유클리드 벡터 문서 원본 보기

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[[파일:Vectores.svg|섬네일|200px|2차원 벡터(u,v)의 예]]
수학, 물리학, 공학에서, '''유클리드 벡터''' 또는 '''벡터'''({{llang|en|Euclidean vector}})는 [[벡터 공간|벡터]]의 특수한 경우로, [[유클리드 공간]]에서 크기와 방향을 모두 포함하는 기하학적 대상이다. 주로 유향 선분 또는 화살표로 표현한다. 주로 [[힘 (물리)|힘]]이나 [[자기장]], [[전기장]], [[변위]]와 같이, 방향과 크기를 둘 다 가지는 물리적 개념을 설명할 때 이용된다. 물리적 현상을 나타낼 때는 주로 2차원 또는 3차원 벡터량을 쓴다.

크기를 표현하는 [[스칼라]]와 달리 크기와 방향을 모두 포함한다.

== 벡터의 차원 ==
스칼라량은 단지 하나의 '크기'만을 표현할 수 있지만, 벡터는 방향과 크기를 모두 표현할 수 있다. x축의 단위벡터인 e₁방향과 y축의 단위벡터인 e₂방향과 각각의 크기인 a, b를 나타내는 2차원 벡터 (a, b) 와, 여기에 z축의 단위벡터인 e₃과 크기인 c를 나타내면 3차원 벡터 (a, b, c)를 표현할 수 있다. 이와 같이 이론적으로는 n차원 벡터를 표현하는 것이 가능하지만, 물리학이나 화학 등 실제 자연현상에 대해 배우는 학문에서는 2차원 벡터와 3차원 벡터로 충분하다.

== 차원 벡터의 성분 ==
n차원 벡터에서의 성분의 표기
2차원 벡터의 성분 (a, b)가 A일때
:<math> \vec{A} = <a,b> </math>
3차원 벡터의 성분 (a, b, c)가 [[단위벡터]]에서 원점(O)으로부터 A일때
:<math> \vec{OA} = <a,b,c> </math>
영벡터
:<math> \vec{0} = <0,0,0> </math>

== 벡터의 연산 ==
벡터의 덧셈과 뺄셈은, 일반적으로 삼각형법과 평행사변형법이 있다.

삼각형법은 일반적으로 꼬리 물기라고 하며, 한 벡터의 종점과 나머지 벡터의 시점이 일치하는 두 벡터가 있을 때, 이 두 벡터의 합은 일치하는 점이 아닌 시점에서 종점까지를 이은 벡터와 같다. 뺄셈 또한 이항해서 다음과 같은 식이 성립된다.

* <math>\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}</math>
* <math>\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}</math>
평행사변형법은 두 벡터와 각각 평행한 벡터를 만들어 [[평행사변형]]을 그리고, 원래의 두 벡터와의 만나는 점을 시점으로 평행사변형의 대각선을 끝까지 이은 벡터가 이 두 벡터의 합과 같다.

* 원래의 두 벡터 <math>\overrightarrow{OA}</math>, <math>\overrightarrow{OB}</math>와 각각의 벡터와 크기와 모양이 같은 새로운 두 벡터인 <math>\overrightarrow{BC}</math>, <math>\overrightarrow{CD}</math>를 만들어 평행사변형을 이룰 때, 대각선인 <math>\overrightarrow{OD}</math> 벡터가 이 두 벡터의 합이다.

* <math>\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OD}</math>
== 거리와 각도 ==
:<math> \left\vert \vec{A} \right\vert = (a,b,c) = \sqrt{a^2+b^2+c^2}</math>
두 벡터의 사이각
:<math> \vec{A} \cdot \vec{B} = \left\vert \vec{A} \right\vert \left\vert \vec{B} \right\vert \cos \theta</math>
따라서
:<math> {{ \vec{A} \cdot \vec{B}} \over { \left\vert \vec{A} \right\vert \left\vert \vec{B} \right\vert }} =  \cos \theta</math>

== 같이 보기 ==
* [[벡터장]]
* [[벡터 공간]]
* [[벡터함수]]
* [[벡터 다발]]
* [[스칼라]]

{{선형대수학}}
{{전거 통제}}
{{토막글|수학|물리학}}

[[분류:벡터 미적분학]]
[[분류:선형대수학]]
[[분류:물리학 개념]]