유사 거리 공간 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[기하학]]에서 '''유사 거리 공간'''(類似距離空間, {{llang|en|pseudometric space}})은 임의의 두 점 사이의 거리를 잴 수 있지만, 서로 다른 두 점 사이의 거리가 0이 될 수 있는 기하학적 공간이다. 유사 거리 공간 가운데, 서로 다른 두 점 사이의 거리가 양수인 것을 '''[[거리 공간]]'''이라고 한다.

== 정의 ==
집합 <math>X</math> 위의 '''확장 유사 거리 함수'''(擴張類似距離函數, {{llang|en|extended pseudometric function}})는 다음 조건을 만족시키는 함수
:<math>d\colon X \times X\to[0,\infty]</math>
이다.<ref name="Doob">{{서적 인용|제목=Measure theory|이름=Joseph Leo|성=Doob|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=143|doi=10.1007/978-1-4612-0877-8|isbn=978-0-387-94055-7|날짜=1994|출판사=Springer-Verlag|issn=0072-5285|zbl=0791.28001|언어=en}}</ref>{{rp|12, §0.13}}
* 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>d(x,x)=0</math>
* (대칭성) 임의의 <math>x,y\in X</math>에 대하여, <math>d(x,y) = d(y,x)</math>
* ([[삼각 부등식]]) 임의의 <math>x,y,z\in X</math>에 대하여, <math>d(x,y) + d(y,z) \ge d(x,z)</math>
둘째·셋째 공리는 다음과 같은 하나의 공리로 대체될 수 있다.
* (삼각 부등식) <math>d(z,y) + d(y,x) \ge d(x,z)</math>
여기서 <math>y=x</math>로 잡으면 <math>d(y,x)=d(x,y)</math>가 되어, 대칭 공리를 얻는다. 만약 <Math>d</math>의 [[공역]]을 음이 아닌 [[확장된 실수]] <Math>[0,\infty]</math> 대신 음이 아닌 실수 <Math>[0,\infty)</math>로 대체할 경우, '''유사 거리 함수'''의 개념을 얻는다.

만약 (확장) 유사 거리 함수 <math>d</math>가 다음 조건을 추가로 만족시킨다면, '''(확장) [[거리 함수]]'''라 한다.
* (구분 불가능한 점의 동일성) 임의의 <math>x,y\in X</math>에 대하여, <math>d(x,y) = 0 \iff x = y </math>

'''(확장) 유사 거리 공간'''({{llang|en|(extended) pseudometric space}}) <math>(X,d)</math>은 (확장) 유사 거리 함수가 주어진 집합이다.<ref name="Doob"/>{{rp|12, §0.13}}

=== 유사 거리 공간의 특별한 집합 ===
{{본문|공 (수학)}}
확장 유사 거리 공간 <math>X</math>에서, 점 <math>x\in X</math>를 중심으로 하는, 반지름이 <math>r\in(0,\infty]</math>인 '''열린 공''' <math>\operatorname{ball}(x,r)</math>는 다음과 같다.
:<math>B_r(x)=\{y\in X\colon d(x,y)<r\}</math>

유사 거리 공간 <math>X</math>의 '''[[유계 집합]]''' <math>S\subset X</math>는 다음 조건을 만족시키는 부분 집합이다.
* <math>\sup\{d(x,s)\colon s\in S\}<\infty</math>인 점 <math>x\in X</math>가 존재한다.

=== 거리 위상 ===
확장 유사 거리 공간 <math>(X,d)</math>의 '''유사 거리 위상'''(類似距離位相, {{llang|en|pseudometric topology}})은 열린 공들을 [[기저 (위상수학)|기저]]로 하는 [[위상 공간 (수학)|위상]]이다. 즉, 유사 거리 위상에서의 [[열린집합]]은 다음 조건을 만족시키는 [[부분 집합]] <math>U\subset X</math>이다.
:모든 <math>x\in U</math>에 대하여, <math>\operatorname{ball}(x,r_x)\subseteq U</math>인 <math>r_x>0</math>가 존재한다.
이에 따라 모든 확장 유사 거리 공간은 표준적으로 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]을 이룬다. 그러나 [[거리 공간]]의 경우와 달리 이는 [[콜모고로프 공간]]이 되지 않을 수 있다.

== 연산 ==
=== 지름 ===
확장 유사 거리 공간 <math>(X,d)</math>의 '''지름'''({{llang|en|diameter}}) <math>\operatorname{diam}X</math>는 그 속의 두 점 사이의 가능한 거리들의 [[상한]]이다.
:<math>\operatorname{diam}X=\sup_{x,y\in X}d(x,y)\in[0,\infty]</math>
마찬가지로, 유사 거리 공간의 부분 집합은 거리 공간을 이루므로 그 지름을 정의할 수 있다.

지름이 유한한 확장 유사 거리 공간을 '''[[유계 집합|유계]]''' 유사 거리 공간 이라고 한다.

=== 거리화 ===
유사 거리 공간 <math>(X,d)</math> 위에 다음과 같은 [[동치 관계]]를 줄 수 있다.
:<math>x\sim y\iff d(x,y)=0\qquad\forall x,y\in X</math>
그렇다면, 이에 대한 몫집합 <math>X/\sim</math> 위에 다음과 같은 거리 함수가 존재한다.
:<math>d([x]_\sim,[y]_\sim)=d(x,y)\qquad\forall x,y\in X</math>
이에 따라 <math>X/\sim</math>은 거리 공간을 이룬다.

== 성질 ==
유사 거리 공간 <math>(X,d)</math>의 임의의 부분 집합 <math>Y\subseteq X</math>에 대하여, <math>(Y,d|_{Y\times Y})</math>는 유사 거리 공간을 이룬다.

=== 위상수학적 성질 ===
{{본문|거리화 가능 공간}}
모든 유사 거리 공간은 다음 성질들을 만족시킨다.
* [[파라콤팩트 공간]]이다.
* [[완전 정규 공간]]이다.
* [[제1 가산 공간]]이다.

=== 함의 관계 ===
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
:[[거리 공간]] ⇒ 유사 거리 공간 ⇒ 확장 유사 거리 공간 ⇒ [[로비어 공간]]

== 예 ==
[[불 대수]] <math>B</math> 위의 유한 [[유한 가법 측도]] <math>\mu\colon B\to[0,\infty)</math>가 주어졌을 때, <math>\Sigma</math> 위에는 다음과 같은 자연스러운 유사 거리 함수가 존재한다.
:<math>d(A,B)=d(A\bigtriangleup B)=d(A\setminus B)+d(B\setminus A)</math>
여기서 <math>\bigtriangleup</math>은 [[대칭차]]이다.

함수해석학에서, [[Lp 공간|L<sup>''p''</sup> 거리 공간]] <math>L^p(X)</math>은 어떤 함수 공간 <math>\mathcal L^p(X)</math>의 거리 공간화로 정의되며, <math>\mathcal L^p(X)</math>는 유사 거리 공간이지만 일반적으로 거리 공간이 아니다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Pseudo-metric}}
* {{매스월드|id=Pseudometric|title=Pseudometric}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Pseudometric|제목=Definition: pseudometric|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}

[[분류:계량기하학]]
[[분류:위상 공간의 성질]]