유니터리성 (물리학) 문서 원본 보기

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[[양자역학|양자물리학]]에서 '''유니터리성'''(Unitarity)은 [[슈뢰딩거 방정식]]에 따른 [[양자 상태]]의 시간 전개가 수학적으로 [[유니터리 작용소|유니터리 연산자]]로 표현되는 조건(또는 '''유니터리 과정'''이 갖는 조건)이다. 이는 일반적으로 양자역학의 공리 또는 기본 가정으로 여겨지는 반면, 유니터리성의 일반화 또는 이탈은 양자역학을 넘어서는 이론에 대한 추측의 일부이다.<ref>{{웹 인용|url=https://www.quantamagazine.org/black-hole-firewalls-confound-theoretical-physicists-20121221/|제목=Alice and Bob Meet the Wall of Fire|성=Ouellette|이름=Jennifer|저자링크=Jennifer Ouellette|웹사이트=[[Quanta Magazine]]|확인날짜=15 June 2023}}</ref> '''유니터리성 범위'''는 [[시간 변화|진화 연산자]]의 유니터리성, 즉 시간 진화가 [[힐베르트 공간]]에서 [[내적 공간|내적]]을 보존한다는 조건에서 나오는 모든 부등식들이다.

== 해밀토니언 진화 ==
시간 독립적인 [[해밀토니언 (양자역학)|해밀토니언]]에 의해 설명되는 시간 진화는 해밀토니언이 생성자인 [[유니터리 작용소|유니터리 연산자]]의 유니터리 매개변수 계열로 표현된다. <math>U(t) = e^{-i \hat{H} t/ \hbar}</math> . [[슈뢰딩거 묘사]]에서 유니터리 연산자는 계의 양자 상태에 따라 작용하는 반면, [[하이젠베르크 묘사]]에서는 시간 의존성이 [[관측가능량]]에 통합된다.<ref>{{웹 인용|url=https://ocw.mit.edu/courses/nuclear-engineering/22-51-quantum-theory-of-radiation-interactions-fall-2012/lecture-notes/MIT22_51F12_Ch5.pdf|제목=Lecture 5: Time evolution|웹사이트=22.51 Quantum Theory of Radiation Interactions|출판사=[[MIT OpenCourseWare]]|확인날짜=2019-08-21}}</ref>

=== 측정 결과에 대한 유니터리성의 영향 ===
양자역학에서 모든 상태는 [[힐베르트 공간]]의 벡터로 설명된다. 측정이 수행될 때 모든 기저 벡터가 정의된 측정 결과를 갖는 [[기저 (선형대수학)|벡터 기저]] &#x2013; 예: 운동량이 측정되는 경우 정의된 운동량의 벡터 기저)을 사용하여 이 공간을 설명하는 것이 편리하다. 측정 연산자는 이를 기준으로 대각적이다.<ref name="Cohen-Tannoudji">Cohen-Tannoudji, C., Diu, B., Laloe, F., & Dui, B. (2006). Quantum Mechanics (2 vol. set).</ref>

특정 측정 결과를 얻을 확률은 물리적 상태 <math>|\psi\rangle</math>의 [[내적 공간|내적]]에 의해 제공되는 확률 진폭에 따라 달라진다. 기저 벡터들 <math>\{|\phi_i\rangle\}</math>을 사용하여 측정 연산자를 대각화 한다. 시간에 따라 진화한 후 측정되는 물리적 상태의 경우, 확률 진폭은 관련 기저 벡터를 사용하여 시간 진화 후 물리적 상태의 내적 또는 동등하게 물리적 상태와 시간이 거꾸로 흐르는 기저 벡터의 내적으로 설명할 수 있다. 시간 진화 연산자 <math>e^{-i\hat{H}t/\hbar}</math>를 사용하면:<ref name="Paris">Paris, M. G. (2012). The modern tools of quantum mechanics. The European Physical Journal Special Topics, 203(1), 61-86.</ref>

: <math>\left\langle \phi_i \left| e^{-i\hat{H}t/\hbar} \psi \right.\right\rangle = \left\langle\left. e^{-i\hat{H}(-t)/\hbar} \phi_i \right| \psi \right\rangle</math>

그러나 [[에르미트 수반]]의 정의에 따르면 이것은 또한 다음과 같다.

: <math>
 \left\langle \phi_i \left| e^{-i\hat{H}t/\hbar} \psi \right.\right\rangle = 
 \left\langle\left. \phi_i \left( e^{-i\hat{H}t/\hbar}\right)^{\dagger} \right| \psi \right\rangle =
 \left\langle\left. \phi_i e^{-i\hat{H}^{\dagger}(-t)/\hbar} \right| \psi \right\rangle
</math>

이러한 등식은 두 벡터마다 참이므로 다음을 얻는다.

: <math>\hat{H}^{\dagger} = \hat{H}</math>

이는 해밀토니언이 [[에르미트 행렬|에르미트]]이고 시간 진화 연산자임을 의미한다. <math>e^{-i\hat{H}t/\hbar}</math>은 유니터리하다.

[[보른 규칙]]에 따라 표준은 측정에서 특정 결과를 얻을 확률을 결정하므로, 보른 규칙과 함께 유니터리성은 확률의 합이 항상 1임을 보장한다. 더욱이 보른 규칙과 함께 유니터리성은 [[하이젠베르크 묘사]]의 측정 연산자가 실제로 측정 결과가 시간에 따라 어떻게 전개될 것으로 예상되는지 설명한다는 것을 의미한다.

=== 해밀턴의 형태에 대한 의미 ===
시간 전개 연산자가 유니터리하다는 것은 해밀턴이 [[에르미트 행렬|에르미트]]인 것과 동일한다. 즉, 해밀턴의 [[고윳값과 고유 벡터|고유값]]인 측정 가능한 에너지는 항상 실수라는 의미이다.

== 산란 진폭과 광학 정리 ==
[[산란 행렬|S-행렬]]은 산란 과정에서 물리적 계가 어떻게 변하는지 설명하는 데 사용된다. 이는 실제로 무한대에서 입자(또는 입자의 결합 복합체)의 운동량 상태에 작용하는 아주 오랜 시간(무한대에 접근)에 걸친 시간 진화 연산자와 동일하다. 따라서 이 연산자 역시 유니터리 연산자여야 한다. 비유니터리 S-행렬을 산출하는 계산은 경계 상태가 간과되었음을 암시하는 경우가 많다.

=== 광학 정리 ===
S-행렬의 유니터리성은 무엇보다도 [[광학 정리]]를 의미한다. 이는 다음과 같이 볼 수 있다.<ref>Peskin, M. (2018). ''An introduction to quantum field theory'', Ch. 7.3. CRC press.</ref>

S-행렬은 다음과 같이 작성할 수 있다.

: <math>S = 1 + i T </math>

여기서 <math>T</math>는 상호 작용으로 인한 S-행렬의 일부이다. 예를 들어 <math>T = 0</math> S-행렬이 1이고 상호 작용이 발생하지 않으며 모든 상태가 변경되지 않음을 의미한다.

S-행렬의 유니터리성:

: <math>S^{\dagger} S = 1</math>

은 그러면 다음과 같다.

: <math>-i\left(T - T^{\dagger}\right) = T^{\dagger}T</math>

왼쪽은 S-행렬의 허수부의 두 배이다. 오른쪽이 무엇인지 확인하기 위해 이 행렬의 특정 원소 예: 어떤 초기 상태 <math>|I\rangle </math>와 최종 상태 <math>\langle F|</math> 사이를 살펴보겠다.  각각은 많은 입자를 포함할 수 있다. 그러면 행렬 원소는 다음과 같다.

: <math>\left\langle F \left| T^{\dagger}T \right| I\right\rangle = \sum_i \left\langle F | T^{\dagger} | A_i \right\rangle \left\langle A_i | T | I\right\rangle</math>

여기서 {A <sub>i</sub>}는 가능한 껍질 상태의 집합이다. 즉, 무한대에서 입자(또는 입자의 결합 복합체)의 운동량 상태이다.

따라서 S-행렬의 허수부의 두 배는 S-행렬의 초기 상태의 모든 산란에서 무한대의 다른 물리적 상태로의 기여의 곱을 나타내는 합계와 같다. S-행렬의 최종 상태. S-행렬의 허수부는 [[파인만 도형|파인만 다이어그램]]의 중간 상태에 나타나는 [[가상 입자]]에 의해 계산될 수 있으므로 이러한 가상 입자는 최종 상태로도 나타날 수 있는 실제 입자로만 구성되어야 한다. 이를 보장하는 데 사용되는 수학적 장치에는 [[게이지 이론|게이지 대칭]]과 때로는 [[파데예프-포포프 유령|파데예프-포포프]] 유령도 포함된다.

=== 유니터리성 경계 ===
광학 정리에 따르면 모든 산란 과정에 대한 확률 진폭 ''M(=iT)은'' 다음을 따라야 한다.

: <math>|M|^2 = 2\operatorname{Im}(M)</math>

유사한 유니터리성 경계는 진폭과 단면이 에너지에 따라 너무 많이 증가할 수 없거나 특정 공식만큼 빠르게 감소해야 함을 의미한다. 예를 들어, [[프루아사르 경계]]는 두 입자 산란의 전체 단면이 <math> c \ln^2 s </math>과 같이 제한된다는 것을 의미한다. 여기서 <math> c </math>는 상수이고, <math> s </math>는 질량 중심 에너지의 제곱이다. ([[만델스탐 변수]] 참조)

== 같이 보기 ==
* 반유니터리 연산자
* [[보른 규칙]]
* [[확률의 공리|확률 공리]]
* 양자채널
* [[단일 매개변수 단일 그룹에 대한 Stone의 정리|유니터리 매개변수 유니터리 군에 대한 스톤의 정리]]
* [[위그너 정리]]

== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:양자역학]]