유사구 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[기하학]]에서, '''유사구'''(類似球, {{llang|en|pseudosphere}})는 [[가우스 곡률]]이 음의 상수인 [[곡면]]이다. <math>\mathbb{R}^3</math>에서 정의된, 반지름이 {{mvar|R}}인 유사구의 가우스 곡률은 {{math|−{{sfrac|1|''R''<sup>2</sup>}}}}로 일정하다. 이는 반지름이 {{mvar|R}}인 구의 가우스 곡률이 {{math|{{sfrac|1|''R''<sup>2</sup>}}}}로 일정한 것과 유사한데, 이 사실로부터 유사구라는 명칭이 붙었다.

유사구는 1868년 [[쌍곡기하학]]에 관한 [[에우제니오 벨트라미]]의 논문에서 처음 언급되었다.<ref>{{저널 인용
 | first=Eugenio
 | last=Beltrami
 | title=Saggio sulla interpretazione della geometria non euclidea
 | trans-title=Treatise on the interpretation of non-Euclidean geometry
 | journal=Gior. Mat.
 | volume=6
 | pages=248–312
 | language=it
 | year=1868
}}<br />
(Also {{서적 인용
 | first=Eugenio
 | last=Beltrami
 | title=Opere Matematiche
 | date=July 2010
 | trans-title=Mathematical Works
 | volume=1
 | pages=374&ndash;405
 | publisher=Scholarly Publishing Office, University of Michigan Library
 | language=it
 | isbn=978-1-4181-8434-6
}};<br />
{{저널 인용
 | first=Eugenio
 | last=Beltrami
 | title=Essai d'interprétation de la géométrie noneuclidéenne
 | trans-title=Treatise on the interpretation of non-Euclidean geometry
 | journal=Annales de l'École Normale Supérieure
 | year=1869
 | volume=6
 | pages=251&ndash;288
 | doi=10.24033/asens.60
 | language=fr
 | url=http://smf4.emath.fr/Publications/AnnalesENS/1_6/html/
 | access-date=2024-04-18
 | archive-url=https://web.archive.org/web/20160202005240/http://smf4.emath.fr/Publications/AnnalesENS/1_6/html/
 | archive-date=2016-02-02
 | url-status=dead
 }})</ref>

== 추적선의 회전곡면 ==
[[파일:Pseudosphere.png|섬네일]]
[[추적선]]을 [[점근선]]에 대해 회전시키면 유사구가 된다. 이때 추적선은 아래 식처럼 매개화된다.(추적선의 꺾이는 점을 포함하지 않는 부분에 대한 매개화이다.)<ref>{{서적 인용|title=Low-dimensional geometry: from Euclidean surfaces to hyperbolic knots
|first1=Francis
|last1=Bonahon
|publisher=AMS Bookstore
|year=2009
|isbn=978-0-8218-4816-6
|page=108
|url=https://books.google.com/books?id=YZ1L8S4osKsC}}, [https://books.google.com/books?id=YZ1L8S4osKsC&pg=PA108 Chapter 5, page 108]
</ref>
:<math>t \mapsto \left( t - \tanh{t}, \operatorname{sech}\,{t} \right), \quad \quad 0 \le t < \infty.</math>
유사구는 [[특이점]]을 가지는 적도 부분을 제외한 곡면의 모든 점에서 음의 [[가우스 곡률]]을 가진다. 따라서 유사구는 국소적으로 [[쌍곡공간|쌍곡 곡면]]으로의 [[등거리변환]]이 존재한다. 유사구는 모든 점에서 양의 가우스 곡률을 가지는 [[구 (기하학)|구]]와 반대된다. 유사구의 특이점을 제외한 모든 점은 [[안장점]]에 해당한다.

유사구는 곡면이 무한히 뻗어나가지만 그 넓이와 부피는 유한하다. 반지름이 {{mvar|R}}인 유사구의 [[넓이]]는 {{math|4π''R''<sup>2</sup>}}로 구와 같고, [[부피]]는 구의 절반에 해당하는 {{math|{{sfrac|2|3}}π''R''<sup>3</sup>}}이다.<ref>{{서적 인용
|title=Great Currents of Mathematical Thought, Vol. II: Mathematics in the Arts and Sciences
|edition=2
|first1=F.
|last1=Le Lionnais
|publisher=Courier Dover Publications
|year=2004
|isbn=0-486-49579-5
|page=154
|url=https://books.google.com/books?id=pCYDhbhu1O0C}}, [https://books.google.com/books?id=pCYDhbhu1O0C&pg=PA154 Chapter 40, page 154]
</ref><ref>{{매스월드|title=Pseudosphere|urlname=Pseudosphere}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[쌍곡면]]
* [[구 (기하학)]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|last=Stillwell |first=J. |title=Sources of Hyperbolic Geometry |date=1996 |publisher=Amer. Math. Soc & London Math. Soc.}}
* {{서적 인용|last1=Henderson |first1=D. W.|last2=Taimina |first2=D.|title=Aesthetics and Mathematics|publisher=Springer-Verlag|year=2006|url=http://dspace.library.cornell.edu/bitstream/1813/2714/1/2003-4.pdf |chapter=Experiencing Geometry: Euclidean and Non-Euclidean with History}}
* {{서적 인용|first1=Edward |last1=Kasner |first2=James |last2=Newman |date=1940 |title=Mathematics and the Imagination|url=https://archive.org/details/mathematicsimagi00kasn |pages=[https://archive.org/details/mathematicsimagi00kasn/page/n157 140], 145, 155 |publisher=Simon & Schuster}}

[[분류:곡면]]
[[분류:쌍곡기하학]]