유한체 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[체론]]에서 '''유한체'''(有限體, {{llang|en|finite field}}) 또는 '''갈루아 체'''({{llang|en|Galois field}})는 유한개의 원소를 가지는 [[체 (수학)|체]]이다.

== 정의 ==
'''유한체'''는 [[유한 집합]]인 [[체 (수학)|체]]이다.

유한체는 항상 양의 [[체의 표수|표수]] <math>p</math>를 갖는다 (<math>p</math>는 소수). 표수가 <math>p</math>인 유한체의 [[집합의 크기|크기]]는 항상 <math>p</math>의 [[거듭제곱]]이다. 즉, <math>p^n</math>의 꼴이다 (<math>n\in\mathbb Z^+</math>). 크기가 <math>p^n</math>인 유한체는 <math>\mathbb F_{p^n}</math> 또는 <math>\operatorname{GF}(p^n)</math>이라고 쓴다. [[집합의 크기|크기]]가 같은 유한체는 서로 [[동형]]이다.

== 구성 ==
크기가 <math>p^n</math>인 유한체 <math>\mathbb F_{p^n}</math>은 구체적으로 다음과 같이 구성할 수 있다.

우선, <math>\mathbb F_p</math>는 덧셈에 대한 [[아벨 군]]으로서 단순히 [[순환군]] <math>\mathbb Z/p</math>이다. 곱셈은 일반적인 정수의 곱셈의 ''p''-합동류이다.

<math>\mathbb F_{p^n}</math>은 다음과 같이 정의할 수 있다. <math>f(t)\in\mathbb F_p[t]</math>가 <math>\mathbb F_p</math> 계수를 가진 ''n''차 [[기약 다항식|기약]] [[일계수 다항식]]이라고 하자. 그렇다면 [[가환환]]으로서
:<math>\mathbb F_{p^n}\cong\mathbb F_p[t]/(f(t))</math>
이다. 여기서 <math>(f(t))</math>는 <math>f(t)</math>로부터 생성되는 [[아이디얼]]이다. 서로 다른 기약 일계수 다항식을 사용하더라도 얻는 유한체는 서로 [[동형]]이다.

<math>\mathbb F_{p^n}</math>은 [[다항식]] <math>x^{p^n}-x\in\mathbb F_p[x]</math>의 <math>\mathbb F_p</math>에 대한 [[분해체]]와 [[동형]]이다. <math>x^{p^n}-x</math>는 <math>p^n</math>개의 서로 다른 근을 가지므로, <math>\mathbb F_{p^n}</math>은 <math>x^{p^n}-x</math>의 근들의 집합과 같다.

== 성질 ==
유한체는 [[순서체]]가 될 수 없다. <math>\mathbb F_{p^n}</math>에서는
:<math>\overbrace{1+1+\dots 1}^p=0</math>
이므로, 순서체가 만족해야 하는 부등식
:<math>0<1<1+1<\cdots</math>
을 만족시킬 수 없다.

=== 프로베니우스 자기 동형 사상 ===
{{본문|프로베니우스 사상}}
유한체 <math>\mathbb F_{p^n}</math>은 다음과 같은 꼴의 <math>n</math>개의 [[자기 동형 사상]] <math>f_k\colon\mathbb F_{p^n}\to\mathbb F_{p^n}</math>을 가진다. 이를 '''[[프로베니우스 자기 동형 사상]]'''이라고 한다.
이는 [[페르디난트 게오르크 프로베니우스]]의 이름을 딴 것이다.
:<math>f_k\colon x\mapsto x^{p^k}</math>
:<math>k=0,1,2,\dots,n-1</math>
물론 <math>f_n=f_0</math>이 된다.

따라서, 유한체 <math>\mathbb F_{p^n}</math>의 [[자기동형군]]은 [[순환군]] <math>\mathbb Z/n</math>이다.

=== 포함 관계 ===
만약 <math>m\mid n</math>이라면, 자연스러운 포함 관계
:<math>\mathbb F_{p^m}\hookrightarrow\mathbb F_{p^n}</math>
가 존재한다. 이에 따라 표수 ''p''의 모든 유한체들에 대한 [[귀납적 극한]]을 취할 수 있다.
:<math>\varinjlim_n\mathbb F_{p^n}=\bar{\mathbb F}_p</math>
이렇게 얻은 체 <math>\bar{\mathbb F}_p</math>는 임의의 ''n''에 대하여 <math>\mathbb F_{p^n}</math>의 [[대수적 폐포]]이다.
:<math>\bar{\mathbb F}_p=\bar{\mathbb F}_{p^n}</math>

이러한 포함 관계는 프로베니우스 자기 동형 사상과 교환한다. 따라서 <math>\bar{\mathbb F}_p</math>에도 프로베니우스 자기 동형 사상이 존재한다. 이 경우 [[자기동형군]]은 정수의 환 <math>\mathbb Z</math>의 [[사유한 완비]]
:<math>\operatorname{Aut}(\bar{\mathbb F}_p)=\hat{\mathbb Z}=\varinjlim_n\mathbb Z/n</math>
이다. 이는 자연스럽게 [[사유한군]]의 구조를 가진다.

=== 덧셈군과 곱셈군 ===
유한체의 [[가역원군]] <math>\mathbb F_{p^n}^\times=\mathbb F_{p^n}\setminus\{0\}</math>은 항상 [[순환군]]이다.
:<math>\mathbb F_{p^n}^\times\cong\operatorname{Cyc}(p^n-1)</math>
유한체 <math>\mathbb F_{p^n}</math>의 덧셈군은 소수 크기의 [[순환군]]들의 [[직합]]이다.
:<math>(\mathbb F_{p^n},+)\cong\operatorname{Cyc}(p)^{\oplus n}</math>

== 예 ==
비교적 작은 유한체의 구조는 다음과 같다.

=== 𝔽<sub>2</sub> ===
{|
|-
|
{| class="wikitable" style="text-align: center; width: 81px; height: 81px;"
|-
! + !! 0 !! 1
|-
! 0
| 0 || 1
|-
! 1
| 1 || 0
|}
|
{| class="wikitable" style="text-align: center; width: 81px; height: 81px;"
|-
! × !! 0 !! 1
|-
! 0
| 0 || 0
|-
! 1
| 0 || 1
|}
|}

=== 𝔽<sub>3</sub> ===
{|
|-
|
{| class="wikitable" style="text-align: center; width: 108px; height: 108px;"
|-
! + !! 0 !! 1 !! 2
|-
! 0
| 0 || 1 || 2
|-
! 1
| 1 || 2 || 0
|-
! 2
| 2 || 0 || 1
|}
|
{| class="wikitable" style="text-align: center; width: 108px; height: 108px;"
|-
! × !! 0 !! 1 !! 2
|-
! 0
| 0 || 0 || 0
|-
! 1
| 0 || 1 || 2
|-
! 2
| 0 || 2 || 1
|}
|}

=== 𝔽<sub>4</sub> ===
이 경우 기약 [[일계수 다항식]] <math>t^2+t+1\in\mathbb F_2[t]</math>를 사용하여 다음과 같이 정의할 수 있다.
:<math>\mathbb F_4\cong\mathbb F_2[t]/(t^2+t+1)</math>
아래 표에서는 <math>A=t</math>, <math>B=t+1</math>로 표기한다.
{|
|-
|
{| class="wikitable" style="text-align: center; width: 135px; height: 135px;"
|-
! + !! 0 !! 1 !! A !! B
|-
! 0
| 0 || 1 || A || B
|-
! 1
| 1 || 0 || B || A
|-
! A
| A || B || 0 || 1
|-
! B
| B || A || 1 || 0
|}
|
{| class="wikitable" style="text-align: center; width: 135px; height: 135px;"
|-
! × !! 0 !! 1 !! A !! B
|-
! 0
| 0 || 0 || 0 || 0
|-
! 1
| 0 || 1 || A || B
|-
! A
| 0 || A || B || 1
|-
! B
| 0 || B || 1 || A
|}
|}

== 같이 보기 ==
* [[유한환]]
* [[유한군]]
== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용 | 저자=조성진 | 제목=유한체 및 그 응용 | 출판사=교우사 | isbn=978-8981726935 | 날짜=2007 }}
* {{서적 인용 | last=Lidl | first=Rudolf | 공저자=Harald Niederreiter | title=Finite fields | edition=2판 | 날짜=2008-06 | publisher=Cambridge University Press | isbn=0-521-39231-4|총서=Encyclopedia of Mathematics and its Applications|권=20|zbl=0866.11069|언어=en }}
* {{서적 인용 | 성=Menezes|이름=A.J.|공저자=I. F. Blake, XuHong Gao, R. C. Mullin, S. A. Vanstone, T. Yaghoobian|날짜=1993|제목=Applications of finite fields|총서=The Springer International Series in Engineering and Computer Science|권=199|isbn= 978-0-7923-9282-8|issn=0893-3405|doi=10.1007/978-1-4757-2226-0|zbl=0779.11059|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=On the passage from local to global in number theory|arxiv=math/9307231|이름=Barry|성=Mazur|저자링크=배리 메이저|doi=10.1090/S0273-0979-1993-00414-2 |저널=Bulletin of the American Mathematical Society|권=29|날짜=1993|쪽=14-50|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Why study equations over finite fields?|이름=Neal|성=Koblitz|저널=Mathematics Magazine|jstor=2690080|권=55|호=3|날짜=1982-05|쪽=144–149|doi=10.2307/2690080|zbl=0494.10001|issn=0025-570X|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=http://www.math.jussieu.fr/~miw/articles/pdf/FiniteFieldsKathmanduCIMPA2010.pdf|제목=Finite fields|이름=Michel|성=Waldschmidt|날짜=2013-09-16|언어=en|확인날짜=2013-12-28|보존url=https://web.archive.org/web/20131228091658/http://www.math.jussieu.fr/~miw/articles/pdf/FiniteFieldsKathmanduCIMPA2010.pdf#|보존날짜=2013-12-28|url-status=dead}}
* {{eom|title=Galois field|first=A.I.|last=Skopin}}
* {{매스월드|id=FiniteField|title=Finite field}}

{{전거 통제}}

[[분류:유한체| ]]
[[분류:체론]]