유니터리 표현 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[군 표현론]]에서 '''유니터리 표현'''(unitary表現, {{llang|en|unitary representation}})은 모든 군 원소의 [[상 (수학)|상]]이 어떤 [[복소수 힐베르트 공간]] 위의 [[유니터리 작용소]]를 이루는 [[군 표현]]이다.

== 정의 ==
[[위상군]] <math>G</math>의 '''유니터리 표현'''은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* [[복소수 힐베르트 공간]] <math>V</math>
* [[군 준동형]] <math>\pi\colon G\to\operatorname U(V)</math>
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
* <math>\pi</math>는 [[연속 함수]]이다. (여기서 <math>\operatorname U(V)</math> 위에는 [[작용소 노름]] [[거리 위상]]을 부여한다.)

같은 위상군 <math>G</math>의 두 유니터리 표현 <math>(\pi,V)</math>, <math>(\pi',V')</math> 사이의 '''유니터리 얽힘 연산자'''({{llang|en|unitary intertwining operator}})는 다음 조건을 만족시키는 [[유니터리 작용소]] <math>T\colon V\to V'</math>이다.
:<math>T\pi(g)=\pi'(g)T'\qquad\forall g\in G</math>
두 유니터리 표현 사이에 유니터리 얽힘 연산자가 존재한다면, 서로 '''유니터리 동치'''({{llang|en|unitarily equivalent}})라고 한다.

== 성질 ==
=== 제2 페터-바일 정리 ===
[[위상군]] <math>G</math>의 유니터리 표현 <math>\pi\colon G\to\operatorname U(V)</math>이 주어졌다고 하자. 만약 임의의 부분 [[복소수 벡터 공간]] <math>W\le V</math>가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.
* <math>G</math>의 작용에 대하여 불변이다. (즉, 임의의 <math>g\in G</math>에 대하여 <math>\pi(g)W=W</math>이다.)
그렇다면 <math>\operatorname{cl}(W)</math>와 <math>W^\perp=\{v\in V\colon\langle w|v\rangle=0\}</math> 역시 닫힌 불변 부분 공간이며,
:<math>\pi=\pi_{\operatorname{cl}(W)}\oplus\pi_{W^\perp}</math>
로 분해된다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>W^\perp</math>가 불변 공간임을 보이려면, 임의의 <math>g\in G</math> 및 <math>v\in W^\perp</math> 및 <math>w\in W</math>에 대하여,
:<math>\langle w|\pi(g)|v\rangle=0</math>
임을 보이면 족하다. 그런데 유니터리 표현의 정의에 의하여
:<math>\langle w|\pi(g)|v\rangle=
\langle\pi(g^{-1})w|v\rangle=0</math>
이다. 특히, <math>\operatorname{cl}(W)=W^{\perp\perp}</math> 역시 닫힌 불변 부분 공간이다. 이에 따라:<math>V=\operatorname{cl}(W)\oplus W^\perp</math>
이다.
</div></div>

사실, 다음과 같은 '''제2 페터-바일 정리'''가 성립한다.
:임의의 콤팩트 [[위상군]] <math>G</math>의 유니터리 표현 <math>(\pi,V)</math>에 대하여,
::<math>\pi=\widehat\bigoplus\pi_i</math>
::<math>V=\widehat\bigoplus V_i</math>
:가 되는 유한 차원 [[기약 표현|기약]] 유니터리 표현들의 족 <math>(\pi_i,V_i)_{i\in I}</math>이 존재한다.
여기서 <math>\widehat\bigoplus</math>는 힐베르트 공간의 직합, 즉 (대수적) [[직합]]의 [[완비 거리 공간|완비화]]이다.

=== 제1 페터-바일 정리 ===
[[콤팩트 공간|콤팩트]] [[위상군]] <math>G</math> 위의 [[르베그 공간]] <math>L^2(G;\mathbb C)</math>를 생각하자. 여기서 제곱 적분 가능이란 [[하르 측도]]에 따른 것이며, 편의상 <math>\operatorname{vol}(G)=1</math>로 규격화하자.

<math>G</math>의 임의의 유한 차원 유니터리 [[기약 표현]] <math>r\colon G\to\operatorname U(V_r)</math>에 대하여, <math>V_r</math>에 임의의 기저를 잡아 행렬 성분들 <math>r_{ij}\colon G\to\mathbb C</math> (<math>i,j=1,\dots,\dim_{\mathbb C} V_r)</math>)을 정의할 수 있다. '''페터-바일 정리'''(Peter-Weyl定理, {{llang|en|Peter–Weyl theorem}})에 따르면, 함수들
:<math>\sqrt{\dim_{\mathbb C}V_r}r_{ij}\colon G\to\mathbb C</math>
은 <math>L^2(G;\mathbb C)</math>의 [[정규 직교 기저]]를 이룬다.

== 역사 ==
페터-바일 정리는 프리츠 페터({{llang|de|Fritz Peter}})와 [[헤르만 바일]]이 1927년에 증명하였다.<ref>{{저널 인용|first=Fritz|last=Peter|저자링크2=헤르만 바일|이름2=H.|성2=Weyl|title=Die Vollständigkeit der primitiven Darstellungen einer geschlossenen kontinuierlichen Gruppe|url=https://archive.org/details/sim_mathematische-annalen_1927_97/page/n743|journal=Mathematische Annalen|volume=97|날짜=1927|pages=737–755|doi=10.1007/BF01447892|언어=de}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|last=Knapp|first=Anthony|title=Representation theory of semisimple groups|publisher=Princeton University Press|날짜=1986|isbn=0-691-09089-0|언어=en}}
* {{서적 인용|first=Daniel|last=Bump|title=Lie groups|publisher=Springer|날짜=2004|isbn=0-387-21154-3|언어=en}}
* {{서적 인용|저자=계승혁|제목=군과 조화해석|날짜=1998-04|기타=대우학술총서 자연과학 120|출판사=민음사|isbn=89-3743620-5|url=http://www.math.snu.ac.kr/~kye/book/group-har.html}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Unitary representation}}
* {{eom|title=Peter-Weyl theorem}}
* {{nlab|id=unitary representation|title=Unitary representation}}
* {{nlab|id=super-unitary representation|title=Super-unitary representation}}
* {{nlab|id=unitary representation of the Poincaré group|title=Unitary representation of the Poincaré group}}
* {{nlab|id=unitary representation of the super Poincaré group|title=Unitary representation of the super Poincaré group}}
* {{저널 인용|url=http://atlas.math.umd.edu/papers/computing.pdf|제목=Computing the unitary dual|이름=David A., Jr.|성=Vogan|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:표현론]]
[[분류:위상군]]
[[분류:조화해석학]]