유리형 함수 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Gamma abs 3D.png|thumb|[[감마 함수]]는 [[복소평면]] 위의 유리형 함수이다.]]

{{구별|유리 함수}}
[[복소해석학]]에서 '''유리형 함수'''(有理型函數, {{llang|en|meromorphic function}})는 [[극점 (복소해석학)|극점]]을 가질 수 있지만 [[본질적 특이점]]을 가지지 않고, 특이점을 제외한 다른 모든 점에서 [[정칙 함수|정칙]]인 복소 함수다.

== 정의 ==
<math>\Sigma</math>가 [[리만 곡면]](1차원 [[복소다양체]])이라고 하자. <math>\widehat{\mathbb C}</math>가 [[리만 구]] (무한대 <math>\widehat\infty</math>를 추가한 [[복소평면]])라고 하자. 그렇다면 <math>\Sigma</math>위의 '''유리형 함수'''는 (<math>\widehat\infty</math> [[상수 함수]]가 아닌) [[정칙 함수]] <math>\Sigma\to\hat{\mathbb C}</math>이다. 즉, 유리형 함수는 극점을 제외하고는 나머지 모든 점에서 (<math>\mathbb C</math>값을 가진) [[정칙 함수]]인 함수다.

== 성질 ==
[[콤팩트 공간|콤팩트]]하지 않은 [[리만 곡면]] 위의 유리형 함수는 두 [[정칙 함수]]의 [[비 (수학)|비]]다.

콤팩트 리만 곡면에서는 모든 [[정칙 함수]]는 [[상수 함수]]지만, 상수 함수가 아닌 유리형 함수가 존재한다. [[리만 구]] <math>\hat{\mathbb C}</math>위의 유리형 함수는 모두 [[유리 함수]]다. 복소 [[타원 곡선]]도 콤팩트 리만 곡면의 일종인데, 타원 곡선 위의 유리형 함수를 '''[[타원 함수]]'''라고 한다.

유리형 함수는 모든 점에서 [[로랑 급수]]로 전개할 수 있으며, 그 주부({{lang|en|principal part}})는 유한개의 항만을 포함한다.

[[연결 공간|연결]] [[리만 곡면]] 위의 유리형 함수들의 집합은 [[체 (수학)|체]]를 이루며, 이는 ([[상수 함수]]로 간주한) [[복소수]]체의 [[체의 확대|확대]]이다.

== 예 ==
복소해석학에서 다루는 대부분의 함수는 유리형 함수다.

모든 [[유리 함수]]
:<math>f(z)=\frac{p(z)}{q(z)}</math> (<math>p(z)</math>, <math>q(z)</math>는 [[다항식]])
는 유리형 함수다. [[감마 함수]]나 [[리만 제타 함수]]는 유리 함수가 아니지만 유리형 함수이다.

함수 <math>z\mapsto\exp(1/z)</math>는 <math>z=0</math>에서 극점이 아닌 [[본질적 특이점]]({{lang|en|essential singularity}})를 가지므로, [[복소평면]]에서 유리형 함수가 아니다. (물론 0을 제외한 복소평면 위에서는 유리형 함수이자 [[정칙 함수]]다.)

== 같이 보기 ==
* [[쿠쟁 문제]]
* [[미타그레플레르 정리]]
* [[바이어슈트라스의 곱 정리]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Meromorphic function}}
* {{eom|title=Meromorphic mapping}}
* {{매스월드|id=MeromorphicFunction|title=Meromorphic function}}

{{전거 통제}}

[[분류:유리형 함수| ]]