약함수라는 점을 이용하면, 우변의 첫 세 개항은 a,b,c,d의 네 개의 점 중 두 개의 점씩 짝지어 3점 기약상호작용을 하고, 각각의 3점 기약상호작용에서 남는 점을 서로 이은 파인만 도형에 해당함을 알 수 있다. 따라서 남은 네번째 항에 있는 유효작용의 4계 미분항은 4점 기약함수라는 것을 알 수 있다.

일반적으로, n점 연결상관함수는 4점 연결상관함수와 같이, 2점 연결상관함수를 선분으로 갖고, 3, 4, ..., n점 기약상관함수를 선분이 모이는 점으로 갖는, 나무 파인만 도형(tree level Feynmann diagram)의 합으로 이루어진다. 이는 고전적인 작용 <math>S[\phi]</math>를 갖고 수행한 양자역학적 계산, 즉 고리 파인만 도형을 포함하는 계산이 양자역학적인 유효작용 <math>\Gamma[\phi_\textrm{cl}]</math>을 갖고 수행한 고전적인 계산, 즉 나무수준 파인만 도형으로 수행한 계산과 일치함을 의미한다.

또한 2점 기약함수에서 얻은 양자역학적인 보정항 <math>\Pi(p)</math>는 유효작용의 장에 대한 이차항들은 고전적인 작용으로부터 질량의 재규격화와 장세기의 재규격화를 가한 것임을 의미한다. 이와 같이 고전적인 작용의 각 항에 양자역학적인 보정, 즉 재규격화를 가한 것이 유효작용에 등장하는 각 항들이다. 이렇듯 양자역학적으로 보정된 항들을 갖는 유효작용으로부터 수행한 고전적인 나무수준 계산으로 여러 가지 물리현상을 해석할 수 있다.

== 건드림 전개 ==
유효작용 <math>\Gamma[\phi_\text{cl}]</math>은 양자요동의 크기를 나타내는 <math>\hbar</math>에 대해서 [[섭동 이론|건드림 전개]]를 할 수 있다.

=== 0차항 계산 ===
<math>\hbar</math>의 크기를 0으로 보내는 극한에서, 분배함수 <math>Z[J]</math>는 전적으로 다음 조건을 만족하는 마당 <math>\phi_0</math>에 의해 그 값이 결정된다.
:<math>\left.\frac{\delta S[\phi]+\langle J,\phi\rangle}{\delta \phi}\right|_{\phi = \phi_0} = 0</math>
<math>\phi_0</math>는 마당 <math>\phi</math>이 <math>S[\phi]+\langle J,\phi\rangle</math>를 작용으로 갖을 때 구해지는 고전역학적인 해이다. 

<math>\hbar \rightarrow 0</math>의 극한에서, 유효작용 <math>\Gamma[\phi_\text{cl}]</math>과 일반적인 작용 <math>S[\phi]</math>사이의 관계는 다음과 같다.
:<math>-E[J]=\Gamma[\phi_\text{cl}] + \int d^4x\;J(x)\phi_\text{cl}(x)</math>
:<math>-E[J]= -i\hbar \log Z[J]\approx-i\hbar\log\exp\left(\frac{i}{\hbar}\left(S[\phi_0]+ \int d^4x\;J(x)\phi_0(x)\right)\right)=S[\phi_0]+ \int d^4x\;J(x)\phi_0(x)</math>
:<math>\Gamma[\phi_\text{cl}] + \int d^4x\;J(x)\phi_\text{cl}(x) = S[\phi_0]+ \int d^4x\;J(x)\phi_0(x)</math>
또한 이 극한에서, 마당의 진공기대값 <math>\phi_\text{cl}</math>와 마당의 고전적인 해 <math>\phi_0</math>사이의 관계는 다음과 같다.
:<math>\phi_\text{cl}=-\frac{\delta E[J]}{\delta J(x)} = \int d^4y\;\frac{\delta S[\phi_0]}{\delta \phi_0(y)}\frac{\delta \phi_0(y)}{\delta J(x)} + \phi_0(x) + \int d^4x\;J(y) \frac{\delta \phi_0(y)}{\delta J(x)} = \phi_0</math>
마지막 등호는 마당의 고전적인 해 <math>\phi_0</math>가 고전적인 해로써 만족해야 했던 조건을 이용했다.

그러므로 <math>\hbar \rightarrow 0</math>의 극한에서, 마당의 진공기대값 <math>\phi_\text{cl}</math>은 마당의 고전적인 해 <math>\phi_0</math>와 일치하며, 유효작용 <math>\Gamma[\phi_\text{cl}]</math>은 일반적인 작용 <math>S[\phi_0=\phi_\text{cl}]</math>와 일치한다. 이를 유효작용의 평균장근사라고 부르기도 한다.

=== 1차항 계산 ===

<math>\hbar</math>를 0은 아니지만 작은 수로 간주하면, 즉 <math>\hbar</math>에 대해 [[섭동 이론|건드림 전개]]를 하면, 유효작용은 일반적인 작용에 <math>\hbar</math>에 의한 보정값이 더해진다. 이를 위해서는 마당을 마당의 고전적인 해 <math>\phi_0</math>와 그에 더해지는 양자 요동 <math>\delta \phi</math>의 합으로 생각해야 한다.
:<math>\phi = \phi_0 + \delta \phi</math>
이로써 <math>S[\phi]+ \int d^4x\;J(x)\phi(x)</math>를 근사적으로 전개하면 다음과 같다.
:<math>S[\phi_0]+ \int d^4x\;J(x)\phi_0(x) + \int d^4x\;\left(J(x) + \left.\frac{\delta S}{\delta \phi(x)}\right|_{\phi=\phi_0}\right)\delta \phi(x) + \frac{1}{2} \int d^4xd^4y\;\delta \phi(x) \frac{\delta^2 S}{\delta \phi(x)\delta \phi(y)}\delta \phi(y)</math>
마당의 고전적인 해 <math>\phi_0</math>가 고전적인 해로써 만족해야 하는 조건을 이용하면, <math>J(x) + \left.\delta S/\delta \phi(x)\right|_{\phi=\phi_0}</math>은 0임을 알 수 있다. 그렇다면 분배 함수는 다음과 같다.
:<math>Z[J]\approx \exp\left(\frac{i}{\hbar}\left(S[\phi_0]+ \int d^4x\;J(x)\phi_0(x)\right)\right)\int\mathcal D\delta\phi\,\exp\left(\frac{i}{\hbar}\frac{1}{2}\left(\int d^4xd^4y\;\delta \phi(x) \frac{\delta^2 S}{\delta \phi(x)\delta \phi(y)}\delta \phi(y)\right)\right)</math>
가우스 적분<math>\int_{-\infty}^{\infty}  e^{-a x^2}\,dx= \sqrt{\frac{\pi}{a}}</math>의 범함수 적분으로의 확장을 생각하면, 우항은 다음과 같다.
:<math>Z[J]\approx \exp\left(\frac{i}{\hbar}\left(S[\phi_0]+ \int d^4x\;J(x)\phi_0(x)\right)\right) \left[\det\frac{\delta^2 S}{\delta \phi(x)\delta \phi(y)}\right]_{\phi=\phi_0}^{-1/2}</math>
식을 고쳐쓰면,
:<math>Z[J]\approx \exp\left(\frac{i}{\hbar}\left(S[\phi_0]+ \int d^4x\;J(x)\phi_0(x) + \frac{i\hbar}{2} \left[\text{tr} \log\frac{\delta^2 S}{\delta \phi(x)\delta \phi(y)}\right]_{\phi=\phi_0}\right)\right)</math>
그러므로 유효작용과 일반적인 작용 사이의 관계는 다음과 같다.
:<math>\Gamma[\phi_\text{cl}] + \int d^4x\;J(x)\phi_\text{cl}(x) = S[\phi_0]+ \int d^4x\;J(x)\phi_0(x) + \frac{i\hbar}{2} \left[\text{tr} \log\frac{\delta^2 S}{\delta \phi(x)\delta \phi(y)}\right]_{\phi=\phi_0}</math>
마당의 진공기대값 또한 <math>\phi_\text{cl} = \phi_0 + \delta \phi'</math> 꼴로 간주하고, 위 식 우변의 <math>\phi_0</math>를 <math>\phi_\text{cl}</math>에 대해 치환하고, 항들을 정리하면 다음과 같다.
:<math>\Gamma[\phi_\text{cl}] + \int d^4x\;J(x)\phi_\text{cl}(x) = S[\phi_\text{cl}] + \int d^4x\; (- \delta \phi')\left.\frac{\delta S[\phi]}{\delta \phi}\right|_{\phi=\phi_\text{cl}}+ \int d^4x\;J(x)\phi_\text{cl} + \int d^4x\; (- \delta \phi')J(x) + \frac{i\hbar}{2} \left[\text{tr} \log\frac{\delta^2 S}{\delta \phi(x)\delta \phi(y)}\right]_{\phi=\phi_\text{cl}}</math>
:<math>\Gamma[\phi_\text{cl}] = S[\phi_\text{cl}] + \frac{i\hbar}{2} \left[\text{tr} \log\frac{\delta^2 S}{\delta \phi(x)\delta \phi(y)}\right]_{\phi=\phi_\text{cl}}</math>
이를 1-고리 근사(one-loop approximation)이라고 부르기도 한다.

=== 1-고리 근사 ===

유효작용의 <math>\hbar</math>에 대한 1차항을 1-고리 근사라고 부르는 이유는, 1차항을 파인만 도형으로 접근해보았을 때 그것이 1-고리 도형에 해당하기 때문인데, 이 사실을 두가지 접근으로 확인할 수 있다.

첫번째 접근은, 유효작용의 정의식 <math>-E[J]=\Gamma[\phi_\text{cl}] + \int d^4x\;J(x)\phi_\text{cl}(x)</math>의 좌변과 우변을 각각 <math>\hbar</math>에 대해 전개해본 뒤, 좌변과 우변을 비교하는 방법이다. 우변은 이미 0차항 계산과 1차항 계산을 통해 전개해보았다. 좌변을 상관함수에 대해 [[테일러 전개]]해보면 다음과 같다.
:<math>-E[J]= \left(\frac{\hbar}{i}\right)\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\int d^4 x_1 \cdots \int d^4 x_n\;\left(\frac{i}{\hbar}\right)^n G^{c}(x_1, \cdots, x_n) J(x_1)\cdots J(x_n)</math>
여기서 <math>G^{c}(x_1, \cdots, x_n)</math>는 n점 연결상관함수이다. 

상호작용 [[라그랑지안]] <math>\mathcal{L}_{int}</math>을 섭동적으로 전개할 경우, 상호작용 라그랑지안 <math>\mathcal{L}_{int}</math> 하나 당 <math>{i}/{\hbar}</math>의 인자가 하나씩 곱해진다. 섭동적으로 전개된 상호작용 라그랑지안의 개수는 파인만 도형의 꼭지점(vertex)의 개수에 해당한다. 또한 파인만 도형의 전파인자(propagator) 하나 당 자유 라그랑지안 <math>\mathcal{L}_{free}</math>의 역에 해당하는 그린 함수 외에 <math>{\hbar}/{i}</math> 인자가 하나씩 곱해진다. 따라서
:<math>\frac{\delta^n -E[J]}{\delta J(x_1)\cdots\delta J(x_n)}=\left(\frac{i}{\hbar}\right)^{n-1}G^{c}(x_1, \cdots, x_n) \propto \left(\frac{i}{\hbar}\right)^{n-1}\sum_{m}\left(\frac{i}{\hbar}\right)^{m}G^{c}_0(x_1, \cdots, x_{\sigma(m)})\propto\left(\frac{i}{\hbar}\right)^{n-1}\sum_{m}\left(\frac{i}{\hbar}\right)^{m}\left(\frac{\hbar}{i}\right)^{P}</math>
여기서 <math>G^{c}_0</math>는 자유 라그랑지안 <math>\mathcal{L}_{free}</math>만을 고려할 때의 연결상관함수이다. 

따라서 <math>V</math>개의 꼭지점과 <math>P</math>개의 전파인자를 갖는 임의의 <math>n</math>점 파인만 도형은 <math>-E[J]</math>에 기여하는 측면에서 다음과 같은 <math>{\hbar}</math>의 차수를 갖는다.
:<math>
\left(\frac{i}{\hbar}\right)^{n-1}\left(\frac{i}{\hbar}\right)^{V}\left(\frac{\hbar}{i}\right)^{P}=\left(\frac{\hbar}{i}\right)^{P-V-n+1}
</math>
파인만 도형이 갖는 고리의 개수 <math>L</math>은 운동량보존을 이용하여, 내부 전파인자(Internal propagator)와 꼭지점의 개수로부터 계산할 수 있다. 연결 파인만 도형의 경우, 고리의 개수는 내부 전파인자의 개수 <math>I</math>에서 꼭지점의 개수 <math>V</math>를 빼고 1을 더한 수 <math>I-V+1</math>이다. 연결 파인만 도형의 경우, <math>n<P</math>는 고리가 없는 <math>n=2</math>일 때 뿐이며, 이 경우 <math>L=0</math>이고 <math>{\hbar}</math>의 차수 또한 <math>{P-V-n+1=0}</math>으로 0이다. 그외의 연결 파인만 도형의 경우, 전체 전파인자의 개수 <math>P</math>에서 <math>n</math>을 뺀 것이 내부 전파인자의 개수 <math>I</math>이므로, 어떤 임의의 파인만 도형이 갖는 <math>{\hbar}</math>의 차수는 <math>{\hbar}^{L}</math>이 된다. 따라서 유효작용의 <math>{\hbar}</math>에 대한 건드림 전개의 <math>L</math>번째 항은 <math>{L}</math>개의 고리를 가진 연결 파인만 도형의 합과 동등한 관계가 있다.

두번째 접근은, 직접 <math>\hbar</math>에 대한 1차항을 파인만 도형으로 풀어보는 것이다. <math>\phi^4</math> 이론의 경우에 1차항은,
:<math> \frac{i\hbar}{2} \text{tr} \log\left(-\partial^2-m^2-\frac{g}{2}\phi_\textrm{cl}^2\right)</math>
이다. 이를 <math>\phi^4</math> 상호작용 항에 대해 건드림 전개를 해보면,
:<math> \frac{i\hbar}{2} \text{tr} \log\left(-\partial^2-m^2\right) +\frac{i\hbar}{2} \text{tr} \log\left(1+\frac{i}{-\partial^2-m^2}\frac{ig}{2}\phi_\textrm{cl}^2\right)= \frac{i\hbar}{2} \text{tr} \log\left(-\partial^2-m^2\right) + \frac{i\hbar}{2} \text{tr} \left(\sum_{n=1}^\infty -\frac{1}{n} \left(-\frac{ig}{2}\right)^{n} \left(\frac{i}{-\partial^2-m^2}\phi_\textrm{cl}^2\right)^{n}\right)</math>
전파인자에 해당하는 값을 <math>G_0</math>로 적으면,
:<math>\frac{i\hbar}{2} \text{tr} \log\left(-\partial^2-m^2\right) + \frac{i\hbar}{2} \text{tr} \left(\sum_{n=1}^\infty -\frac{1}{n} \left(-\frac{ig}{2}\right)^{n} \left(G_0\phi_\textrm{cl}^2\right)^{n}\right)</math>
<math>\text{tr}</math> 연산자를 풀어보면, 테일러 전개한 각 항들이 1-고리 도형에 해당함을 확인할 수 있다.

== 참고 문헌 ==
* J.Goldstone, A.Salam, S.Weinberg, ''Phys.Rev.'' 127, 965 (1962).
* G.Jona-Lasinio, ''Nuovo Cimento'' 34, 1790 (1964).
* S.Weinberg: ''The Quantum Theory of Fields'', Vol.II, Cambridge University Press 1996.
* D.J.Toms: ''The Schwinger Action Principle and Effective Action'', Cambridge University Press 2007.
* H. Kleinert, ''Particles and Quantum Fields'', World Scientific Publishing Company 2016.

== 같이 보기 ==
* [[배경장 게이지]] (background field gauge)
* [[유효이론]]


[[분류:양자장론]]