유계 집합 문서 원본 보기

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[[파일:Bounded unbounded.svg|섬네일|유계 집합(위)과 유계가 아닌 집합(아래)]]
[[수학]]에서 '''유계 집합'''(有界集合, {{llang|en|bounded set}})은 유한한 영역을 가지는 [[부분 집합]]이다. 유계성은 [[원순서 집합|순서]]나 [[거리 공간|거리]]를 갖춘 집합 위에서 정의되며, 각 구조에 따른 정의는 아래와 같다.

== 정의 ==
유계 집합은 [[원순서 집합]]이나 [[거리 공간]], 또는 [[위상 벡터 공간]]의 구조가 주어졌을 때 정의할 수 있다. 모든 경우, 유계 집합이 아닌 부분 집합을 '''무계 집합'''(無界集合, {{llang|en|unbounded set}})이라고 한다.

=== 원순서 집합의 유계 집합 ===
[[원순서 집합]] <math>(X,\lesssim)</math>의 [[부분 집합]] <math>S\subset X</math>에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 <math>x\in X</math>가 존재한다면, <math>S</math>가 '''위로 유계'''({{llang|en|bounded from above}})라고 하며, <math>x</math>를 <math>S</math>의 '''상계'''({{llang|en|upper bound}})라고 한다.
* 임의의 <math>s\in X</math>에 대하여, <math>s\lesssim x</math>
마찬가지로, 다음 조건을 만족시키는 <math>x\in X</math>가 존재한다면, <math>S</math>가 '''아래로 유계'''({{llang|en|bounded from below}})라고 하며, <math>x</math>를 <math>S</math>의 '''하계'''({{llang|en|lower bound}})라고 한다.
* 임의의 <math>s\in X</math>에 대하여, <math>x\lesssim s</math>
'''유계 집합'''은 상계와 하계를 둘 다 갖는 부분 집합이다.

=== 거리 공간의 유계 집합 ===
[[거리 공간]] <math>(X,d)</math>의 [[부분 집합]] <math>S\subset X</math>에 대하여, 만약 다음 조건을 만족시키는 점 <math>x\in X</math>가 존재한다면, <math>S</math>가 '''유계 집합'''이라고 한다.
:<math>\sup_{s\in S}d(x,s)<\infty</math>
만약 <math>M</math> 전체가 유계라면, <math>M</math>은 '''유계 공간'''이라고 한다. [[완전 유계 공간]]은 유계 공간이다.

=== 위상 벡터 공간의 유계 집합 ===
<math>\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math>가 [[실수체]] 또는 [[복소수체]]라고 하자. <math>\mathbb K</math>-[[위상 벡터 공간]] <math>V</math>의 부분 집합 <math>S\subset V</math>에 대하여, 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 <math>S</math>를 '''(폰 노이만) 유계 집합'''이라고 한다.
* 영벡터의 임의의 [[근방]] <math>N\ni0</math>에 대하여, 다음을 만족하는 스칼라 <math>a\in\mathbb K</math>가 존재한다.
*:<math>S\subset aN</math>
* 영벡터의 임의의 [[근방]] <math>N\ni0</math>에 대하여, 다음을 만족하는 스칼라 양의 실수 <math>r\in\mathbb R^+</math>가 존재한다.
** 임의의 <math>a\in\mathbb K</math>에 대하여, 만약 <math>|a|\ge r</math>라면 <math>S\subset aN</math>
* 임의의 점렬 <math>(s_n)_{n=0}^\infty\subset S</math> 및 <math>(a_n)_{n=0}^\infty\subset\mathbb K</math>에 대하여, 만약 <math>a_n\to0</math>이라면, <math>a_ns_n\to0</math>이다.<ref name="RudinFunctionalAnalysis">{{서적 인용
|성1=Rudin
|이름1=Walter
|저자링크1=월터 루딘
|제목=Functional analysis
|url=https://archive.org/details/functionalanalys0000rudi
|언어=en
|판=2
|총서=International Series in Pure and Applied Mathematics
|출판사=McGraw-Hill
|위치=New York, NY
|날짜=1991
|isbn=
|mr=1157815
|zbl=0867.46001
}}</ref>{{rp|23, Theorem 1.30}}
이때
:<math>aN = \{an\colon n\in N\}</math>
이다.

=== 서로 다른 정의의 호환 ===
일반적으로, 주어진 공간에 대하여 [[부분 순서]]나 [[거리 공간]], [[위상 벡터 공간]]의 구조가 공존할 수 있다. 일반적으로, 이 정의들은 서로 호환되지 못할 수 있다.

[[노름 공간]]은 [[거리 공간]]과 [[위상 벡터 공간]]의 구조를 동시에 갖는다. 이 경우, 유계집합의 두 정의는 서로 일치한다. 일반적으로, [[국소 볼록 공간]]의 경우, 위상 벡터 공간으로서의 유계 집합은 모든 [[반노름]]들에 대하여 유계인 집합이다.

실수의 집합 <math>\mathbb R</math>의 경우 [[전순서]]와 [[거리 공간]], [[위상 벡터 공간]]의 구조가 모두 존재하며, 이 경우 유계 집합의 세 가지 정의는 모두 일치한다.

== 예 ==
<math>\mathbb K</math>-[[위상 벡터 공간]] <math>V</math>에서,
* 모든 [[콤팩트 집합]]은 유계 집합이다. 특히,
** 모든 [[유한 집합]]은 유계 집합이다.
** 모든 [[상대 콤팩트 집합]]은 ([[콤팩트 집합]]의 [[부분 집합]]이므로) 유계 집합이다.
* 반대로, 모든 유계 집합은 [[약한 위상]]에 대한 [[상대 콤팩트 집합]]이다.
* 모든 [[코시 점렬]]은 유계 집합이지만, [[코시 그물]]이 유계 집합일 필요는 없다.
* 만약 <math>V</math>가 [[하우스도르프 공간]]이라면, <math>V</math>의 모든 (영공간이 아닌) 부분 공간은 유계 집합이 아니다.

== 성질 ==
* 유계 집합의 극은 절대 볼록이고 흡수 집합이다.
* 집합 ''A''의 모든 [[가산 집합|가산]] 부분집합이 유계이면 집합 ''A''는 유계이다.

=== 연산에 대한 닫힘 ===
<math>\mathbb K</math>-[[위상 벡터 공간]] <math>V</math>에서,

* 유계 집합의 부분 집합은 자명하게 유계 집합이다.
* 유계 집합의 [[폐포 (위상수학)|폐포]]는 유계 집합이다.
* 만약 <math>V</math>가 [[국소 볼록 공간]]이라면, 유계 집합의 [[볼록 폐포]]는 유계 집합이다. (국소 볼록성이 없다면, <math>0<p<1</math>인 <math>L^p</math>공간이 자명하지 않은 열린 볼록 부분집합을 가지지 않기 때문에, 이것은 거짓이다.)
* 유계 집합의 유한한 [[합집합]]이나 유한합은 유계 집합이다.

=== 유계 함수와 유계 작용소 ===
{{본문|유계 함수}}
{{본문|유계 작용소}}
<math>\mathbb K</math>-[[위상 벡터 공간]] <math>V</math>, <math>W</math> 사이의 모든 [[연속 함수|연속]] [[선형 변환]] <math>T\colon V\to W</math>는 [[유계 작용소]](즉, 유계 집합의 [[상 (수학)|상]]은 유계 집합)이다. 만약 <math>V</math>가 [[제1 가산 공간]]이라면, 모든 [[유계 작용소]] <math>T\colon V\to W</math>는 [[연속 함수]]이다. (반면, 0이 아닌 [[선형 변환]]은 [[유계 함수]]일 수 없다.)

=== 국소 유계 공간 ===
<math>\mathbb K</math>-[[위상 벡터 공간]] <math>V</math>에서, 영벡터 <math>0\in V</math>가 유계 [[근방]]을 갖는다면, <math>V</math>가 '''국소 유계 공간'''({{llang|en|locally bounded space}})이라고 한다.

모든 국소 유계 공간은 [[제1 가산 공간]]이다.<ref name="RudinFunctionalAnalysis" />{{rp|13, Theorem 1.15(c)}}
{{증명}}
<math>B\ni 0</math>가 0의 [[근방]]이며, 유계 집합이라고 하자. 유계 집합의 정의에 따라
:<math>\{(1/n)B\colon n\in\mathbb Z^+\}</math>
가 0의 [[국소 기저]]임을 보일 수 있으며, 이는 [[가산 집합]]이다.
{{증명 끝}}

<math>\mathbb K</math>-[[국소 볼록 공간]] <math>V</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* [[반노름화 가능 공간]]이다.
* 국소 유계 공간이다.

== 일반화 ==

유계 집합의 정의는 [[위상 가군]]으로 일반화 할 수 있다. [[위상환]] ''R''에 있는 위상 가군 ''M''의 부분집합 ''A''는 ''0<sub>M</sub>''의 모든 근방 ''N''에 대해서 ''w A &sub; N''가 성립하도록 하는 0<sub>''R''</sub>의 근방 ''w''이 있을 때, 유계 집합이라고 한다.

== 같이 보기 ==
* [[상한과 하한]]
* [[유계 함수]]
* [[순서론]]
* [[완전 유계 공간]]
* [[경계점]]

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용 |last=Robertson |first=A.P. |author2=W.J. Robertson |title= Topological vector spaces |series=Cambridge Tracts in Mathematics |volume=53 |year=1964 |publisher= [[Cambridge University Press]] | pages=44–46 }}
* {{서적 인용| author=H.H. Schaefer | title=Topological Vector Spaces | publisher=[[Springer-Verlag]] | series=[[Graduate Texts in Mathematics|GTM]] | volume=3 | date=1970 | isbn=0-387-05380-8 | pages=25–26 }}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Bounded set}}

{{전거 통제}}

[[분류:해석학 (수학)]]
[[분류:함수해석학]]
[[분류:순서론]]