유사 미분 연산자 문서 원본 보기

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[[조화해석학]]에서 '''유사 미분 연산자'''(類似微分演算子, {{llang|en|pseudodifferential operator}}, 약자 ΨDO)는 [[미분 연산자]]와, 매끄러운 함수와의 곱셈의 공통된 일반화이다. [[푸리에 변환]] 공간에서 위치와 운동량에 의존하는 임의의 매끄러운 함수를 곱한 뒤 다시 역변환시키는 연산이다.

== 정의 ==
[[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^n</math> 위의 복소수 값 [[매끄러운 함수]]의 집합을 <math>\mathcal C^\infty(\mathbb R^n)</math>이라고 쓰고, 복소수 값 [[콤팩트 지지]] [[매끄러운 함수]]의 집합을 <math>\mathcal C^\infty_0(\mathbb R^n)</math>이라고 쓰자. <math>\mathcal C^\infty(\mathbb R^n)</math>은 자연스럽게 [[프레셰 공간]]을 이루며, <math>\mathcal C^\infty_0(\mathbb R^n)</math>은 자연스럽게 [[완비 거리화 가능]] [[국소 볼록 공간]]을 이룬다.

<math>\mathcal C^\infty_0(\mathbb R^n)</math> 위에 작용하는 '''유사 미분 연산자'''는 다음과 같은 꼴의 [[선형 변환]]이다.
:<math>P(x,D)\colon\mathcal C^\infty_0(\mathbb R^n)\to\mathcal C^\infty(\mathbb R^n)</math>
:<math>P(x,D)\colon u (x) \mapsto \frac1{(2 \pi)^n} \int_{\mathbb R^n} \exp(ix\cdot\xi)\tilde P(x,\xi) \hat u(\xi) \, d^n\xi</math>
여기서
:<math>\hat u(\xi)=\int_{\mathbb R^n}\exp(-ix\cdot\xi)u(x)\,d^nx</math>
는 <math>u</math>의 [[푸리에 변환]]이며,
:<math>\tilde P\colon\mathbb R^n\times\mathbb R^n\to\mathbb R</math>
:<math>\tilde P\colon(x,\xi)\mapsto P(x,\xi)</math>
는 [[매끄러운 함수]]이다. <math>\tilde P(x,\xi)</math>를 유사 미분 연산자 <math>P(x,D)</math>의 '''표상'''(表象, {{llang|en|symbol}})이라고 한다.

<math>\mathbb R^n</math> 위의 [[다중지표]]의 집합을 <math>\mathbb N^n</math>으로 쓰자. 어떤 정수 <math>m\in\mathbb Z</math>에 대하여 유사 미분 연산자 <math>P(x,D)</math>의 표상 <math>\tilde P(x,\xi)</math>가
:<math>\sup_{(x,\xi)\in\mathbb R^n\times\mathbb R^n}\frac{|\partial_\xi^\alpha \partial_x^\beta P(x,\xi)|}{(1+|\xi|)^{m-|\alpha|}} <\infty \qquad\forall\alpha,\beta\in\mathbb N^n</math>
를 만족시킨다면, <math>P(x,D)</math>를 '''<math>m</math>차 유사 미분 연산자'''라고 한다. <math>m</math>차 표상들의 집합은 보통 <math>S^m</math>으로 쓰며, <math>m</math>차 유사 미분 연산자의 집합은 <math>\operatorname{\Psi DO}^m(\mathbb R^n)</math>으로 쓴다. 모든 유사 미분 연산자는 <math>\mathcal C_0^\infty(\mathbb R^n)\to\mathcal C^\infty_0(\mathbb R^n)</math> 함수로서 [[연속 함수]]이다.

=== 유사 미분 연산자의 분포 위의 작용 ===
<math>\mathbb R^n</math> 위의 [[분포 (해석학)|분포]]
:<math>T\colon\mathcal C^\infty_0(\mathbb R^n)\to\mathbb R</math>
가 주어졌다고 하자. <math>\mathbb R^n</math> 위의 유사 미분 연산자 <math>P</math>의 표상이 [[콤팩트 지지]]라고 하자. 그렇다면, <math>P</math>를 분포 <math>T</math> 위에 작용하도록 확장할 수 있다. 구체적으로, 다음과 같다.
:<math>PT\colon\mathbb C^\infty_0\to\mathbb R</math>
:<math>\langle PT|u\rangle=\langle T|P^* u\rangle</math>
여기서
:<math>P^*\colon\mathcal C^\infty_0(\mathbb R^n)\to\mathcal C^\infty_0(\mathbb R^n)</math>
은 <math>P</math>의 [[에르미트 수반]]이다.

이에 따라, [[콤팩트 지지]] 표상의 유사 미분 연산자는 [[분포 (해석학)|분포]] 공간 <math>\mathcal D'(\mathbb R^n)</math> 위에 작용한다.
:<math>P\colon\mathcal D'(\mathbb R^n)\to\mathcal D'(\mathbb R^n)</math>

=== 다양체 위의 유사 미분 연산자 ===
[[매끄러운 다양체]]는 [[유클리드 공간]]의 [[열린집합]] <math>\{U_i\}_{i\in I}</math>들을 [[매끄러운 함수|매끄러운]] 추이 사상
:<math>\phi_{ij}\colon U_i\cap U_j\to U_i\cap U_j</math>
으로 이어붙여 만든다.

유클리드 공간의 [[열린집합]] <math>U,V,U',V'\subseteq\mathbb R^n</math> 및 유사 미분 연산자
:<math>P\colon\mathcal C^\infty_0(U)\to\mathcal C^\infty(V)</math>
및 [[미분 동형]] ("좌표 변환")
:<math>\iota_U\colon U\to U'</math>
:<math>\iota_V\colon V\to V'</math>
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, [[선형 변환]]
:<math>P'\colon\mathcal C^\infty_0(U')\to\mathcal C^\infty(V')</math>
:<math>P'\colon u\mapsto \iota_V\circ P(f\circ\iota_U^{-1})</math>
를 정의할 수 있으며, 또한 <math>P'</math> 역시 유사 미분 연산자임을 보일 수 있다. 또한, 만약 <math>P</math>가 <math>m</math>차 유사 미분 연산자라면 <math>P'</math> 역시 <math>m</math>차 유사 미분 연산자이다. 따라서, 좌표 근방계에 조각마다 유사 미분 연산자를 정의한 뒤 이를 짜깁기하여 매끄러운 다양체 위의 <math>m</math>차 유사 미분 연산자의 개념을 정의할 수 있다.<ref name="Joshi"/>{{rp|§8}}

=== 고전 유사 미분 연산자 ===
<math>m</math>차 표상 <math>\tilde P\colon\mathbb R^n\times\mathbb R^n\to\mathbb R</math>에 대하여, 만약 다음 조건을 만족시키는 표상의 열 <math>(\tilde P_i)_{i\in\mathbb N}</math>가 존재한다면, <math>\tilde P</math>를 '''고전 표상'''({{llang|en|classical symbol}})이라고 한다.<ref name="Joshi"/>{{rp|Definition 5.1}}
* <math>\tilde P_i\colon\mathbb R^n\times\mathbb R^n\to\mathbb R</math>는 <math>i</math>차 [[동차함수]]이다. 즉, <math>\tilde P_i(\alpha x,\alpha\xi)=\alpha^i\tilde P_i(x,\xi)</math>이다.
* [[콤팩트 지지]] [[매끄러운 함수]] <math>\phi\colon\mathbb R^n\to\mathbb R</math>에 대하여, 만약 <math>\phi(x)=1\forall x\in U</math>가 되는 0의 [[근방]] <math>U\ni0</math>가 존재한다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
*:<math>\tilde P(x,\xi)-\sum_{i=0}^{N-1}(1-\phi(\xi))\tilde P_{m-i}(x,\xi) \in S^{m-N}\qquad\forall N\in\mathbb Z^+</math>
'''고전 유사 미분 연산자'''({{llang|en|classical pseudodifferential operator}})는 그 표상이 고전 표상인 유사 미분 연산자이다. 고전 유사 미분 연산자의 집합을 <math>\operatorname{\Psi DO}_{\operatorname{cl}}^m</math>으로 쓰자.

== 성질 ==
<math>\mathbb R^n</math> 위의, 표상이 <math>\tilde P\colon\mathbb R^n\times\mathbb R^n\to\mathbb R</math>인 유사 미분 연산자 <math>P(x,D)</math>에 대하여, 만약 <math>\tilde P(x,\xi)</math>가 [[콤팩트 지지]] 함수라면, <math>P(x,D)</math>의 [[상 (수학)|상]]은 <math>\mathcal C^\infty_0(\mathbb R^n)</math>에 속한다. 즉,
:<math>P(x,D)\colon\mathcal C^\infty_0(\mathbb R^n)\to\mathcal C^\infty_0(\mathbb R^n)</math>
이다.<ref name="Joshi">{{저널 인용|arxiv=math/9906155|제목=Introduction to pseudo-differential operators | 성=Joshi | 이름= M. S. | 날짜=1999 | bibcode=1999math......6155J | 언어=en}}</ref>{{rp|Theorem 4.2}}

== 예 ==
임의의 [[미분 연산자]]
:<math>\sum_{\alpha\in\mathbb N^n}c_\alpha\partial_x^\alpha</math>
의 경우, 그 표상
:<math>\tilde P(\xi)=\sum_{\alpha\in\mathbb N^n}c_\alpha\xi^\alpha</math>
을 정의하면 유사 미분 연산자
:<math>u(x)\mapsto\frac1{(2\pi)^n}\int_{\mathbb R^n}\exp(ix\cdot\xi) \tilde P(\xi) \hat u(x)\,d^n\xi</math>
로 나타낼 수 있다.

마찬가지로, 임의의 매끄러운 함수 <math>f\colon\mathbb R^n\to\mathbb R</math>에 대하여, 곱셈 연산자
:<math>u(x)\mapsto f(x)u(x)</math>
역시 표상이 <math>f(x)</math>인 유사 미분 연산자
:<math>u(x)\mapsto\frac1{(2\pi)^n}\int_{\mathbb R^n}\exp(ix\cdot\xi) \tilde P(x) \hat u(\xi)\,d^n\xi</math>

== 역사 ==
1960년대에 조지프 존 콘({{llang|en|Joseph John Kohn}}) · [[루이스 니런버그]] · [[라르스 회르만데르]] 등이
유사 미분 연산자의 이론을 개발하였다. 이후, 유사 미분 연산자의 개념은 [[아티야-싱어 지표 정리]]의 증명에 중요한 역할을 하였다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|이름=Michael Eugene|성=Taylor|제목= Pseudodifferential operators|출판사= Princeton Univ. Press 1981 |isbn=978-0-691-08282-0 | 총서=Princeton Mathematical Series | 권=34 | url=http://press.princeton.edu/titles/803.html | 언어=en}}
* {{서적 인용|이름=Mkhail A.|성= Shubin|제목= Pseudodifferential operators and spectral theory|출판사=Springer|날짜= 2001|isbn= 3-540-41195-X  | doi=10.1007/978-3-642-56579-3 | 기타= S.I. Andersson 역|판=2 | 언어=en}}
* {{서적 인용|이름=Jean-François|성=Treves|제목= Introduction to pseudodifferential and Fourier integral operators|총서=The University Series in Mathematics| doi=10.1007/978-1-4684-8780-0 | 출판사=Springer| 날짜= 1980|isbn=978-1-4684-8782-4 | 언어=en}}
*  {{서적 인용|이름=F. G.|성= Friedlander |이름2= Mark Suresh |성2=Joshi|제목= Introduction to the theory of distributions|출판사=Cambridge University Press |판=2 | 날짜=1999-01|isbn=978-0-521-64015-2
| url = http://www.cambridge.org/us/academic/subjects/mathematics/abstract-analysis/introduction-theory-distributions-2nd-edition?format=HB | 언어=en}}
* {{서적 인용
|first=Lars
|last=Hörmander
|authorlink= 라르스 회르만데르
|title=The analysis of linear partial differential operators III: Pseudo-differential operators
|year=1987
|publisher=Springer
|isbn=3-540-49937-7  | 언어=en}}

== 같이 보기 ==
* [[미분 대수]]
* [[푸리에 변환]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Pseudo-differential operator}}
* {{매스월드|id=PseudodifferentialOperator|title=Pseudodifferential operator}}
* {{nlab|id=pseudodifferential operator|title=Pseudodifferential operator}}

{{전거 통제}}

[[분류:미분 연산자]]
[[분류:조화해석학]]
[[분류:편미분 방정식]]
[[분류:함수해석학]]