유체론 문서 원본 보기

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{{다른 뜻|유체역학|수학의 한 분야인 유체론(類體論, {{lang|en|class field theory}})|물리학에서의 [[유체]](流體, {{lang|en|fluid}})에 대한 이론}}
'''유체론'''(類體論, {{llang|en|class field theory}}, CFT)은 [[대역체]]의 [[아벨 확대]]를 다루는, [[대수적 수론]]의 분야이다.

대략, [[체 (수학)|체]] ''K''에 대하여, 어떤 최대 [[아벨 확대]] ''A''가 존재한다. 그 [[갈루아 군]] ''G''는 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[아벨 군|아벨]] [[사유한군]]의 구조를 가진다. 유체론의 기본 목표는 주어진 ''K''에 대한 ''G''의 성질들을 계산하는 것이다.

== 전개 ==
=== 국소 유체론 ===
[[국소체]] <math>K</math>가 주어지면, 그 최대 [[아벨 확대]] <math>K^{\text{ab}}</math>의 [[갈루아 군]]
:<math>\operatorname{Gal}(K^{\text{ab}}/K)</math>
를 생각할 수 있다. 이는 자연스럽게 [[사유한군]]의 구조를 가진다.
유체론에 따르면, 다음과 같은 '''국소 아르틴 준동형'''({{llang|en|local Artin homomorphism}})이 존재한다.
:<math>K^\times\to \operatorname{Gal}(K^{\text{ab}}/K)</math>
또한, 이에 따라서 다음과 같은 [[위상군]]의 [[동형]]을 유도할 수 있다.
:<math>\hat K^\times\cong \operatorname{Gal}(K^{\text{ab}}/K)</math>
여기서 <math>\hat K^\times</math>는 <math>K</math>의 곱셈군의 [[사유한 완비]]이다.

또한, 다음 집합들 사이에 자연스러운 [[전단사 함수]]가 존재한다.
* 곱셈군 <math>K^\times</math>의 유한 [[부분군의 지표|지표]] 열린 부분군
* 아벨 절대 갈루아 군 <math>\operatorname{Gal}(K^\text{ab}/K)</math>의 유한 [[부분군의 지표|지표]] 열린 부분군
* <math>K^{\text{sep}}/K</math>에 포함된 [[유한 확대|유한]] [[아벨 확대]] (<math>K^{\text{sep}}</math>는 <math>K</math>의 [[분해 가능 폐포]])
구체적으로, 이 전단사 함수는 다음과 같다. 임의의 유한 아벨 확대 <math>L</math>에 대하여,
:<math>L\leftrightarrow\operatorname{Gal}(L/K)\subset\operatorname{Gal}(K^\text{ab}/K)\leftrightarrow\operatorname N_{L/K}(L^\times)\subset K^\times</math>
또한,이 대응 아래 다음과 같은 [[위상군]]의 [[동형]]이 존재한다.
:<math>\operatorname{Gal}(L/K)\cong K^\times/(\operatorname N_{L/K}L^\times)</math>

=== 대역 유체론 ===
<math>K</math>가 [[대역체]]라고 하자. <math>K</math>의 [[이델 군]] <math>\mathbb A_K^\times </math>는 [[아델 환]] <math>\mathbb A_K</math>의 가역원들의 군이다. <math>K</math>의 [[이델 유군]] <math>C_K</math>는 다음과 같다.
:<math>C_K=\mathbb A_K^\times/K^\times</math>
유체론에 따르면, 다음과 같은 '''대역 아르틴 준동형'''({{llang|en|global Artin homomorphism}})이 존재한다.
:<math>C_K\to\operatorname{Gal}(K^\text{ab}/K)</math>
또한, 이에 따라서 다음과 같은 [[위상군]]의 [[동형]]을 유도할 수 있다.
:<math>\hat C_K\cong\operatorname{Gal}(K^\text{ab}/K)</math>

또한, 다음 집합들 사이에 자연스러운 [[전단사 함수]]가 존재한다.
* [[이델 유군]] <math>C_K</math>의 유한 [[부분군의 지표|지표]] 열린 부분군
* <math>\operatorname{Gal}(K^{\text{ab}}/K)</math>의 유한 [[부분군의 지표|지표]] 열린 부분군
* <math>K^\text{sep}/K</math>에 포함된 <math>K</math>의 유한 [[아벨 확대]]
구체적으로, 이 전단사 함수는 다음과 같다. 임의의 유한 아벨 확대 <math>L</math>에 대하여,
:<math>L\leftrightarrow\operatorname{Gal}(L/K)\subset\operatorname{Gal}(K^\text{ab}/K)\leftrightarrow\operatorname N_{L/K}(C_L)\subset C_K</math>
여기서 <math>\operatorname N_{L/K}</math>는 [[체 노름]]이다. 이 경우, <math>L</math>을 노름 군 <math>C_L/\operatorname N_{L/K}(C_K)</math>의 '''유체'''(類體, {{llang|en|class field}})라고 한다. 또한,이 대응 아래 다음과 같은 [[위상군]]의 [[동형]]이 존재한다.
:<math>\operatorname{Gal}(L/K)\cong C_K/(\operatorname N_{L/K}C_L)</math>
이 사실을 '''[[아르틴 상호 법칙]]'''이라고 한다.

국소 유체론과 대역 유체론을 비교하면 다음과 같은 대응이 존재한다.
{| class="wikitable"
|-
! 국소 유체론 !! 대역 유체론
|-
| [[국소체]] <math>k</math> || [[대역체]] <math>K</math>
|-
| 표수 0 국소체 = <math>\mathbb Q_p</math> [[유한 확대]], <math>\mathbb R</math>, <math>\mathbb C</math> || 표수 0 대역체 = <math>\mathbb Q</math> [[유한 확대]] ([[대수적 수체]])
|-
| [[체의 표수|표수]] ''p'' 국소체 = <math>\mathbb F_{p^n}((t))</math> || [[체의 표수|표수]] ''p'' 대역체 = <math>\mathbb F_{p^n}(t)</math>의 [[유한 확대]]
|-
| 국소체의 [[가역원군|곱셈군]] <math>k^\times</math> || 대역체의 [[이델 유군]] <math>C_K</math>
|-
| 국소 아르틴 준동형 <math>\theta\colon k^\times\to\operatorname{Gal}(k^{\text{ab}}/k)</math> || 대역 아르틴 준동형 <math>\Theta\colon C_K\to\operatorname{Gal}(K^{\text{ab}}/K)</math>
|}

전통적으로, 유체론은 [[모듈러스 (수론)|모듈러스]]와 [[반직선 유군]]을 사용하여 정의되었으나, 같은 내용을 [[이델 군]] 및 [[이델 유군]]을 사용하여 더 추상적으로 전개할 수 있다.

== 예 ==
[[대역체]]의 가장 간단한 예는 [[유리수체]] <math>\mathbb Q</math>이다. 그 최대 [[아벨 확대]] <math>\mathbb Q^{\text{ab}}</math>는 유리수체에 1의 모든 ''n''제곱근들의 군 (복소수 곱셈군 <math>\mathbb C^\times</math>의 [[꼬임 부분군]])
:<math>\mu_\infty=\{\exp(2\pi ir)\colon r\in\mathbb Q\}</math>
을 추가한 확대
:<math>\mathbb Q^{\text{ab}}=\mathbb Q(\mu_\infty)</math>
이다. 즉, [[원분체]]들의 [[사영극한]]이다.

유리수체의 이델 군은
:<math>\mathbb A^\times_{\mathbb Q}\cong\mathbb Q^\times\times\mathbb R^+\times\hat{\mathbb Z}^\times</math>
이다. 여기서 <math>\hat{\mathbb Z}^\times</math>는 정수환의 [[사유한 완비]]의 가역원들의 군이다. 유리수체의 [[이델 유군]]은
:<math>C_{\mathbb Q}=\mathbb A^\times_{\mathbb Q}/\mathbb Q^\times=\mathbb R^+\times\hat{\mathbb Z}^\times</math>
이다. 여기에 사유한 완비를 취하면 <math>\mathbb R^+</math> 인자가 사라지게 된다.
:<math>\hat C_{\mathbb Q}=\hat{\mathbb Z}^\times</math>

따라서
:<math>\operatorname{Gal}(\mathbb Q^{\text{ab}}/\mathbb Q)\cong\hat{\mathbb Z}^\times\cong\prod_p\mathbb Z_p^\times</math>
이다. 즉, 유리수체의 절대 아벨 [[갈루아 군]] <math>\operatorname{Gal}(\mathbb Q^{\text{ab}}/\mathbb Q)</math>은 정수환의 [[사유한 완비]] <math>\hat{\mathbb Z}</math>의 가역원들의 곱셈군과 [[동형]]이다.
이 동형은 [[크로네커-베버 정리]]와 동치이며, [[아르틴 상호 법칙]]의 예이다.

여기서 정수환의 사유한 완비는 [[p진 정수]]의 환들의 곱으로 나타낼 수 있다.
:<math>\hat{\mathbb Z}\cong\prod_p\mathbb Z_p</math>
즉,
:<math>\hat{\mathbb Z}^\times\cong\prod_p\mathbb Z_p^\times</math>
이다.

== 역사 ==
유체론의 기원은 [[카를 프리드리히 가우스]]의 [[이차 상호 법칙]]에서 유래하였다. 이후 이를 [[이차 형식]] 이론을 거쳐, [[에른스트 쿠머]] · [[레오폴트 크로네커]] · [[쿠르트 헨젤]] 등이 발전시켰다. 이들이 개발한 최초의 유체론은 [[원분체]]와 [[복소 곱셈]]에 대한, 매우 구체적인 이론이었다. 1880년에 [[레오폴트 크로네커]]는 [[크로네커의 청춘의 꿈]]을 도입하였다. 1897년에 [[다비트 힐베르트]]는 [[이차 상호 법칙]]을 [[힐베르트 기호]]를 사용하여 재해석하였다.<ref>{{저널 인용 | last=Hilbert | first=David | authorlink=다비트 힐베르트 | title=Die Theorie der algebraischen Zahlkörper | url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002115344 | 언어=de | year=1897 | journal=Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung | issn=0012-0456 | volume=4 | pages=175–546 }}</ref> 1898년에 [[다비트 힐베르트]]는 [[힐베르트 유체]]의 존재를 추측하였고,<ref>{{저널 인용|저널=Acta Mathematica|날짜=1902|권=26|호=1|쪽=99–131|제목=Über die Theorie der relativ-Abel'schen Zahlkörper|이름=David|성=Hilbert|doi=10.1007/BF02415486|issn=0001-5962|언어=de}}</ref> 1906년에 힐베르트의 제자 [[필리프 푸르트벵글러]]는 그 존재를 증명하였다.<ref>{{저널 인용|저널=Mathematische Annalen|날짜=1906|권=63|호=1|쪽=1-37|제목=Allgemeiner Existenzbeweis für den Klassenkörper eines beliebigen algebraischen Zahlkörpers|이름=Philipp|성=Furtwängler|저자링크=필리프 푸르트벵글러 |doi=10.1007/BF01448421|jfm= 37.0243.02|언어=de}}</ref>

이러한 유체론들을 통합하고 일반화하려는 시도가 자연스럽게 이루어졌다. [[다카기 데이지]], [[에밀 아르틴]], [[헬무트 하세]] 등이 이러한 일반적 이론의 창립에 공헌하였다. 다카기는 1920년에 [[수체]]의 [[아벨 확대]]가 [[아이디얼 유군]]들의 유체에 대응한다는 것을 보였다. [[에밀 아르틴]]은 1923년에 [[아르틴 상호 법칙]]을 추측하였고, 1927년에 증명하였다. 1930년에 [[헬무트 하세]]는 [[국소체]]의 유체론을 정의하였다.

1936년에 [[클로드 슈발레]]는 기존의 [[아이디얼]] 이론 대신 [[이델]]을 도입하였다. 유체론의 대부분의 주요한 정리들은 1940년대에 증명이 끝났다.

이후 유체론에 [[군 코호몰로지]]가 도입되었다. [[위르겐 노이키르히]]와 [[버나드 드워크]], [[존 테이트]] 등은 군 코호몰로지에 대한 구체적인 공식들을 1990년에대 제시하였다.

[[가토 가즈야]]와 공저자는 유체론에 대하여 다음과 같이 비유하였다.
{{인용문2|
동화 속의 마법의 거울에 밖의 먼 경치가 비춰지는 것처럼, [[국소체]] 또는 [[대역체]] <math>K</math>의 [[아벨 확대]]가 어떤 것들이 있는지, 또한 그 아벨 확대에 어떤 현상이 발생하는지와 같은 "<math>K</math>의 외관"을 <math>K</math>의 곱셈군 또는 [[이델 유군]]이라는 "<math>K</math> 실내의 거울"에 비추어 잘 알 수 있다는 것이 유체론의 주요 내용이다.<br>
{{lang|ja|御伽噺の魔法の鏡の中に屋外の遠くの景色が映し出されるように、局所体あるいは大域体KのAbel拡大がどれくらいあるか、またそのAbel拡大で何がおきるかという「<math>K</math>の屋外の景色」が、<math>K</math>の乗法群あるいはイデール類群という「<math>K</math>の屋内の鏡」に映しだされてよくわかるようになる、というのが類体論の主な内容である。}}|<ref>{{서적 인용|저자1=加藤 和也|저자링크1=가토 가즈야|저자2=黒川 信重|저자3=斎藤 毅|제목=数論 I. Fermatの夢と類体論|출판사=岩波書店|isbn=978-4-00-005527-7|url=https://www.iwanami.co.jp/cgi-bin/isearch?isbn=ISBN4-00-005527-5|날짜=2005-01-07|언어=ja|확인날짜=2015-08-24|보존url=https://web.archive.org/web/20151103233415/http://www.iwanami.co.jp/cgi-bin/isearch?isbn=ISBN4-00-005527-5|보존날짜=2015-11-03|url-status=dead}}</ref>}}

== 같이 보기 ==
* [[랭글랜즈 프로그램]]

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용 | last=Artin | first=Emil | authorlink=에밀 아르틴|공저자=[[존 테이트|John Tate]] | 제목= Class field theory | isbn=978-0-201-51011-9 | 날짜=1990 | publisher=Addison-Wesley|언어=en}}
* {{서적 인용|저자=岩澤 健吉|저자링크=이와사와 겐키치|제목=局所類体論|출판사=岩波書店|날짜=1980-02-08|isbn=978-4000052306|url=http://www.iwanami.co.jp/.BOOKS/00/6/0052300.html|언어=ja|확인날짜=2010-07-15|보존url=https://web.archive.org/web/20140714151101/http://www.iwanami.co.jp/.BOOKS/00/6/0052300.html|보존날짜=2014-07-14|url-status=dead}}
** {{서적 인용 | last=Iwasawa | first=Kenkichi | authorlink=이와사와 겐키치 | 제목=Local class field theory | publisher=Oxford University Press | series=Oxford Mathematical Monographs | isbn=978-0-19-504030-2 | mr=863740 | 날짜=1986 | zbl=0604.12014 |언어=en}}
* {{서적 인용 | last=Neukirch | first=Jürgen | 저자링크=위르겐 노이키르히 | 제목=Class field theory | publisher=Springer | isbn= 978-3-642-82467-8 | 날짜=1986 | zbl=0587.12001|총서=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften|권=280|doi=10.1007/978-3-642-82465-4|언어=en}}
* {{서적 인용| last=Neukirch | first=Jürgen | 저자링크=위르겐 노이키르히 | 제목= Class field theory: The Bonn lectures| url=https://archive.org/details/classfieldtheory0000neuk |doi=10.1007/978-3-642-35437-3|isbn=978-3-642-35436-6|출판사=Springer|기타=Alexander Schmidt 편, F. Lemmermeyer, W. Snyder 역|날짜=2013|zbl=06126517|언어=en}}
* {{서적 인용 | last=Gras | first=Georges | title=Class field theory: From theory to practice | 판=2판| 날짜=2003| publisher=Springer | 총서=Springer Monographs in Mathematics|issn=1439-7382|doi=10.1007/978-3-662-11323-3|기타=H. Cohen 역|isbn=978-3-642-07908-5|zbl=1019.11032|언어=en}}
* {{서적 인용|성=Childress|이름=Nancy|제목=Class field theory|총서=Universitext|issn=0172-5939|날짜=2008|isbn= 978-0-387-72489-8|doi=10.1007/978-0-387-72490-4|zbl=1165.11001|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/cft.html|제목=Class field theory|이름=J. S.|성=Milne|날짜=2013-03-23|판=v4.02|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://www.fen.bilkent.edu.tr/~franz/cft/cfb.pdf|제목=Class field theory|이름=Franz |성=Lemmermeyer|날짜=2007-04-30|언어=en}}
* {{웹 인용 |url=http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/gradnumthy/cfthistory.pdf |title=History of class field theory |first=Keith |last=Conrad|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://www.mathnet.or.kr/new_sub02/sub02_03_read.php?no=1&page=4|제목=유체론 100주년과 그 전망 — 학회보고서|저자=한상근|날짜=2008-12-03|확인날짜=2013-12-19|보존url=https://web.archive.org/web/20131219094145/http://www.mathnet.or.kr/new_sub02/sub02_03_read.php?no=1&page=4|보존날짜=2013-12-19|url-status=dead}}
* {{저널 인용|url=http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1060-21.pdf|제목=類体論の源流|저자=三宅克哉|저널=数理解析研究所講究録|권=1060|날짜=1998|쪽=185–209|언어=ja}}
* {{웹 인용|url=http://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~taguchi/nihongo/cft.pdf|제목=類体論|저자=田口 雄一郎|언어=ja|확인날짜=2015-08-24|보존url=https://web.archive.org/web/20160304125121/http://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~taguchi/nihongo/cft.pdf|보존날짜=2016-03-04|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=http://d.hatena.ne.jp/lemniscus/20130316/1363455905|제목=ドラクエと類体論|웹사이트=再帰の反復|날짜=2013-03-16|언어=ja}}
* {{웹 인용|url=http://d.hatena.ne.jp/lemniscus/20140706/1404642041|제목=類体論についてのメモ|웹사이트=再帰の反復|날짜=2014-07-06|언어=ja}}
* {{eom|title=Class field theory|first=L.V.|last=Kuz'min }}
* {{nlab|id=class field theory|title=Class field theory}}
* {{nlab|id=geometric class field theory|title=Geometric field theory}}
* {{웹 인용|url=https://amathew.wordpress.com/2010/05/23/class-field-theory-an-overview-of-the-approach/|제목=Class field theory: an overview of the approach|이름=Akhil|성=Mathew|날짜=2010-05-23|웹사이트=Climbing Mount Bourbaki|언어=en}}
{{전거 통제}}

[[분류:유체론| ]]