유사환 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{대수 구조}}
[[환론]]에서 '''유사환'''(類似環, {{llang|en|pseudoring}} 또는 {{llang|en|rng}} {{IPA|[rʌŋ]}})은 [[환 (수학)|환]]과 유사하나, 곱셈에 대한 [[항등원]]을 갖지 않을 수 있는 구조다.

== 정의 ==
'''유사환''' <math>(R,+,\cdot)</math>은 다음 공리들을 만족시키는 [[대수 구조]]다.
# <math>(R,+)</math>는 [[아벨 군]]이다.
# <math>(R,\cdot)</math>는 [[반군]](항등원을 가지지 않을 수 있고 [[결합 법칙]]을 따르는 이항연산)이다.
# [[분배법칙]]이 성립한다. 즉, 임의의 <math>r,s,t\in R</math>에 대하여 <math>(r+s)t=rt+st</math>이고, <math>r(s+t)=rs+rt</math>이다.
만약 두 번째 조건에서 [[반군]]을 [[모노이드]](항등원을 갖춘 반군)로 강화시키면, (항등원을 갖춘) [[환 (수학)|환]]을 얻는다.

유사환의 [[준동형]]은 두 유사환 사이에서 덧셈과 곱셈, 0(덧셈의 항등원)을 보존하는 사상이다. (반면, [[환 준동형]]은 곱셈에 대한 항등원 1 또한 보존해야 한다.) 유사환과 유사환 준동형의 [[범주 (수학)|범주]]를 Rng이라고 한다.

유사환의 '''아이디얼'''과 '''몫유사환'''을 환의 [[아이디얼]]과 [[몫환]]과 유사하게 정의할 수 있다. 예를 들어, 유사환 <math>R</math>의 좌 아이디얼 <math>\mathfrak a</math>는 덧셈에 대하여 [[아벨 군]]을 이루고, <math>R\mathfrak a\subset\mathfrak a</math>인 부분공간이다.

== 성질 ==
유사환들은 [[대수 구조 다양체]]를 이룬다. 따라서, 유사환의 범주는 곱과 쌍대곱, [[시작 대상]] 및 [[끝 대상]]을 갖는다. 유사환의 범주에서 시작 대상과 끝 대상은 같으며, [[자명환]] <math>0</math>이다.

두 유사환 <math>R</math>, <math>S</math>의 곱은 [[집합]]으로서 <math>R\times S</math>이며, 환 연산은 다음과 같다.
:<math>(r,s)+(r',s')=(r+r',s+s')</math>
:<math>(r,s)(r',s')=(rr',ss')</math>
유사환의 범주에서의 쌍대곱은 [[자유곱]]이다.

=== 단위화 ===
임의의 유사환이 주어지면, 여기에 곱셈에 대한 항등원을 첨가하여 [[환 (수학)|환]]으로 만드는 표준적인(canonical) 방법이 존재한다. [[범주론]]적으로 쓰면 다음과 같다. 환의 [[범주 (수학)|범주]]를 Ring, 유사환의 범주를 Rng이라고 하자. 그렇다면 다음과 같은 포함 [[함자 (수학)|함자]] <math>\operatorname{Ring}\hookrightarrow\operatorname{Rng}</math>이 존재한다. 이 함자에 대한 [[왼쪽 수반 함자]]
:<math>\hat{}\colon\operatorname{Rng}\to\operatorname{Ring}</math>
이 존재한다.

구체적으로, 이는 다음과 같다. 유사환 <math>R</math>에 대하여, <math>\hat R</math>는 [[아벨 군]]으로서 <math>\mathbb Z\oplus R</math>이다. 즉, <math>\hat R</math>의 원소는
:<math>n+r</math> (<math>n\in\mathbb Z</math>, <math>r\in R</math>)
의 꼴의 합이다. 여기에 다음과 같은 곱셈을 준다.
:<math>(m+r)(n+s)=mn+nr+ms+rs</math> (<math>m,n\in\mathbb Z</math>, <math>r,s\in R</math>)
그렇다면 이는 곱셈의 [[결합 법칙]]과 [[분배 법칙]]을 만족시킴을 쉽게 알 수 있다. 또한, 곱셈에 대한 항등원은 <math>1+0_R\in\hat R</math>이다. 따라서 <math>\hat R</math>은 (항등원을 갖춘) [[환 (수학)|환]]을 이룬다.

=== 영유사환 ===
임의의 [[아벨 군]] <math>A</math>에 대하여, 곱
:<math>a\cdot b=0\qquad\forall a,b\in A</math>
을 주면 유사환을 이룬다. 이를 '''영유사환'''({{llang|en|zero pseudoring}})이라고 한다. 이는 [[아벨 군]]의 범주에서 유사환의 범주로 가는 [[충실충만한 함자]]를 이룬다.

=== 자유 유사환 ===
[[대수 구조 다양체]]의 일반적인 성질에 따라서, 망각 함자
:<math>\operatorname{Rng}\to\operatorname{Set}</math>
의 [[왼쪽 수반 함자]]가 존재하며, 이는 어떤 집합을 이로부터 생성되는 자유 유사환에 대응시킨다. 유한 집합 <math>\{x_1,\dots,x_k\}</math>의 경우, 이는 정수 계수 [[다항식환]] <math>\mathbb Z[x_1,\dots,x_n]</math> 속의 다음과 같은 [[아이디얼]]이다.
:<math>(x_1,x_2,\dots,x_k)\subset\mathbb Z[x_1,\dots,x_n]</math>
즉, 자유 유사환은 상수 성분이 0인 정수 계수 다항식들의 유사환이다.

== 예 ==
모든 [[환 (수학)|환]]은 유사환을 이룬다.

<math>(G,+)</math>가 [[아벨 군]]이라고 하자. 그렇다면 모든 <math>a,b\in G</math>에 대하여 <math>a\cdot b=0</math>으로 정의하면 <math>(G,+,\cdot)</math>은 유사환을 이룬다. 이러한 유사환을 '''영환'''(零環, {{llang|en|zero ring}})이라고 한다.

환의 [[왼쪽 아이디얼]], [[오른쪽 아이디얼]], [[양쪽 아이디얼]]은 모두 유사환을 이룬다. 보다 일반적으로, 모든 유사환의 왼쪽·오른쪽·양쪽 아이디얼은 유사환이다.

짝수인 정수들의 집합 <math>E</math>에 일반적인 덧셈과 곱셈 연산이 주어지면 집합 <math>E</math>는 가환인 유사환이지만 환은 아니다.<ref>{{서적 인용|제목=Abstract algebra: an introduction|성=Hungerford|이름=Thomas William|판=3rd|출판사=Cengage Learning|쪽=45|장=3.1 Definition and Examples of Rings}}</ref>

== 역사 ==
[[니콜라 부르바키]]는 유사환을 {{llang|fr|pseudo-anneau|프쇠도아노}}라고 부르는데, 이는 환({{llang|fr|anneau|아노}})과 유사한({{llang|fr|pseudo-|프쇠도}}) 구조를 뜻한다. 유사환의 영어명 {{llang|en|rng|렁}}은 [[환 (수학)|환]]을 뜻하는 {{llang|en|ring|링}}에서부터 유래하였다. 유사환은 환과 유사하나, 곱셈에 대한 항등원 "i"를 갖지 않는다는 것에서 온 말장난이다.

일부 저자들은 모든 유사환들을 (곱셈 항등원이 있든 없든) [[환 (수학)|환]]이라고 부른다. 예를 들어, Dummit and Foote이나 Herstein 등이 이러한 저자들에 속한다. 이런 경우, 항등원을 갖춘 환을 명시하려면 "{{llang|en|ring with unit}}" 따위의 표현을 쓴다. 여기서는 모든 환은 곱셈 항등원을 갖춘 것으로 정의한다.

== 같이 보기 ==
* [[반환 (수학)]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/nonunital+ring|제목=Nonunital ring|웹사이트=nLab|언어=en}}

[[분류:환론]]