유계 함수 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Bounded_and_unbounded_functions.svg|섬네일|오른쪽|붉은색 함수는 유계 함수지만, 푸른색 함수는 유계 함수가 아니다.]]
[[실해석학]]에서 '''유계 함수'''(有界函數, {{llang|en|bounded function}})는 그 [[치역]]이 [[유계 집합]]인 [[함수]]이다.

== 정의 ==
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>
* [[체 (수학)|체]] <math>K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math>
* <math>K</math>-[[위상 벡터 공간]] <math>V</math>
* [[연속 함수]] <math>f\colon X\to V</math>

=== 유계 함수 ===
<math>f</math>의 [[치역]]이 [[유계 집합]]이라면, <math>f</math>를 '''유계 함수'''라고 한다. 즉, <math>0\in V</math>의 임의의 [[근방]] <math>N\ni0</math>에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 수 <math>\delta\in K\setminus\{0\}</math>가 존재하여야 한다.
:<math>\delta f(x)\in N\qquad\forall x\in X</math>
유계 함수가 아닌 함수를 '''무계 함수'''(無界函數, {{llang|en|unbounded function}})라고 한다. 유계 연속 함수 <math>X\to V</math>의 [[벡터 공간]]을 <math>\mathcal C_{\text{bd}}(X;V)</math>로 표기하며, 이 위에는 [[균등 수렴 위상]]을 부여한다.

=== 콤팩트 지지 함수 ===
<math>X</math>가 추가로 [[국소 콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]이라고 하자.
<math>f</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 함수를 '''콤팩트 지지 연속 함수'''({{llang|en|compactly supported continuous map}})라고 한다.
* <math>f|_{X\setminus K}=0</math>인 [[콤팩트 집합]] <math>K</math>가 존재한다. (여기서 <math>0\colon X\to V</math>는 [[영벡터]] [[상수 함수]]이다.)
* [[지지 집합]] <math>\operatorname{supp}f=\operatorname{cl}\{x\in X\colon f(x)\ne0\}</math>이 [[콤팩트 집합]]이다. (여기서 <math>\operatorname{cl}</math>은 [[폐포 (위상수학)|폐포]]를 뜻한다.)
콤팩트 지지 연속 함수 <math>X\to V</math>들의 집합을 <math>\mathcal C_{\text{comp}}(X,V)</math>로 표기하자.

=== 무한에서 0이 되는 함수 ===
<math>X</math>가 추가로 [[국소 콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]이라고 하자.
만약 <math>f</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, '''무한에서 0이 되는 연속 함수'''({{llang|en|continuous map vanishing at infinity}})라고 한다.
* <math>0\in V</math>의 임의의 [[근방]] <math>N\ni 0</math>에 대하여, <math>\operatorname{im}(f|_{X\setminus K})\subseteq N</math>이 되는 [[콤팩트 집합]] <math>K</math>가 존재한다. (여기서 <math>\operatorname{im}</math>은 [[치역]]을 의미한다.)
무한에서 0이 되는 연속 함수 <math>X\to V</math>들의 집합을 <math>\mathcal C_0(X,V)</math>로 표기하자. 만약 <math>V</math>가 [[노름 공간]]이라면, <math>\mathcal C_0(X,V)</math>에 다음과 같은 [[노름]]을 줄 수 있다.
:<math>\|f\|=\sup_{x\in X}f(x)</math>
만약 <math>V</math>가 [[바나흐 공간]]이라면, <math>\mathcal C_0(X,V)</math> 역시 [[바나흐 공간]]이다.

== 성질 ==
<math>X</math>가 [[국소 콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]일 때, 다음과 같은 포함 관계가 존재한다.
:<math>\mathcal C_{\text{comp}}(X;V)\subseteq\mathcal C_0(X;V)\subseteq\mathcal C_{\text{bd}}(X;V)\subseteq\mathcal C(X;V)</math>
여기서 <math>\mathcal C(X;V)</math>는 모든 [[연속 함수]] <math>X\to V</math>들의 공간이다.
만약 <math>X</math>가 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]이라면 [[하이네-보렐 정리]]에 의하여 이 네 함수 공간들은 모두 다 일치한다.

또한, 모든 [[유계 변동 함수]]는 유계 함수이다.

=== 노름 ===
<math>V</math>가 [[노름 공간]]이라고 하면, <math>\mathcal C_{\text{bd}}(X;V)</math> 위에 [[균등 노름]]
:<math>\|f\|=\max_{x\in X}\|f(x)\|\qquad(f\in\mathcal C_{\text{bd}}(X;V))</math>
을 정의할 수 있다. 만약 <math>V</math>가 추가로 [[바나흐 공간]]이라면, <math>\mathcal C_{\text{bd}}(X;V)</math> 역시 [[바나흐 공간]]이다. 또한, <math>\mathcal C_0(X;V)</math> 역시 [[균등 노름]]에 의하여 [[바나흐 공간]]을 이룬다. <math>\mathcal C_{\text{comp}}(X;V)</math>는 [[노름 공간]]이지만 일반적으로 [[바나흐 공간]]이 아니며, 그 [[완비 거리 공간|완비화]]는 <math>\mathcal C_0(X;V)</math>이다.

=== 리스 표현 정리 ===
{{본문|리스 표현 정리}}
[[리스 표현 정리]]에 따르면, [[국소 콤팩트]] [[하우스도르프 공간]] <math>X</math>에 대하여, <math>\mathcal C_0(X;\mathbb R)</math> 및 <math>\mathcal C_{\text{comp}}(X;\mathbb R)</math>의 [[위상 쌍대 공간]]인 [[바나흐 공간]]은 <math>X</math> 위의 측정 [[측도]]들의 [[바나흐 공간]]과 동형이다.

== 예 ==
다음 함수들은 [[정의역]]과 [[공역]]이 모두 (표준적 거리 함수를 갖춘) [[실수]] 집합 <math>\mathbb R</math>이라고 가정한다.


함수 <math>x\mapsto x</math>는 [[치역]]이 <math>\mathbb R</math> 전체이므로 유계 함수가 아니다. 반면, 함수 <math>x\mapsto1/(x^2+1)</math>는 치역이 구간 <math>(0,1]</math>이므로 유계 함수이다.

마찬가지로, 삼각함수 <math>\sin x </math> 와 <math>\cos x </math> 또한 치역이 닫힌구간 <math>[0,1] </math> 이므로 유계함수이다. 그러나 <math>\tan x </math>는 치역이 실수 전체이므로 유계함수가 아니다.

[[유리수]] 집합의 [[지시 함수]]
:<math>\chi_{\mathbb Q}\colon x\mapsto\begin{cases}1&x\in\mathbb Q\\0&x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q\end{cases}</math>
([[디리클레 함수]]라고 한다)는 [[연속 함수]]가 아니지만 치역이 <math>\{0,1\}</math>이므로 유계 함수이다.

[[파일:Gaussian distribution thick lines.svg|섬네일|오른쪽|<math>f_1</math>의 그래프]]
[[정규 분포]] [[확률 밀도 함수]]
:<math>f_1\colon\mathbb R\to\mathbb R</math>
:<math>f_1\colon x\mapsto\exp(-x^2/2)</math>
는 무한에서 0이 되는 [[매끄러운 함수]]이지만, 콤팩트 지지 함수가 아니다.

[[파일:Mollifier_Illustration.svg|섬네일|오른쪽|<math>f_2</math>의 그래프]]
함수
:<math>f_2\colon\mathbb R\to\mathbb R</math>
:<math>f_2\colon x\mapsto\begin{cases}\exp(-1/(1-x^2))&|x|<1\\0&|x|\ge1\end{cases}</math>
는 콤팩트 지지 [[매끄러운 함수]]이다.

== 같이 보기 ==
* [[유계 집합]]
* [[지지집합]]
* [[균등 유계 함수족]]
== 참고 문헌 ==
* {{저널 인용|제목=The space of bounded maps into a Banach space|jstor=1969472|doi=10.2307/1969472|저널=Annals of Mathematics|이름=Meyer|성=Jerison|권=52|호=2|날짜=1950-09|쪽=309–327|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Function of compact support}}
* {{매스월드|id=CompactSupport|title=Compact support}}
* {{nlab|id=vanishing at infinity|title=Vanishing at infinity}}
* {{nlab|id=compact support|title=Compact support}}

[[분류:실해석학]]
[[분류:함수해석학]]
[[분류:복소해석학]]
[[분류:함수의 종류]]