유수 (복소해석학) 문서 원본 보기

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'''유수'''(留數)란 주로 [[복소해석학]]에서 통용되는 개념으로서, 어떤 함수 <math>f</math>의 <math>z_0</math>을 중심으로 하고 그 [[정의역]] 내의 어떤 [[환영역]]에 대해 [[로랑 급수]] 전개가 주어졌다고 가정할 때 그 주부분의 첫 번째 항, 즉 <math>b_1</math> 항을 일컫는다. 보통 표기할 때 <math>\operatorname{Res}</math>라 쓰는데, 이것을 다음과 같이 환영역의 내부에서 임의의 양의 방향 단순 [[닫힌 경로]] <math>C</math>에 대한 적분으로 정리할 수 있다:
:<math>\operatorname{Res}(f,z_0)= b_1= \frac{1}{2\pi i} \oint\limits_{C}{f(z)} dz</math>

== 고립특이점과 유수 ==
환영역의 중심인 <math>z_0</math>가 '''[[특이점 (해석학)|고립특이점]]'''일 때가 수학적으로 주요한 관심사가 된다. 고립특이점의 정의에 따르면, 세 가지 경우(<math>z_0</math>가 제거가능, 극, 진성인 경우)가 있는데, 다음과 같은 두 가지 상황에서는 유수 계산이 비교적 쉽다:
# 만약 <math>z_0</math>가 '''제거가능 특이점'''이라면, 유수는 정의에 따라 <math>0</math>이다.
# 만약 <math>z_0</math>가 '''위수가 <math>n</math>인 극'''이라면, 함수 <math>g(z)=(z-z_0)^{n}f(z) (z\ne z_0); =b_n (z= z_0)</math>을 이용하여, 유수는 다음 식으로 결정될 수 있다 : <math>\operatorname{Res}(f,z_0)= \frac{g^{(n-1)}(z)}{(n-1)!}</math>
그러나, 만약 <math>z_0</math>이 '''진성특이점'''이라면, 유수는 각각의 경우마다 달리 계산해야 한다.

== 무한대에서의 유수 ==
유수의 정의를 확장하여, '''[[무한대]]'''의 경우에도 적용시킬 수 있다. 고립특이점이 <math>n</math>개 존재하는 함수 <math>f(z)</math>의 로랑 급수에 약간의 대수적 조작을 가하여, 이것을 함수 <math>\frac{1}{z^2}f\left(\frac{1}{z}\right)</math>에 관한 로랑 급수와 연관시킬 수 있기 때문이다. 이 함수의 <math>z= 0</math>에서의 유수에 대하여 모든 고립특이점을 밖에서 감싸는 임의의 단순 닫힌 경로 <math>C</math>를 생각하면 다음과 같은 식이 성립한다.
:<math>\operatorname{Res}\left(\frac{1}{z^2}f\left(\frac{1}{z}\right),0\right)= \frac{1}{2\pi i} \oint\limits_{C}{f(z)} dz</math>
이 때 경로 <math>C</math> 안쪽에서 역시 모든 고립특이점을 밖에서 감싸는 반지름 <math>R</math>인 [[원 (기하학)|원]]을 그릴 수 있다면, 이것은, <math>\frac{1}{z^2}f\left(\frac{1}{z}\right)</math> 을 <math>0< |z| < \frac{1}{R}</math>에서 로랑 급수로 전개했을 때의 <math>b_1</math> 항이라고 할 수 있다. 이것을 '''무한대에서 <math>f(z)</math>의 유수'''로 정의한다. 이것을 이용하면 [[유수 정리]]를,
:<math>\sum_{k=1}^n {\operatorname{Res}(f(z),z_k)}+ \operatorname{Res}(f(z),\infty)= 0</math>
와 같이 간략하게 쓸 수 있다.

== 같이 보기 ==
* [[유수 정리]]
* [[특이점 (해석학)|특이점]]

== 참고 문헌 ==
* 고석구, 『복소해석학개론(2판)』, 경문사, 2005

[[분류:유리형 함수]]