유카와 퍼텐셜 문서 원본 보기

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'''유카와 퍼텐셜'''(Yukawa potential, '''가리운 쿨롱 퍼텐셜'''이라고도 함)은 다음과 같은 형태의 [[퍼텐셜]]을 일컫는다.

:<math>V(r)= -g^2 \;\frac{e^{-mr\frac{c}{\hbar}}}{r}</math>

이 퍼텐셜은 1935년 [[유카와 히데키]]에 의해 짧은 거리에서 작용하는 [[핵력]]을 설명하기 위해 도입되었다. 유카와는 이러한 퍼텐셜이 질량 <math>m</math>인 [[스칼라 장]](예를 들어 [[파이온]] 장)의 교환에서 나타난다는 것을 보였다. 이 식에서 장 매개 입자의 질량이 크면 대응하는 힘은 특정 거리(질량에 반비례)까지만 강력하게 작용하고 그 이후로는 무시가능해진다. 반면 질량이 0이면 유카와 퍼텐셜은 [[쿨롱 퍼텐셜]]과 같아지고 무한한 거리까지 힘이 작용하게 된다. 유카와는 이러한 이론을 바탕으로 장 매개 입자의 질량이 전자의 200배 정도라고 예측했다.

위 식에서 퍼텐셜은 음수의 값을 갖고, 따라서 대응하는 힘은 인력으로 작용한다. 상수 <math>g</math>는 [[실수]]값이며, 상호작용하는 [[메존]] 장과 [[페르미온]] 장 사이의 [[결합 상수]]와 같은 값을 갖는다. [[핵물리학]]에서는 이 [[페르미온]]으로 [[양성자]]나 [[중성자]]를 사용한다. 식에서 볼 수 있듯이, 이 퍼텐셜은 [[중심퍼텐셜]]이다.

== 푸리에 변환 ==
유카와 퍼텐셜이 무거운 장과 연관되어 있음을 이해하는 가장 쉬운 방법은 [[푸리에 변환]]을 살펴보는 것이다.

:<math>V(r)=\frac{-g^2}{(2\pi)^3} \int e^{i\mathbf{k \cdot r}}
\frac {4\pi}{k^2+m^2} \;d^3k</math>

여기서 적분은 3-벡터 모멘텀 <math>k</math>의 모든 가능한 값에 대해 수행된다. 이 식에서 <math>4\pi/(k^2+m^2)</math>는 [[클라인-고든 방정식]]의 [[그린 함수]]에 해당한다.

== 파인만 진폭 ==
[[파일:1pxchg.svg|오른쪽|단일 입자 교환에 대한 [[파인먼 도형]]]]
유카와 퍼텐셜은 [[페르미온]] 쌍의 상호작용에서 최저 차수 진폭만 이용하여 유도할 수 있다. [[유카와 상호작용]]은 페르미온 장 <math>\psi(x)</math>과 메존 장 <math>\phi(x)</math>을 다음 결합 항을 이용해 결합시킨다.

:<math>\mathcal{L}_\mathrm{int}(x) = g\overline{\psi}(x)\phi(x) \psi(x)</math>

두 페르미온의 [[산란 진폭]]은 오른쪽의 [[파인만 도표]]를 이용해 주어진다. 이때 한 페르미온의 운동량은 <math>p_1</math>, 다른 페르미온의 운동량은 <math>p_2</math>이라 하며 [[중간자]] 교환 운동량은 <math>k</math>이다.

[[파인먼 도형]]의 규칙에 따라, 각 꼭짓점에 대해 진폭에 <math>g</math>만큼의 요소가 곱해진다. 이 도표에 두 개의 꼭짓점이 존재하므로 총 진폭에는 <math>g^2</math>만큼이 곱해져야 한다. 두 페르미온 경로를 연결하는 중앙 직선은 메존의 교환을 의미한다. 입자 교환에 대한 파인먼 규칙은 [[전파인자]]를 이용하는 것으로, 무거운 중간자에 대한 전파인자는 <math>-4\pi/(k^2+m^2)</math>이다. 따라서 이 그래프의 파인먼 진폭은 다음과 같음을 알 수 있다.

:<math>V(\mathbf{k})=-g^2\frac{4\pi}{k^2+m^2}</math>

앞의 절에서 이 식이 유카와 퍼텐셜의 푸리에 변환에 해당한다는 것을 확인할 수 있다.

== 응집물질 물리학 ==
유카와 퍼텐셜은 [[금속]] 내에 존재하는 불순물의 유효 정전기적 퍼텐셜을 기술하는데도 이용된다. 불순물의 전하 <math>q</math>는 금속의 [[자유전자]]에 의해 가리워지므로 [[쿨롱 퍼텐셜]]을 따르지 않는 대신 유카와 퍼텐셜을 따르게 된다.

:<math>V={q \over { 4 \pi \epsilon_0 } } {1 \over r} e^{- \kappa r }</math>

충분히 낮은 온도에서는 <math>\kappa</math>가 다음의 식을 따른다.

:<math>\kappa^2 = {1 \over {\epsilon_0}} e^2 N(\epsilon_F)</math>

여기서 <math>\epsilon_0</math>는 진공의 [[유전율]], <math>e</math>는 [[전자]]의 [[전하량]], <math>N(\epsilon_F)</math>는 [[페르미 준위]]의 전자 [[상태 밀도]]에 해당한다.

강한 [[전해질]] 용액이나 [[플라스마]]를 이론적으로 다룰 때에도 [[디바이 차폐]]의 영향으로 이런 꼴의 퍼텐셜이 등장하는데, 이를 가리켜 [[디바이-휘켈 퍼텐셜]]이라 부른다.
== 같이 보기 ==
* [[유카와 상호작용]]

{{전거 통제}}

[[분류:양자장론]]
[[분류:양자역학 퍼텐셜]]
[[분류:핵물리학]]
[[분류:산란 이론]]