유사 콤팩트 공간 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[일반위상수학]]에서 '''유사 콤팩트 공간'''(類似compact空間, {{llang|en|pseudocompact space}})은 [[콤팩트 공간]]의 개념의 여러 변형 중 하나이다.

== 정의 ==
=== 유사 콤팩트 공간 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>에 대하여, 다음 네 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 <math>X</math>를 '''유사 콤팩트 공간'''이라고 한다.
* 임의의 [[연속 함수]] <math>X\to\mathbb R</math>의 [[상 (수학)|상]]은 [[유계 집합]]이다.
* 임의의 [[연속 함수]] <math>X\to\mathbb R</math>의 [[상 (수학)|상]]은 [[콤팩트 집합]]이다.<ref name="Stephenson">{{저널 인용
|성1=Stephenson
|이름1=R. M., Jr.
|제목=Pseudocompact spaces
|언어=en
|저널=Transactions of the American Mathematical Society
|권=134
|쪽=437–448
|날짜=1968
|issn=0002-9947
|doi=10.2307/1994867
|mr=0232349
|zbl=0169.53903
}}</ref>{{rp|438, Theorem 2.3.(v)}}
* 임의의 [[연속 함수]]의 열 <math>(f_n\colon X\to\mathbb R)_{n\in\mathbb N}</math>에 대하여, 만약 <math>f_n</math>이 [[국소 균등 수렴]]한다면, [[균등 수렴]]한다.<ref name="Iséki" />{{rp|320, Theorem 1}}<ref name="Bagley" />{{rp|501, Theorem 2.(iii)}}
* [[디니 정리]]가 성립한다. 즉, 임의의 [[유계 함수|유계]] [[연속 함수]]의 열 <math>(f_n\colon X\to\mathbb R)_{n\in\mathbb N}</math> 및 [[유계 함수|유계]] [[연속 함수]] <math>f\colon X\to\mathbb R</math>에 대하여, 만약 임의의 <math>x</math>에서 <math>f_0(x)\le f_1(x)\le\cdots</math>이며, <math>f_n</math>이 <math>f</math>로 [[점별 수렴]]한다면, <math>f_n</math>은 <math>f</math>로 [[균등 수렴]]한다.<ref name="Iséki">{{저널 인용
|성=Iséki
|이름=Kiyoshi
|제목=A characterisation of pseudo-compact spaces
|언어=en
|저널=Proceedings of the Japan Academy
|권=33
|쪽=320–322
|날짜=1957
|issn=0021-4280
|doi=10.3792/pja/1195525025
|mr=0090033
|zbl=0082.16003
}}</ref>{{rp|321, Theorem 3}}<ref name="Hart">{{서적 인용
|편집자-성1=Hart
|편집자-이름1=Klaas Pieter
|편집자-성2=Nagata
|편집자-이름2=Jun-iti
|편집자-성3=Vaughan
|편집자-이름3=Jerry E.
|제목=Encyclopedia of general topology
|언어=en
|출판사=Elsevier
|위치=Amsterdam
|날짜=2004
|isbn=0-444-50355-2
|mr=2049453
|zbl=1059.54001
}}</ref>{{rp|177, d-7, (m)}}
즉, 유사 콤팩트 공간은 모든 실수 값 연속 함수가 [[유계 함수]]가 되는 위상 공간이다.

=== 희박 콤팩트 공간 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>에 대하여, 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 <math>X</math>를 '''희박 콤팩트 공간'''이라고 한다.
* 임의의 [[열린집합]]들의 [[집합족]] <math>\mathcal U\subseteq\mathcal P(X)</math>에 대하여, 만약 <math>\mathcal U</math>가 [[국소 유한 집합족]]이라면, <math>\mathcal U</math>는 [[유한 집합]]이다.
* 임의의 [[열린집합]]들의 [[집합족]] <math>\mathcal U\subseteq\mathcal P(X)</math>에 대하여, 만약 <math>\mathcal U</math>가 [[국소 유한 집합족]]이자 [[서로소 집합족]]이라면, <math>\mathcal U</math>는 [[유한 집합]]이다.<ref name="Bagley">{{저널 인용
|성1=Bagley
|이름1=R. W.
|성2=Connell
|이름2=E. H.
|성3=McKnight
|이름3=J. D., Jr.
|제목=On properties characterizing pseudo-compact spaces
|언어=en
|저널=Proceedings of the American Mathematical Society
|권=9
|쪽=500–506
|날짜=1958
|issn=0002-9939
|doi=10.2307/2033015
|mr=0097043
|zbl=0089.17601
}}</ref>{{rp|500–501, Theorem 1.(ii)}}
* 임의의 [[가산 집합|가산]] [[열린 덮개]] <math>\mathcal U\subseteq\mathcal P(X)</math>에 대하여, [[합집합]]이 [[조밀 집합]]인 유한 부분 집합 <math>\mathcal U'\subseteq\mathcal U</math>가 존재한다.<ref name="Bagley" />{{rp|500–501, Theorem 1.(iv)}}
즉, 희박 콤팩트 공간은 [[열린집합]]들의 [[국소 유한 집합족]]이 유한 집합족밖에 없는 위상 공간이다.

== 성질 ==
=== 연산에 대한 닫힘 ===
희박 콤팩트 공간의 [[정칙 닫힌집합]]은 희박 콤팩트 공간이다. 반대로, 모든 [[정칙 닫힌집합|정칙 닫힌]] [[진부분 집합]]이 희박  콤팩트 공간인 위상 공간은 희박 콤팩트 공간이다.<ref name="Bagley" />{{rp|506, Theorem 14}}

유사 콤팩트 공간과 희박 콤팩트 공간의 [[곱공간]]에 대하여, 다음이 성립한다.
* 희박 콤팩트 공간의 곱공간들의 집합 <math>(X_i)_{i\in I}</math>에 대하여, 만약 [[국소 콤팩트 공간]]이 아닌 것이 하나 이하라면, [[곱공간]] <math>\textstyle\prod_{i\in I}X_i</math>은 희박 콤팩트 공간이다.<ref name="Scarborough" />{{rp|141, Theorem 4.6}} 특히, [[콤팩트 공간]]과 희박 콤팩트 공간의 [[곱공간]]은 희박 콤팩트 공간이다.<ref name="Scarborough">{{저널 인용
|성1=Scarborough
|이름1=C. T.
|성2=Stone
|이름2=A. H.
|제목=Products of nearly compact spaces
|언어=en
|저널=Transactions of the American Mathematical Society
|권=124
|쪽=131–147
|날짜=1966
|issn=0002-9947
|doi=10.2307/1994440
|mr=0203679
|zbl=0151.30001
}}</ref>{{rp|141, Lemma 4.5}}
* [[점렬 콤팩트 공간]]과 희박 콤팩트 공간의 [[곱공간]]은 희박 콤팩트 공간이다.<ref name="Scarborough" />{{rp|143, Theorem 5.2}}
* 두 희박 콤팩트 공간 <math>X</math>, <math>Y</math>에 대하여, 만약 적어도 하나가 [[제1 가산 공간]]이라면, <math>X\times Y</math>는 희박 콤팩트 공간이다.<ref name="Bagley" />{{rp|504, Theorem 6}}
* 두 유사 콤팩트 [[티호노프 공간]] <math>X</math>, <math>Y</math>에 대하여, 만약 적어도 하나가 [[콤팩트 생성 공간]]이라면, <math>X\times Y</math>는 유사 콤팩트 [[티호노프 공간]]이다.<ref name="Engelking" />{{rp|208, Theorem 3.10.26}}

유사 콤팩트 공간과 희박 콤팩트 공간의 [[상 (수학)|상]]·[[원상 (수학)|원상]]에 대하여, 다음이 성립한다.
* [[연속 함수]] <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, 만약 <math>X</math>가 유사 콤팩트 공간이라면, <math>f(X)</math> 역시 유사 콤팩트 공간이다.
* [[연속 함수]] <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, 만약 <math>X</math>가 희박 콤팩트 공간이라면, <math>f(X)</math> 역시 희박 콤팩트 공간이다.
* [[열린 함수|열린]] [[완전 사상]] <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, 만약 <math>Y</math>가 유사 콤팩트 공간이라면, <math>X</math> 역시 유사 콤팩트 공간이다.

=== 함의 관계 ===
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
:{| style="text-align: center"
| || || [[콤팩트 공간]]
|-
| || ↗ || || ↘
|-
| [[뇌터 공간]] || || || || [[가산 콤팩트 공간]] || → || 희박 콤팩트 공간 || → || 유사 콤팩트 공간
|-
| || ↘ || || ↗ || || ↘
|-
| || || [[점렬 콤팩트 공간]] || || || || [[극한점 콤팩트 공간]]
|}
{{증명|부제=가산 콤팩트 공간 ⇒ 희박 콤팩트 공간}}
만약 <math>X</math>가 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이며, <math>\{U_0,U_1,\dots\}</math>가 가산 무한 개의 [[열린집합]]들의 [[국소 유한 집합족]]이라면,
:<math>\left\{X\setminus\bigcup_{i\ge n}\operatorname{cl}U_i\colon n=0,1,2,\dots\right\}</math>
는 <math>X</math>의 가산 [[열린 덮개]]이며, 유한 부분 덮개를 갖지 않는다.
{{증명 끝}}
{{증명|부제=희박 콤팩트 공간 ⇒ 유사 콤팩트 공간}}
희박 콤팩트 공간 <math>X</math>가 주어졌으며, <math>f\colon X\to\mathbb R</math>가 임의의 [[연속 함수]]라고 하자. 그렇다면,
:<math>\{f^{-1}((i,i+2))\colon i=\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}</math>
는 <math>X</math>의 [[국소 유한 집합족|국소 유한]] [[열린 덮개]]이다. 따라서 이는 유한 덮개이며, <math>f(X)</math>는 유한 개의 [[열린구간]] <math>(i-1,i+1)</math>들의 [[합집합]]에 포함된다. 즉, <math>f(X)</math>는 [[유계 집합]]이다.
{{증명 끝}}
[[완비 정칙 공간]]에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Bagley" />{{rp|502, Theorem 3}}<ref name="Engelking">{{서적 인용
|이름1=Ryszard
|성1=Engelking
|제목=General topology
|언어=en
|판=개정 완결
|총서=Sigma Series in Pure Mathematics
|권=6
|출판사=Heldermann Verlag
|위치=Berlin
|날짜=1989
|isbn=3-88538-006-4
|mr=1039321
|zbl=0684.54001
}}</ref>{{rp|207, Theorem 3.10.22}}
* 희박 콤팩트 공간이다.
* 유사 콤팩트 공간이다.
{{증명}}
[[완비 정칙 공간]] <math>X</math>가 주어졌으며, <math>\{U_0,U_1,\dots\}</math>가 가산 무한 개의 [[열린 집합]]들의 [[국소 유한 집합족]]이라고 하자. 모든 <math>i=0,1,2,\dots</math>에 대하여 <math>x_i\in U_i</math>를 고르자. 완비 정칙성에 따라
:<math>f_i(x_i)=1</math>
:<math>f_i|_{X\setminus U_i}=0</math>
인 [[연속 함수]] <math>f_i\colon X\to[0,1]</math>가 존재한다. 함수
:<math>f=\sum_{i=0}^\infty f_i\colon X\to[0,\infty)</math>
를 생각하자. 국소 유한성에 따라, 이는 국소적으로 유한합이며, 국소적으로 [[연속 함수]]이다. 따라서 <math>f</math>는 [[연속 함수]]이며, 또한 [[유계 함수]]가 아니다.
{{증명 끝}}
유사 콤팩트 [[정규 공간]]은 [[극한점 콤팩트 공간]]이다. 따라서, ([[T1 공간|T<sub>1</sub>]]에 대하여 [[가산 콤팩트 공간]]과 [[극한점 콤팩트 공간]]의 개념이 [[동치]]이므로,) [[정규 공간|정규 하우스도르프 공간]]에 대하여, 다음 네 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Bagley" />{{rp|502, Theorem 4}}
* [[가산 콤팩트 공간]]이다.
* [[극한점 콤팩트 공간]]이다.
* 희박 콤팩트 공간이다.
* 유사 콤팩트 공간이다.
{{증명}}
[[정규 공간|정규]] [[하우스도르프 공간]] <math>X</math>가 [[가산 콤팩트 공간]]이 아니라고 하자. [[T1 공간|T<sub>1</sub> 공간]]의 경우 [[가산 콤팩트 공간]]과 [[극한점 콤팩트 공간]]이 [[동치]]이므로, <math>X</math>는 [[극한점 콤팩트 공간]]이 아니다. <math>\{x_0,x_1,\dots\}\subseteq X</math>가 [[가산 무한 집합]]이며, [[극한점]]을 갖지 않는다고 하자. 그렇다면 이는 [[닫힌집합]]이며, [[이산 공간]]이다. 함수
:<math>f\colon\{x_0,x_1,\dots\}\to\mathbb R</math>
:<math>f(x_i)=i\forall i\in\{0,1,\dots\}</math>
를 생각하자. <math>\{x_0,x_1,\dots\}</math>가 [[이산 공간]]이므로 이는 [[연속 함수]]이다. [[티체 확장 정리]]에 따라, 이를 확장하는 [[연속 함수]]
:<math>g\colon X\to\mathbb R</math>
:<math>g(x_i)=i\forall i=0,1,\dots</math>
가 존재한다. <math>g</math>는 [[유계 함수]]가 아니므로, <math>X</math>는 유사 콤팩트 공간이 아니다.
{{증명 끝}}
[[거리화 가능 공간]]의 경우, [[콤팩트 공간]]·[[점렬 콤팩트 공간]]·[[가산 콤팩트 공간]]·[[극한점 콤팩트 공간]]·희박 콤팩트 공간·유사 콤팩트 공간의 개념이 모두 [[동치]]이다. ([[뇌터 공간]] 조건은 심지어 [[유클리드 공간]]의 경우에도 나머지 조건들보다 강하다.)

이 밖에도, 다음과 같은 함의 관계들이 성립한다.
* 유사 콤팩트 [[완비 정칙 공간]]은 [[베르 공간]]이다.<ref name="Engelking" />{{rp|207, Example 3.10.23}}
* [[파라콤팩트 공간|파라콤팩트]] 희박 콤팩트 공간은 [[콤팩트 공간]]이다.<ref name="Bagley" />{{rp|504, Theorem 8}}
* [[메타콤팩트 공간|메타콤팩트]] 유사 콤팩트 [[완비 정칙 공간]]은 [[콤팩트 공간]]이다.<ref name="Watson">{{저널 인용
|성=Watson
|이름=W. Stephen
|제목=Pseudocompact metacompact spaces are compact
|언어=en
|저널=Proceedings of the American Mathematical Society
|권=81
|쪽=151–152
|날짜=1981
|issn=0002-9939
|doi=10.2307/2044009
|mr=0589159
|zbl=0468.54014
}}</ref>
* [[가산 파라콤팩트 공간|가산 파라콤팩트]] 희박 콤팩트 공간은 [[가산 콤팩트 공간]]이다.<ref name="Bagley" />{{rp|505, Theorem 9}}
* 유사 콤팩트 [[균등 공간]]은 [[완전 유계 공간]]이다. 특히, 유사 콤팩트 [[완비 균등 공간]]은 [[콤팩트 공간]]이다.<ref name="IsékiANote">{{저널 인용
|성=Iséki
|이름=Kiyoshi
|제목=A note on compact space
|언어=en
|저널=Proceedings of the Japan Academy
|권=33
|쪽=271
|날짜=1957
|issn=0021-4280
|doi=10.3792/pja/1195525065
|mr=0089395
|zbl=0082.16002
}}</ref>
* [[기약 공간]]은 희박 콤팩트 공간이다.

=== 유사 콤팩트 위상군 ===
[[군 (수학)|군]] <math>G</math>와 그 위의 유사 콤팩트 위상에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Arhangel’skii" />{{rp|121, Corollary 2.4.2}}
* [[위상군]]이다.
* 군의 곱셈 <math>(g,h)\mapsto gh</math>가 [[연속 함수]]이다.
즉, 유사 콤팩트 위상군의 경우 정의에서 역원의 연속성을 생략하여도 좋다.

모든 [[위상군]]은 [[완비 정칙 공간]]이므로, 유사 콤팩트 위상군은 자동적으로 희박 콤팩트 공간이다.

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.<ref name="Arhangel’skii">{{서적 인용
|성1=Arhangel’skii
|이름1=Alexander
|성2=Tkachenko
|이름2=Mikhail
|제목=Topological groups and related structures
|언어=en
|총서=Atlantis Studies in Mathematics
|권=1
|출판사=Atlantis Press
|위치=Paris
|날짜=2008
|isbn=978-90-78677-06-2
|mr=2433295
|zbl=1323.22001
}}</ref>{{rp|193, Theorem 3.7.2}}<ref name="Arhangel’skii" />{{rp|195, Corollary 3.7.8}}
:유사 콤팩트 위상군 → [[완전 유계 위상군]] → [[균형군]]
특히, 모든 유사 콤팩트 위상군은 [[베유 완비화]]를 갖는다.

임의의 유사 콤팩트 위상군들의 집합의 [[곱 (범주론)|곱]]은 유사 콤팩트 위상군이다.<ref name="Comfort">{{저널 인용
|성1=Comfort
|이름1=W. W.
|성2=Ross
|이름2=Kenneth A.
|제목=Pseudocompactness and uniform continuity in topological groups
|언어=en
|저널=Pacific Journal of Mathematics
|권=16
|쪽=483–496
|날짜=1966
|issn=1945-5844
|doi=10.2140/pjm.1966.16.483
|mr=0207886
|zbl=0214.28502
}}</ref>{{rp|487, Theorem 1.4}}

[[위상군]]에 대하여, 다음 네 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Comfort" />{{rp|490, Theorem 2.8}}
* 임의의 [[연속 함수]] <math>G\to\mathbb R</math>는 <math>G</math>의 [[왼쪽 균등 공간 구조]]에 대하여 [[균등 연속 함수]]이다.
* 임의의 [[연속 함수]] <math>G\to\mathbb R</math>는 <math>G</math>의 [[오른쪽 균등 공간 구조]]에 대하여 [[균등 연속 함수]]이다.
* 임의의 [[유계 함수|유계]] [[연속 함수]] <math>G\to\mathbb R</math>는 <math>G</math>의 [[왼쪽 균등 공간 구조]]에 대하여 [[균등 연속 함수]]이다.
* 임의의 [[유계 함수|유계]] [[연속 함수]] <math>G\to\mathbb R</math>는 <math>G</math>의 [[오른쪽 균등 공간 구조]]에 대하여 [[균등 연속 함수]]이다.

이 조건을 (U)라고 하자. 그렇다면, [[위상군]]에 대하여, 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 유사 콤팩트 공간이다.
* [[완전 유계 위상군]]이며, 조건 (U)를 만족시킨다.<ref name="Comfort" />{{rp|490, Theorem 2.7}}
* [[완전 유계 위상군]]이며, 그 [[베유 완비화]]는 위상 공간으로서 [[스톤-체흐 콤팩트화]]와 일치한다.<ref name="Comfort" />{{rp|494, Theorem 4.1.(e)}}

== 예 ==
=== 가산 콤팩트 공간이 아닌 희박 콤팩트 공간 ===
[[닫힌구간]] <math>[0,1]</math> 위에, 통상적인 위상에서의 [[열린집합]]들과 집합
:<math>[0,1]\setminus\{1/n\colon n=1,2,\dots\}</math>
을 [[부분 기저]]로 하는 위상을 주자. 이는 희박 콤팩트이지만, 가산 콤팩트 공간이 아니며, 또한 [[하우스도르프 공간]]이지만 [[정칙 공간]]이 아니다.<ref name="Stephenson" />{{rp|441, Example 3.1}}

임의의 [[정규 공간|정규]] [[하우스도르프 공간]] <math>X</math> 및 [[닫힌집합]] <math>Y\subseteq X</math>에 대하여, [[스톤-체흐 콤팩트화]] 사이의 표준적인 매장 <math>\beta Y\hookrightarrow\beta X</math>가 존재한다. 이제, 다음과 같은 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]을 생각하자.
:<math>\beta\mathbb R\setminus(\beta\mathbb N\setminus\mathbb N)</math>
이는 유사 콤팩트 [[티호노프 공간]]이지만, [[가산 콤팩트 공간]]이 아니다.<ref name="Engelking" />{{rp|208, Example 3.10.29}}

=== 희박 콤팩트 공간이 아닌 유사 콤팩트 공간 ===
<math>\mathbb Q\times(\mathbb Q^+\cup\{0\})</math> 위에 모든 점 <math>(x,y)</math>이 다음과 같은 [[국소 기저]]를 갖는 위상을 주자.
:<math>\mathcal B_{(x,y)}=\begin{cases}
\{(x-\epsilon,x+\epsilon)\times\{0\}\colon\epsilon\in\mathbb R^+\} & y=0 \\
\{\{(x,y)\}\cup((x-y/\sqrt3-\epsilon,x-1+\epsilon)\cup(x+y/\sqrt3-\epsilon,x+1+\epsilon)\times\{0\})\colon\epsilon\in\mathbb R^+\} & y\in\mathbb Q^+
\end{cases}
</math>
이렇게 만든 위상 공간은 유사 콤팩트 공간이지만, 희박 콤팩트 공간이 아니다. 구체적으로, <math>\{(n,\infty)\times\{0\}\colon n=0,1,\dots\}</math>은 무한 [[국소 유한 집합족]]이다. 이는 [[콜모고로프 공간]]이지만 [[T1 공간|T<sub>1</sub> 공간]]이 아니며, [[정칙 공간]]이나 [[정규 공간]]도 아니다.<ref name="Stephenson" />{{rp|442, Example 3.2}}

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Pseudo-compact space}}
* {{플래닛매스|urlname=pseudocompactspace|제목=Pseudocompact space}}
* {{웹 인용|url=https://topospaces.subwiki.org/wiki/Pseudocompact_space|제목=Pseudocompact space|웹사이트=Topospaces|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://topospaces.subwiki.org/wiki/Feebly_compact_space|제목=Feebly compact space|웹사이트=Topospaces|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:위상 공간의 성질]]