유효숫자 문서 원본 보기

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'''유효숫자'''(significant figures)는 수의 정확도에 영향을 주는 숫자이다. 보통 다음의 경우를 제외하고 모든 숫자는 유효숫자이다.
참고로, 전기{{.cw}}[[전자공학]]에서 변화하는 전압 또는 전류의 표시 방법에 [[유효값]]이 있다.

* 소숫점 첫째자리에서부터 늘어져있는 0들, 즉, 0.00...0~ ex) 0.00012에서 4개의 0들
* 어떤 자리에서 일의 자리까지 연속적으로 늘어져있는 0들, 즉 ~00...0 ex) 1200에서 00. 
: cf) 1200.0, 1200.00은 각 자리수가 모두 유효숫자이다. 이는 소숫점을 사용함으로써 불확실한 0들을 확실한 0들로 만들어 유효숫자의 범위를 늘려준다고 해석 가능하다.

이들은 숫자를 표현하는 단위를 바꾸거나 과학적 표기법을 쓰면 없어질 수 있는 숫자들이므로 유효숫자가 아니며, 자릿수를 채우기 위해 쓰는 '0'이라고 할 수 있다.

어떤 숫자들간의 계산결과가 계산에 이용된 숫자들보다 정밀하게 표현될 때는 유효숫자가 아닌 숫자들이 계산결과에 포함되어 있다.

어떤 측정기기로 무언가를 측정하였을 때, 기기가 측정할 수 있는 정밀도보다 더 정확하게 측정 결과가 표현되었다면 결과에 유효숫자가 아닌 숫자들이 포함되어 있다. 

유효숫자의 개념은 [[반올림]]과 함께 사용할 수도 있다. 반올림하여 유효숫자 n개를 만드는 연산은 n의 자리에서 [[반올림]]하는 것과 달리 다양한 자릿수의 수를 다룰 수 있으며 불확실성이 큰 자리들을 버림으로써 믿을 수 있는 숫자의 기술을 용이하게 만든다.

== 수학적 정의 ==
x<sup>*</sup>를 x의 근삿값이라 할 때 <math>\left| \frac{x-x^*}{x} \right| < 5\times 10^{-k}</math>이면 x<sup>*</sup>는 x를 k자리 유효숫자로 근사한다. 여기서 k는 0이 아닌 가장 큰 정수이다.

예를 들어 x=3.1415를 3자리 유효숫자로 근사시킨다고 해보자. 그러면 <math>\left| \frac{x-x^*}{x} \right| < 5\times 10^{-3}</math>이고,

(-5×10<sup>−3</su
x + (5×10<sup>−3</sup>) x > x<sup>*</sup> > x - (5×10<sup>−3</sup>) x

3.15 > x<sup>*</sup> > 3.13이므로 x<sup>*</sup> = 3.14가 된다.<ref>{{서적 인용|저자1=Abdelwahab Kharab|저자2=Ronald B. Guenther|제목=An Introduction to Numerical Methods A MATLAB Approach|번역제목=이공학도를 위한 수치해석|날짜=2013|출판사=학산미디어|isbn=978-89-966211-8-8|쪽=29}}</ref>

== 유효숫자 확인의 예 ==

* 모든 자리의 숫자가 0이 아닌 경우 모두 유효숫자로 추정된다. 예를 들면 123.45는 다섯 개(1, 2, 3, 4, 5)의 유효숫자를 가진다.
* 0이 아닌 숫자로 둘러싸인 자리의 0은 유효숫자이다. 예를 들면 101.12는 다섯 개(1, 0, 1, 1, 2)의 유효숫자를 가진다.
* 단지 자리수만 표시하기 위한 0은 유효숫자가 아니다. 앞의 0들이 유효숫자가 아닌 이유는 이들은 측정 단위에 영향을 받기 때문이다. 예를 들면 0.00012 m의 앞의 4개의 0들은 단위를 μm로 바꾸면 (0.00012 m = 120 μm) 사라진다. 이렇게 단위에 영향을 받는 숫자는 유효숫자가 될 수 없다.
* 소수점 아래의 끝자리에 있는 0들은 유효숫자이다. 예를 들면 12.2300은 여섯 개(1, 2, 2, 3, 0, 0)의 유효숫자를 가진다. 120.00은 다섯 개(1, 2, 0, 0, 0)의 유효숫자를 가진다.
* 소수점을 포함하지 않는 수 중에서 유효숫자의 뒤를 따르는 0은 유효숫자일 수도 있고 유효숫자가 아닐 수도 있다. 예를 들어 1300은 정확히 1300인 경우에 네 개(1, 3, 0, 0)의 유효숫자를 갖고, 1270을 십의 자리에서 반올림한 결과인 경우 두 개(1, 3)의 유효숫자를 가진다고 볼 수 있다. 이것을 구분하기 위해 다양한 방법이 있다. 유효숫자인 0의 위 또는 아래에 바(bar)를 표시하거나, 정수 부분이 모두 유효숫자임을 나타낼 때에는 정수의 일의 자리 뒤에 소수점을 붙여 유효숫자임을 표시할 수 있다. 또는 숫자 뒤에 유효숫자가 몇 개라고 직접 표시하는 방법도 있다. 정해진 표준은 없다.
* 0.000과 같이 모든 자리의 숫자가 0이면 유효숫자가 없는 것이다. 실제 측정값보다 불확실성의 정도가 크기 때문이다.
* [[과학적 기수법]](Scientific notation)에서는 자리수가 10의 지수로 표현되고 유효숫자만이 <math>10^n</math>를 곱하는 수로 표현된다. 예컨대 15000은 유효숫자가 네 개라고 할 때 1.500{{e|4}}으로 표현된다.
* [[빛의 속도|광속]], [[아보가드로 수]]와 같은 과학적 상수와, 물건의 개수를 센 것의 유효숫자는 무한대이다. 즉 이러한 상수는 측정값끼리의 계산 결과에 영향을 주지 않는다.

== 유효숫자의 계산 ==
* [[덧셈]]과 [[뺄셈]]의 계산 결과는 계산에 이용된 수들 중 가장 정밀도가 떨어지는 수의 마지막 유효숫자 자리에 맞춘다. 예를 들어, 유효숫자 세 개인 수 3.14와 유효숫자 5개인 8.9714를 더하면 12.1114가 나오지만, 가장 정밀도가 떨어지는 수 3.14 의 마지막 유효숫자 자리에 계산 결과를 맞추어 12.11이 된다.
* [[곱셈]]과 [[나눗셈]]에서, 계산된 결과는 두 측정치 중 유효숫자가 적은 쪽과 같은 유효숫자를 가진다. 예를 들어, 2.56 × 12.8690의 산술적 계산결과는 32.94464이지만, 2.56의 유효숫자가 3개이므로 유효한 결과는 32.9이다.
* 세 개 이상의 숫자를 연속적으로 계산할 때, 중간의 연산 결과는 그 중간 연산으로 계산이 끝날 때의 유효숫자 개수보다 한 개 더 많다.
* [[반올림]]에서 5 [[미만]]의 숫자는 [[버림]]하며 5 [[초과]]의 숫자는 [[올림과 버림|올림]]한다. 5이고 최소단위의 '''절반에 딱 맞아떨어지는 경우'''에는 5의 앞자리가 홀수인 경우엔 올림을 하고 짝수인 경우엔 버림을 하여 짝수로 만들어주며, 그 외의 5의 경우에는 올림한다. [EX] 23.5를 정수로 반올림하면 24, 87.65를 소수 첫째자리까지 반올림하면 87.6, 123456을 백의 자리까지 반올림하면 123400이다. 이를 오사오입(round-to-nearest-even)이라고 하며 이를 이용하여 반올림한 결과의 마지막 자리의 숫자는 짝수가 된다.
* 부피 측정기구의 경우에는 눈대중으로 숫자를 읽어야하는 경우가 있다. 하지만 눈대중으로 읽은 숫자까지 유효숫자로 칭하며 (정확하지는 않지만 의미는 있는 숫자), 단지 그 숫자가 눈대중으로 읽었다는 사실만을 인식하고 있으면 된다.

== 같이 보기 ==
* [[벤포드의 법칙]]
* [[오차막대]]
* [[IEEE 754]]
== 각주 ==
<references />

{{토막글|수학}}

[[분류:산술]]
[[분류:수치해석학]]