유리 다양체 문서 원본 보기

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[[대수기하학]]에서 '''유리 다양체'''(有理多樣體, {{llang|en|rational variety}})는 [[사영 공간]]과 [[쌍유리 동치]]인 [[대수다양체]]이다.

== 정의 ==
[[대수적으로 닫힌 체]] <math>K</math> 위의 [[대수다양체]] <math>X</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 대수다양체를 '''유리 다양체'''라고 한다.
* <math>X</math>는 <math>\mathbb P^{\dim X}_K</math>와 [[쌍유리 동치]]이다.
* <math>X</math>의 [[유리 함수층|유리 함수체]]는 <math>\mathcal K(X)\cong K(x_1,\dots,x_{\dim X})</math>이다. 여기서 <math>K(x_1,\dots,x_n)</math>은 대수적 [[유리 함수체]]이다.

[[대수적으로 닫힌 체]] <math>K</math> 위의 [[대수다양체]] <math>X</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 대수다양체를 '''단유리 다양체'''(單有理多樣體, {{llang|en|unirational variety}})라고 한다.
* 적어도 하나의 <math>n</math>에 대하여, [[우세 유리 사상]] <math>\mathbb P^n_K-\!\to X</math>이 존재한다.
* [[체의 확대]] <math>K(x_1,\dots,x_n)/\mathcal K(X)</math>가 존재하는 <math>n</math>이 존재한다.
1차원 유리 다양체는 '''유리 곡선'''(有理曲線, {{lang|en|rational curve}})이라고 하며, 2차원 유리 다양체는 '''유리 곡면'''(有理曲面, {{lang|en|rational surface}})이라고 한다. 유리 곡면은 [[대수 곡면]]을 10종으로 분류한 [[엔리퀘스-고다이라 분류]] 가운데 가장 단순한 종류이며, 가장 초기에 연구되었다.

== 성질 ==
모든 유리 다양체는 단유리 다양체이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 다만, 낮은 차원에서는 다음이 성립한다.
* 모든 단유리 곡선은 유리 곡선이다 ('''뤼로트 정리''' {{llang|en|Lüroth’s theorem}}).
* 표수 0에서, 모든 단유리 곡면은 유리 곡면이다. 그러나 양의 표수에서는 유리 곡면이 아닌 단유리 곡면이 존재한다 ([[자리스키 곡면]]).
* 3차원 이상에서는 표수에 상관없이 대부분의 단유리 다양체는 유리 다양체가 아니다.

유리성은 [[체의 확대]]에 의하여 보존되지 않는다. [[대수적 폐포]]를 취했을 때 유리 다양체가 되는 다양체를 '''세베리-브라우어 다양체'''({{llang|en|Severi–Brauer variety}})라고 한다.

=== 유리 곡면 ===
'''카스텔누오보 정리'''({{llang|en|Castelnuovo’s theorem}})에 따르면, (임의의 표수에서) 비정칙도 <math>q=h^{0,1}</math>와 2차 [[다중 ㅎ종수]] <math>P_2</math>가 0인 [[대수 곡면]]은 유리 곡면이다.

모든 [[비특이 대수다양체|비특이]] 유리 곡면은 최소 유리 곡면을 [[부풀리기]]를 반복해서 얻을 수 있다. 최소 유리 곡면은 [[사영 평면]]과 [[히르체브루흐 곡면]] &Sigma;<sub>''n''</sub>, 여기에서 ''n''= 0 또는 ''n'' &ge; 2이다.

유리 곡면의 [[다중 종수]]는 모두 0이고, [[기본군]]은 자명하다.

복소 유리 곡면의 [[호지 수]]는 다음과 같다.
{| style="text-align:center"
|-
| ||  || 1
|-
| || 0 || ||  0
|-
| 0 || || 1+''n'' || || 0
|-
| || 0 || ||  0
|-
| ||  || 1
|}
''n''이 0이면 [[사영 평면]]이고, 1이면 [[히르체브루흐 곡면]]이며, 다른 유리 곡면은 1보다 크다.

유리 곡면의 [[피카르 군]]은 홀(odd) [[유니모듈러 격자]] I<sub>1,''n''</sub>이며, 예외적으로 히르체부르흐 곡면 &Sigma;<sub>2''m''</sub>은 짝(even) [[유니모듈러 격자]] II<sub>1,1</sub>이다.

== 예 ==
다음 대수다양체들은 유리 다양체를 이룬다.
* 3차원 [[사영 공간]] 속의 [[이차 곡면]]
* 3차원 [[사영 공간]] 속의 삼차 곡면({{llang|en|cubic surface}})
* [[사영 공간]]
* [[델 페초 곡면]]
* [[베로네세 곡면]]

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|제목=Rational and Nearly Rational Varieties|날짜=2004|이름=János|성= Kollár|공저자= Karen E. Smith, Alessio Corti|doi=10.1017/CBO9780511734991|출판사=Cambridge University Press|총서=Cambridge Studies in Advanced Mathematics|권=92|isbn=978-052183207-6|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Rational variety}}
* {{eom|title=Rational surface}}
* {{eom|title=Unirational variety}}
* {{eom|title=Lüroth problem}}
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/rational+variety|제목=Rational variety|웹사이트=nLab|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/unirational+variety|제목=Unirational variety|웹사이트=nLab|언어=en}}

[[분류:대수기하학]]
[[분류:곡선]]
[[분류:곡면]]