유한 생성 가군 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[환론]]에서 '''유한 생성 가군'''(有限生成加群, {{llang|en|finitely generated module}})은 유한 계수의 [[자유 가군]]의 [[몫가군]]이다. 즉, 유한 개의 생성원과 (유한 또는 무한 개의) 관계로 나타내어지는 [[가군]]이다.<ref>{{서적 인용 | last=Lam | first=Tsit-Yuen | 저자링크=람짓윈 | title=Lectures on modules and rings | publisher=Springer | series=Graduate Texts in Mathematics | 권= 189 | isbn=978-0-387-98428-5 |mr=1653294 | year=1999 | doi=10.1007/978-1-4612-0525-8|언어=en}}</ref>

== 정의 ==
모든 [[환 (수학)|환]]은 1을 가지며, 모든 [[가군]]은 1을 보존한다고 하자.

=== 유한 생성 가군 ===
[[환 (수학)|환]] <math>R</math> 위의 [[왼쪽 가군]] <math>_RM</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 [[왼쪽 가군]]을 '''유한 생성 왼쪽 가군'''(有限生成-加群, {{llang|en|finitely generated left module}})이라고 한다.
* (A) <math>_RM\cong {}_RR^{\oplus n}/{}_RN</math>이 되는 자연수 <math>n\in\mathbb N</math>과 [[자유 가군]]의 부분 가군 <math>_RN\subseteq {}_RR^{\oplus n}</math>이 존재한다. 즉, 충분히 큰 [[자연수]] <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여, <math>R</math>-[[왼쪽 가군]]의 [[완전열]] <math>R^{\oplus n}\to M\to0</math>이 존재한다.
* (B) <math>_RM</math>의 임의의 [[부분 가군]]들의 집합 <math>\{{}_RN_i\}_{i\in I}</math>, <math>{}_RN_i\subseteq {}_RM</math>에 대하여, 만약 <math>\textstyle\sum_{i\in I}{}_RN_i={}_RM</math>이라면, <math>\textstyle\sum_{i\in I'}{}_RN_i={}_RM</math>이 되는 [[유한 집합]] <math>I'\subseteq I</math>가 존재한다.
* (C) 임의의 [[부분 가군]]의 오름 [[전순서 집합|사슬]] <math>{}_RN_0\subseteq {}_RN_1\subseteq\cdots \subseteq {}_RM</math>에 대하여, 만약 <math>\textstyle\bigcup_{i=0}^\infty {}_RN_i={}_RM</math>이라면, <math>N_i=M</math>이 되는 <math>i\in\mathbb N</math>가 존재한다.
* (D) 임의의 [[집합]] <math>I</math> 및 [[전사 사상]] <math>\phi\colon {}_RR^{\oplus I}\to {}_RM</math>에 대하여, <math>\phi|_{{}_RR^{\oplus I'}}\colon {}_RR^{\oplus I'}\to {}_RM</math> 역시 [[전사 사상]]이 되게 하는 [[유한 집합]] <math>I'\subseteq I</math>이 존재한다. ([[가군]]의 [[범주 (수학)|범주]]에서 [[전사 사상]]은 [[전사 함수]]인 [[가군 준동형]]과 일치한다.)

[[환 (수학)|환]] <math>R</math> 위의 [[왼쪽 가군]] <math>_RM</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 [[왼쪽 가군]]을 '''유한 쌍대 생성 왼쪽 가군'''(有限雙對生成-加群, {{llang|en|finitely cogenerated left module}})이라고 한다.
* (B′) <math>_RM</math>의 임의의 [[부분 가군]]들의 집합 <math>\{{}_RN_i\}_{i\in I}</math>, <math>{}_RN_i\subseteq {}_RM</math>에 대하여, 만약 <math>\textstyle\bigcap_{i\in I}{}_RN_i={}_R0</math>이라면, <math>\textstyle\sum_{i\in I'}{}_RN_i={}_R0</math>이 되는 [[유한 집합]] <math>I'\subseteq I</math>가 존재한다.
* (C′) 임의의 [[부분 가군]]의 내림 [[전순서 집합|사슬]] <math>{}_RM\supseteq {}_RN_0\supseteq {}_RN_1\supseteq\cdots </math>에 대하여, 만약 <math>\textstyle\bigcap_{i=0}^\infty {}_RN_i=0</math>이라면, <math>_RN_i=0</math>이 되는 <math>i\in\mathbb N</math>가 존재한다.
* (D′) 임의의 [[집합]] <math>I</math> 및 [[단사 사상]] <math>\phi\colon {}_RM\to {}_RR^{\times I}</math>에 대하여, <math>\phi|_{{}_RR^{\times I'}}\colon {}_RM\to {}_RR^{\times I'}</math> 역시 [[단사 사상]]이 되게 하는 [[유한 집합]] <math>I'\subseteq I</math>이 존재한다. ([[가군]]의 [[범주 (수학)|범주]]에서 [[단사 사상]]은 [[단사 함수]]인 [[가군 준동형]]과 일치한다.)

[[오른쪽 가군]]에 대해서도 마찬가지로 '''유한 생성 오른쪽 가군'''과 '''유한 쌍대 생성 오른쪽 가군'''을 정의할 수 있다.

조건 (B) 및 (C) 및 (B′) 및 (C′)은 환 <math>R</math>에 의존하지 않으므로, 유한 생성성 및 유한 쌍대 생성성은 [[모리타 동치]] 불변 성질이다. 특히, 정의 (B) 및 (B′)은 [[일반위상수학]]의 [[콤팩트 공간]]의 정의와 유사하다. (C) 및 (C′)은 각각 특정 사슬 (즉, 합이 전체 가군이 되는 오름 사슬 · 교집합이 영가군이 되는 내림 사슬)에 대한 [[오름 사슬 조건]] · [[내림 사슬 조건]]이며, 이를 모든 사슬에 대하여 일반화한다면 [[뇌터 가군]] · [[아르틴 가군]]의 개념을 얻는다.

[[환 (수학)|환]] <math>R</math> 위의 [[왼쪽 가군]] <math>_RM</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 [[왼쪽 가군]]을 '''유한 표시 왼쪽 가군'''(有限表示-加群, {{llang|en|finitely presented left module}})이라고 한다.
* <math>_RM\cong\operatorname{coker}\phi</math>가 되는 자연수 <math>m,n\in\mathbb N</math> 및 <math>R</math>-[[가군 준동형]] <math>\phi\colon{}_RR^{\oplus m}\to {}_RR^{\oplus n}</math>이 존재한다. 즉, 충분히 큰 [[자연수]] <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여, <math>R</math>-[[왼쪽 가군]]의 [[완전열]] <math>R^{\oplus m}\to R^{\oplus n}\to M\to0</math>이 존재한다.
*  <math>_RR^{\oplus n}\to {}_RM</math>이 [[전사 사상]]이 되는 자연수 <math>n\in\mathbb N</math>이 존재하며, <math>\phi\colon{}_RR^{\oplus m}\to {}_RM</math>이 [[전사 사상]]이 되는 모든 자연수 <math>m\in\mathbb N</math>에 대하여, <math>\ker\phi</math>은 유한 생성 가군이다.
(이 두 조건이 서로 [[동치]]라는 것은 [[섀뉴얼 보조정리]]를 사용하여 쉽게 보일 수 있다.)

=== 유한 생성 가군층 ===
유한 생성 가군과 유한 표시 가군의 개념은 [[가군층]]으로 일반화할 수 있다.

유한 생성 가군의 일반화는 '''유한 생성 가군층'''(有限生成加群層, {{llang|en|finitely generated sheaf of modules}}) 또는 '''유한형 가군층'''(有限型加群層, {{llang|en|sheaf of modules of finite type}}, {{llang|fr|faisceau de modules de type fini}})이라고 한다. 구체적으로, [[환 달린 공간]] <math>(X,\mathcal O_X)</math>가 주어졌다고 하자. <math>\mathcal O_X</math>-[[가군층]] <math>\mathcal F</math>가 다음 조건을 만족시킨다면 '''유한 생성 가군층'''이라고 한다.<ref>{{서적 인용
 |이름           = Qing
 |성              = Liu
 |날짜           = 2006-06-29
 |제목           = Algebraic geometry and arithmetic curves
 |translator-first = Reinie
 |translator-last  = Erne
 |총서           = Oxford Graduate Texts in Mathematics
 |volume           = 6
 |출판사        = Oxford University Press
 |isbn             = 978-0-19-920249-2
 |zbl              = 1103.14001
 |mr               = 1917232
 |판              = 2
 |url              = http://www.math.u-bordeaux1.fr/~qliu/Book/
 |언어           = en
 |확인날짜     = 2016-05-10
 |보존url        = https://web.archive.org/web/20160305003407/http://www.math.u-bordeaux1.fr/~qliu/Book/
 |보존날짜     = 2016-03-05
 |url-status     = dead
}}</ref>{{rp|161, Definition 5.1.10}}<ref name="FAC">{{저널 인용|first=Jean-Pierre|last=Serre|authorlink=장피에르 세르|title=Faisceaux algébriques cohérents|언어=fr|jstor=1969915|pages=197–278|journal=Annals of Mathematics|volume=61|날짜=1955|doi=10.2307/1969915|issue=2|issn=0003-486X|mr=0068874|url=http://www1.mat.uniroma1.it/people/arbarello/FAC.pdf|access-date=2016-05-10|archive-date=2016-04-18|archive-url=https://web.archive.org/web/20160418101828/http://www1.mat.uniroma1.it/people/arbarello/FAC.pdf|url-status=}}</ref>{{rp|207, Définition §2.1}}<ref name="ÉGA1">{{저널 인용
 |last         = Grothendieck
 |first        = Alexandre
 |저자링크 = 알렉산더 그로텐디크
 |last2        = Dieudonné
 |first2       = Jean
 |author2-link = 장 디외도네
 |year         = 1960
 |title        = Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas
 |journal      = Publications Mathématiques de l’IHÉS
 |issn         = 0073-8301
 |volume       = 4
 |mr           = 0217083
 |url          = http://www.numdam.org/numdam-bin/feuilleter?id=PMIHES_1960__4_
 |doi          = 10.1007/bf02684778
 |언어       = fr
 |access-date  = 2016-05-10
 |archive-date = 2016-03-06
 |archive-url  = https://web.archive.org/web/20160306015028/http://numdam.org/numdam-bin/feuilleter?id=pmihes_1960__4_
 |url-status   = dead
}}</ref>{{rp|45, (5.2.1)}}
* 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, 층의 [[완전열]] <math>\mathcal O_X^{\oplus n}|_U\to\mathcal F|_U\to0</math>이 존재하게 되는 [[열린 근방]] <math>U\ni x</math>와 [[자연수]] <math>n</math>이 존재한다.

유한 표시 가군의 일반화는 '''유한 표시 가군층'''(有限表示加群層, {{llang|en|finitely presented sheaf of modules}}, {{llang|fr|faisceau de modules admettant une présentation finie}})이라고 한다. 구체적으로, [[환 달린 공간]] <math>(X,\mathcal O_X)</math> 위의 <math>\mathcal O_X</math>-[[가군층]] <math>\mathcal F</math>가 다음 조건을 만족시킨다면 '''유한 표시 가군층'''이라고 한다.<ref name="ÉGA1"/>{{rp|46, (5.2.5)}}
* 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, 층의 [[완전열]] <math>\mathcal O_X^{\oplus m}|_U\to\mathcal O_X^{\oplus n}|_U\to\mathcal F|_U\to0</math>이 존재하게 되는 [[열린 근방]] <math>U\ni x</math>와 [[자연수]] <math>m,n</math>가 존재한다.

유한 생성 가군/유한 표시 가군의 정의에 등장하는 [[자연수]] <math>m,n</math>을 임의의 [[기수 (수학)|기수]]로 일반화한다면, 각각 '''국소 단면 생성 가군층'''({{llang|en|sheaf of modules locally generated by sections}})/'''[[준연접층]]'''의 개념을 얻는다. (물론, 모든 [[가군]]은 이렇게 정의된 개념들을 자동적으로 만족시킨다. 즉, 모든 가군은 준연접층을 정의한다.)

=== 아벨 범주에서의 유한 생성 대상 ===
보다 일반적으로, [[아벨 범주]] <math>\mathcal A</math>의 대상 <math>M\in\mathcal A</math>이 다음 조건을 만족시킨다면, '''유한 생성 대상'''(有限生成對象, {{llang|en|finitely generated object}})이라고 한다.<ref name="Prest">{{서적 인용|제목=Model theory and modules|이름=Mike|성=Prest|출판사=Cambridge University Press|총서=London Mathematical Society Lecture Note Series|권=130|날짜=1988|isbn=978-0-52134833-1|doi=10.1017/CBO9780511600562|언어=en}}</ref>{{rp|315, Chapter 5}}<ref name="Stenstrom">{{저널 인용|제목=Purity in functor categories|이름=Bo|성=Stenström |doi=10.1016/0021-8693(68)90064-1 | 저널=Journal of Algebra|권= 8|호=3|날짜=1968-03|쪽=352–361|언어=en}}</ref>{{rp|352, §1}}
* <math>M</math>의 [[부분 대상]] [[부분 순서 집합]] <math>\operatorname{Sub}(M)</math> 속의 [[상향 원순서 집합|상향]] [[부분 집합]] <math>\{M_i\}_{i\in I}\subseteq\operatorname{Sub}(M)</math>에 대하여, 만약 <math>\textstyle M=\sup_{i\in I}M_i</math>이라면, <math>M=M_i</math>인 <math>i\in I</math>가 존재한다.

[[아벨 범주]] <math>\mathcal A</math>의 유한 생성 대상 <math>M\in\mathcal A</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, '''유한 표시 대상'''(有限表示對象, {{llang|en|finitely presented object}})이라고 한다.<ref name="Prest"/>{{rp|315, Chapter 5}}<ref name="Stenstrom"/>{{rp|352, §1}}
* 임의의 유한 생성 대상 <math>N\in\mathcal A</math> 및 [[전사 사상]] <math>f\colon N\to M</math>에 대하여, [[핵 (수학)|핵]] <math>\ker f</math>는 유한 생성 대상이다.

=== 유한 스킴 사상 ===
[[대수기하학]]에서, 유한 생성 가군의 개념은 다음과 같은 형태로 사용된다.

두 [[가환환]] 사이의 [[환 준동형]] <math>f\colon R\to S</math>가 주어졌을 때, <math>S</math>는 <math>f</math>를 통해 <math>R</math>-[[가군]]을 이룬다. 만약 <math>S</math>가 <math>R</math>-유한 생성 가군이라면, <math>f</math>를 '''유한 준동형'''(有限準同型, {{llang|en|finite homomorphism}})이라고 한다.

이 개념은 [[스킴 (수학)|스킴]]에 대하여 쉽게 일반화할 수 있다. [[스킴 사상]] <math>f\colon X\to Y</math>가 주어졌다고 하자. 임의의 <math>y\in Y</math>에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 [[아핀 스킴|아핀]] [[열린 근방]] <math>y\in\operatorname{Spec}S\subseteq Y</math>가 존재한다면, <math>f</math>를 '''유한 사상'''(有限寫像, {{llang|en|finite morphism}}, {{llang|fr|morphisme fini}})이라고 한다.<ref name="Hartshorne">{{서적 인용 | 이름=Robin|성=Hartshorne| 날짜 = 1977|제목=Algebraic geometry|저자링크=로빈 하츠혼|출판사=Springer| isbn =  978-0-387-90244-9|mr=0463157 | zbl = 0367.14001 | 언어=en|doi=10.1007/978-1-4757-3849-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=52|issn=0072-5285}}</ref>{{rp|84}}
* [[원상 (수학)|원상]] <math>f^{-1}(\operatorname{Spec}S)</math>는 [[아핀 스킴]] <math>\operatorname{Spec}R</math>이며, <math>R</math>는 <math>S</math> 위의 유한 생성 가군을 이룬다.

두 가환환 사이의 [[환 준동형]] <math>f\colon R\to S</math>가 유한 생성 가군이 되는 것은 유한 생성 가환 [[결합 대수]]가 되는 것보다 매우 강한 조건이며, 따라서 유한 사상은 [[유한형 사상]]보다 매우 더 강한 조건이다.

== 성질 ==
[[가군]] <math>M</math>의 '''[[극대 부분 가군]]'''은 <math>M</math> 전체가 아닌 [[부분 가군]] 가운데 [[극대 원소]]인 것이다. 마찬가지로, <math>M</math>의 '''극소 부분 가군'''은 <math>0</math>이 아닌 [[부분 가군]] 가운데 [[극소 원소]]인 것이다 (즉, [[단순 가군]]인 [[부분 가군]]이다). [[초른 보조정리]]에 의하여, 다음이 성립한다.
* 0이 아닌 모든 유한 생성 가군은 극대 부분 가군을 갖는다.
* 0이 아닌 모든 유한 쌍대 생성 가군은 극소 부분 가군을 갖는다.

[[반단순 가군]]에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 유한 생성 가군이다.
* 유한 쌍대 생성 가군이다.

유한 생성 가군의 모든 [[몫가군]]은 유한 생성 가군이다. 유한 쌍대 생성 가군의 모든 [[부분 가군]]은 유한 쌍대 생성 가군이다.

[[왼쪽 가군]]의 [[짧은 완전열]]
:<math>0\to N\to M\to M/N\to0</math>
에 대하여, 다음이 성립한다.
* 만약 <math>N</math>과 <math>M/N</math>이 유한 생성 가군이라면 <math>M</math> 역시 유한 생성 가군이다.
* 만약 <math>N</math>과 <math>M/N</math>이 유한 쌍대 생성 가군이라면 <math>M</math> 역시 유한 쌍대 생성 가군이다.

=== 가군 성질의 필요 충분 조건 ===
환 <math>R</math> 위의 [[왼쪽 가군]] <math>{}_RM</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* [[뇌터 가군]]이다.
* 모든 부분 가군이 유한 생성 가군이다.

환 <math>R</math> 위의 [[왼쪽 가군]] <math>{}_RM</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* [[아르틴 가군]]이다.
* 모든 [[몫가군]]이 유한 생성 가군이다.

임의의 [[왼쪽 가군]] <math>_RM</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>_RM</math>이 유한 생성 가군이다.
* <math>_RM</math>의 [[가군의 근기|근기]] <math>\operatorname{rad}(_RM)\subseteq M</math>가 [[잉여적 부분 가군]]이며, <math>M/\operatorname{rad}(_RM)</math>은 유한 생성 가군이다.
임의의 [[왼쪽 가군]] <math>_RM</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>_RM</math>이 유한 쌍대 생성 가군이다.
* <math>_RM</math>의 [[가군의 주각|주각]] <math>\operatorname{soc}(_RM)\subseteq M</math>이 [[본질적 부분 가군]]이자 유한 생성 가군이다.

== 예 ==
[[정수환]] <math>\mathbb Z</math> 위의 유한 생성 가군은 [[유한 생성 아벨 군]]과 같은 개념이다.

임의의 체 <math>K</math>에 대하여, [[환 준동형]]
:<math>K[x]\to K[x,y]/(y^2-x^3-x)</math>
을 생각하자. 그렇다면 <math>k[x,y]/(y^2-x^3-x)</math>는 <math>k[x]</math> 위의 유한 생성 가군을 이룬다. 즉, 이로부터 유도되는 [[아핀 스킴]] 사상
:<math>\operatorname{Spec}K[x,y]/(y^2-x^3-x)\to\mathbb A^1_K</math>
는 유한 사상이다.

== 같이 보기 ==
* [[정수적 원소]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=http://www.mathwiki.net/유한_생성_가군|제목=유한 생성 가군|웹사이트=오메가|언어=ko}}{{깨진 링크|url=http://www.mathwiki.net/%EC%9C%A0%ED%95%9C_%EC%83%9D%EC%84%B1_%EA%B0%80%EA%B5%B0 }}
* {{nlab|id=finitely generated object|title=Finitely generated object}}
* {{nlab|id=compact object|title=Compact object}}
* {{웹 인용|제목=Finitely generated module|url=http://commalg.subwiki.org/wiki/Finitely_generated_module|웹사이트=Commalg|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://qchu.wordpress.com/2015/04/25/compact-objects/|날짜=2015-04-25|제목=Compact objects|웹사이트=Annoying Precision|이름=Qiaochu|성=Yuan|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://crazyproject.wordpress.com/2011/04/16/every-quotient-of-a-finitely-generated-module-is-finitely-generated/|제목=
Every quotient of a finitely generated module is finitely generated|날짜=2011-04-16|웹사이트=Project Crazy Project|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://crazyproject.wordpress.com/2011/09/19/finitely-generated-modules-over-r-are-precisely-the-module-homomorphic-images-of-r%E2%81%BF/|제목=Finitely generated modules over R are precisely the module-homomorphic images of Rⁿ|날짜=2011-09-19|웹사이트=Project Crazy Project|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/1788/does-finitely-presented-mean-always-finitely-presented-answered-yes|제목=Does “finitely presented” mean “always finitely presented”?|출판사=Math Overflow|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/1634/finite-type-finite-morphism|제목=Finite type/finite morphism|출판사=Math Overflow|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:가군론]]