유일 인수 분해 정역 문서 원본 보기

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[[가환대수학]]에서 '''유일 인수 분해 정역'''(有一因數分解整域, {{llang|en|unique factorization domain}}, 약자 UFD) 또는 '''인자환'''({{llang|en|factorial ring}})은 0이 아닌 원소를 [[소원 (환론)|소원]]으로 유일하게 [[인수 분해]]할 수 있는 [[가환환]]이다. 이는 [[정수]]의 유일 인수 분해 가능성을 일반화한 것이다.

== 정의 ==
정역 <math>R</math>가 주어졌을 때, 다음 두 조건은 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 정역을 '''유일 인수 분해 정역'''이라고 한다.
* 모든 0이 아닌 원소는 유한한 수의 [[소원 (환론)|소원]]들의 곱으로 나타낼 수 있다.
* 모든 0이 아닌 원소는 유한한 수의 [[기약원]]들의 곱으로 나타낼 수 있으며, 이 인수 분해는 유일하다. 즉, <math>a\in R\setminus\{0\}</math>를 다음과 같이 두 가지 방법으로 인수 분해하였다고 하자.
::<math>a=\prod P=\prod Q</math>
:여기서 <math>P=\{p_1,\dots,p_m\}=P</math> 및 <math>Q=\{q_1,\dots,q_n\}</math>는 모두 [[기약원]]들로 구성된 [[중복집합]]이다. 그렇다면 [[전단사 함수]] <math>\phi\colon P\to Q</math>가 존재하며, 모든 <math>p\in P</math>에 대하여
::<math>\phi(p)=u(p)p</math>
:인 [[가역원]] <math>u(p)\in R</math>이 존재한다.

== 성질 ==
다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:[[가환환]] ⊋ [[정역]] ⊋ [[정수적으로 닫힌 정역]] ⊋ [[크룰 정역]] ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∪ [[데데킨트 정역]] ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∩ [[데데킨트 정역]] = [[주 아이디얼 정역]] ⊋ [[유클리드 정역]] ⊋ [[체 (수학)|체]]

[[데데킨트 정역]] <math>R</math>의 경우, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.
* <math>R</math>는 유일 인수 분해 정역이다.
* <math>R</math>는 [[주 아이디얼 정역]]이다.
* <math>R</math>의 [[아이디얼 유군]]이 [[자명군]]이다.
* <math>R</math>의 [[유수 (수론)|유수]]가 1이다.
즉, 데데킨트 정역에서 아이디얼 유군은 유일 인수 분해가 실패하는 정도를 측정한다.

=== 유일 인수 분해의 충분 조건 ===
'''가우스 보조정리'''({{llang|en|Gauss’ lemma}})에 따르면, 유일 인수 분해 정역 <math>R</math>에 대하여, 그 [[다항식환]] <math>R[x_1,x_2,\dots,x_n]</math> 역시 유일 인수 분해 정역이다.

[[뇌터 환|뇌터]] [[정역]]에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Eisenbud">{{서적 인용|이름=David|성=Eisenbud|저자링크=데이비드 아이젠버드|제목=Commutative algebra with a view toward algebraic geometry|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=150|출판사=Springer-Verlag|날짜= 1995|isbn=978-0-387-94269-8|mr=1322960|doi=10.1007/978-1-4612-5350-1|issn=0072-5285 |zbl=0819.13001 | 언어=en}}</ref>{{rp|234, Corollary 10.6}}<ref name="Matsumura">{{서적 인용|이름=Hideyuki|성=Matsumura|기타=Miles Reid 역|총서=Cambridge Studies in Advanced Mathematics|권=8|제목=Commutative ring theory|출판사=Cambridge University Press|날짜=1989-06|isbn=978-0-521-36764-6|doi=10.1017/CBO9781139171762|mr=1011461|판=2|언어=en}}</ref>{{rp|161–162, Theorem 20.1}}
* 유일 인수 분해 정역이다.
* [[소 아이디얼의 높이|높이]]가 1인 모든 [[소 아이디얼]]이 [[주 아이디얼]]이다.

'''나가타 보조정리'''({{llang|en|Nagata’s lemma}})는 다음과 같다.<ref name="Eisenbud"/>{{rp|483, Lemma 19.20}} <math>R</math>가 뇌터 정역이며, <math>r\in R</math>가 다음 세 조건을 만족시킨다고 하자.
* <math>r\ne0</math>
* <math>(r)</math>는 [[소 아이디얼]]이다.
* [[국소화 (환론)|국소화]] <math>R_r</math>는 유일 인수 분해 정역이다.
그렇다면 <math>R</math>는 유일 인수 분해 정역이다.

'''오슬랜더-북스바움 정리'''({{llang|en|Auslander–Buchsbaum theorem}})에 따르면, 모든 [[정칙 국소환]]은 유일 인수 분해 정역이다.<ref name="Eisenbud"/>{{rp|483, Theorem 19.19}}<ref name="Matsumura"/>{{rp|163, Theorem 20.3}}<ref>{{저널 인용 | last=Auslander | first=Maurice | 이름2=David Alvin |성2=Buchsbaum|저자링크2=데이비드 북스바움 | title=Unique factorization in regular local rings | jstor=90213 | mr=0103906 | 날짜=1959 | journal=Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America | issn=0027-8424 | volume=45 | pages=733–734 | doi=10.1073/pnas.45.5.733}}</ref>

[[뇌터 환|뇌터]] 유일 인수 분해 정역 <math>D</math>에 대하여, 만약 <math>S\subseteq D</math>에 대하여 <math>0\not\in S</math>라면, [[국소화 (환론)|국소화]] <math>S^{-1}D</math> 역시 유일 인수 분해 정역이다.

=== 대수적 정수환의 유일 인수 분해 ===
일반적으로, [[대수적 수체]]의 [[대수적 정수환]]이 유일 인수 분해 정역일 필요충분조건은 그 [[아이디얼 유군]]이 [[자명군]]이라는 것이다. 즉, 이는 유수(= 아이디얼 유군의 크기)가 1인 경우이다. (대수적 정수환은 항상 [[데데킨트 정역]]이므로, 이 경우 유일 인수 분해 정역일 조건과 [[주 아이디얼 정역]]일 조건이 동치이다.)

<math>n</math>이 [[제곱 인수가 없는 정수]]라고 하자. 실수 [[이차 수체]] <math>\mathbb Q(\sqrt n)</math>의 [[대수적 정수환]] <math>\mathbb Z[\sqrt n]</math>이 유일 인수 분해 정역을 이루는 경우는 다음과 같다.
:''n'' = 	2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 14, 17, 19, … {{OEIS|A3172}}
허수 [[이차 수체]] <math>\mathbb Q(\sqrt{-n})</math>의 [[대수적 정수환]] <math>\mathbb Z[\sqrt{-n}]</math>이 유일 인수 분해 정역을 이루는 <math>n</math>을 '''[[헤그너 수]]'''라고 한다. 헤그너 수는 총 9개가 있으며, 다음과 같다.
:''n'' = 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163 {{OEIS|A3173}}

<math>n\in\mathbb Z^+</math>이 양의 정수라고 하며,
:<math>n\not\equiv2\pmod4</math>
라고 하자. 또한, <math>\zeta_n</math>이 <math>\zeta_n^n=1</math>을 만족시키는 수라고 하자. [[원분체]] <math>\mathbb Q(\zeta_n)</math>의 대수적 정수환 <math>\mathbb Z[\zeta_n]</math>이 유일 인수 분해 정역인 <math>n</math>은 총 30개가 있으며, 이들은 다음과 같다.
:''n'' = 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 24, 25, 27, 28, 32, 33, 35, 36, 40, 44, 45, 48, 60, 84 {{OEIS|A5848}}
(만약 <math>n\equiv2\pmod4</math>인 경우 <math>\mathbb Q(\zeta_n)=\mathbb Q(\zeta_{n/2})</math>이므로 중복된다.)

== 예 ==
수학에서 등장하는 많은 [[환 (수학)|환]]들이 유일 인수 분해 정역을 이룬다.
* [[정수]]의 환 <math>\mathbb Z</math> · [[가우스 정수]] 환 <math>\mathbb Z[i]</math> · [[아이젠슈타인 정수]] 환 <math>\mathbb Z[\zeta_3]</math>은 모두 [[주 아이디얼 정역]]이므로 유일 인수 분해 정역이다.
* 모든 [[체 (수학)|체]]([[유리수체]] · [[실수체]] · [[복소수체]] · [[유한체]] 등)는 유일 인수 분해 정역이다. 이 경우, 0이 아닌 모든 원소가 [[가역원]]이며, 따라서 이 경우는 자명한 예이다.
* 체 <math>K</math>에 대한 [[형식적 거듭제곱 급수]] 환 <math>K[[x_1,\dots,x_n]]</math>은 유일 인수 분해 정역이다.
* 체에 대한, 2변수 이상의 다항식환 <math>K[x_1,x_2,\dots x_n]</math>은 [[주 아이디얼 정역]]이 아닌 유일 인수 분해 정역의 예이다. (이 경우 <math>(x_1,x_2)</math>는 주 아이디얼이 아니다.)

유일 인수 분해 정역이 아닌 예로는 다음을 들 수 있다.
* [[대수적 정수환]] <math>\mathbb Z[\sqrt{-5}]</math>은 유일 인수 분해 정역이 아니다. 예를 들어, 6을 다음과 같이 두 가지 방법으로 인수분해할 수 있다.
::<math>6=2\cdot3=(1-\sqrt{-5})(1+\sqrt{-5})</math>
* 복소 평면 <math>\mathbb C</math> 위의 [[정칙 함수]]들의 환은 유일 인수 분해 정역이 아니다. 이는 무한히 많은 영점들을 갖는 함수는 유한하게 인수 분해 할 수 없기 때문이다. 예를 들어, 복소 [[사인 함수]] <math>z\mapsto \sin z</math>는 무한히 많은 영점을 가져, 유한하게 인수 분해할 수 없다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용 | last=Samuel | first=Pierre | 제목=Lectures on unique factorization domains | url=http://www.math.tifr.res.in/~publ/ln/tifr30.pdf | publisher=Tata Institute of Fundamental Research | 총서=Tata Institute of Fundamental Research Lectures on Mathematics | 권=30 | mr=0214579 | 날짜=1964 | 언어=en}}
* {{서적 인용| 이름=David |성=Sharpe | title=Rings and factorization | url=https://archive.org/details/ringsfactorizati0000shar | publisher=Cambridge University Press | 날짜=1987-08 | isbn=0-521-33718-6 |zbl=0674.13008|doi=10.1017/CBO9780511565960|isbn=978-052133718-2|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Factorial ring}}
* {{매스월드|id=UniqueFactorizationDomain|title=Unique factorization domain}}

{{전거 통제}}

[[분류:가환대수학]]
[[분류:대수적 수론]]
[[분류:인수분해]]