유클리드 공간 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Coord system CA 0.svg|섬네일|right|250px|3차원 유클리드 공간 상의 각 점은 3개의 좌표 축에 결정된다.]]
[[수학]]에서 '''유클리드 공간'''({{llang|en|Euclidean space}})은 [[유클리드]]가 연구했던 [[평면]]과 [[공간]]을 일반화한 것이다. 이 일반화는 유클리드가 생각했던 [[거리]]와 [[길이]]와 [[각도]]를 [[좌표계]]를 도입하여, 임의 [[차원]]의 공간으로 확장한 것이다. 이는 표준적인 유한 차원, [[실수]], [[내적 공간]]이다.

경우에 따라서는 [[민코프스키 공간]]에 대비되는 말로서, [[피타고라스의 정리]]에 의한 길이소의 [[제곱]]의 [[계수]]가 모두 [[양수]]인 [[공간]]을 이야기한다.

== 정의 ==
[[음이 아닌 정수]] <math>n=0,1,2,\dots</math>에 대하여, <math>n</math>차원 '''유클리드 공간''' <math>\mathbb R^n</math>은 집합으로서 [[실수]] 집합 <math>\mathbb R</math>의 <math>n</math>번 [[곱집합]]이다.

이 위에 [[내적]]
:<math>\langle u,v\rangle=\sum_{i=1}^nu_iv_i</math>
를 정의하면, <math>\mathbb R^n</math>은 실수 [[힐베르트 공간]]을 이룬다. 이에 따라서 유클리드 공간은 [[내적 공간]], [[바나흐 공간]], [[노름 공간]], [[벡터 공간]], [[완비 거리 공간]], [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]을 이룬다.

또한, 자명한 좌표근방계를 주어 [[매끄러운 다양체]] 및 [[리만 다양체]]로 만들 수 있다. 이 경우, [[리만 계량]]으로 정의한 거리는 [[내적]]으로 정의한 거리와 일치하게 된다.

== 같이 보기 ==
* [[벡터 미적분학]]

{{차원}}
{{전거 통제}}
{{토막글|대수학|기하학}}

[[분류:선형대수학]]
[[분류:유클리드 기하학]]
[[분류:공간]]
[[분류:다양체]]