윌리엄 로언 해밀턴 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{과학자 정보
| 이름 = 윌리엄 로언 해밀턴
| 그림 = WilliamRowanHamilton.jpeg
| 태어난 날 = [[1805년]] [[8월 4일]]
| 태어난 곳 = [[영국]] [[더블린]]<br />(현 [[아일랜드]] 더블린)
| 죽은 날 = [[1865년]] [[9월 2일]]
| 죽은 곳 = 영국 더블린<br />(현 아일랜드 더블린)
| 국적 = 영국
| 분야 = [[수학]], [[물리학]], [[천문학]]
| 소속 = [[트리니티 대학교 (더블린)]]
| 출신 대학 = [[트리니티 대학교 (더블린)]]
| 지도교수 = [[존 브링클리 (천문학자)|존 브링클리]]
| 주요 업적 = [[사원수]]<br>[[케일리-해밀턴 정리]]<br>[[해밀턴 경로]]<br>[[해밀턴 역학]]<br>[[삼각군]]
| 참고사항 = 공식적으로 해밀턴은 박사학위 지도교수가 없었으나, [[학자 계통학]] 전문가들은 존 브링클리가 유사한 역할을 수행한 것으로 보고 있다.
}}
{{고전역학}}
[[파일:2003 Ireland 10 Euro Sir William Hamilton Reverse.jpg|섬네일|200px|아일랜드에서 발행한 해밀턴 탄생 200주년 기념주화. 중앙의 ∇은 델 미분 연산자, 아래의 ∞은 무한대 기호이다.]]

'''윌리엄 로언 해밀턴'''({{llang|en|William Rowan Hamilton}} {{IPA-all|ˈwɪljəm ˈroʊən ˈhæməltən}}, [[1805년]] [[8월 4일]] - [[1865년]] [[9월 2일]])은 [[아일랜드]]의 [[수학자]]이다. [[대수학]]에서 [[복소수]] 체를 포함하는 [[나눗셈 환]]인 [[사원수]]와 [[선형대수학]]에서 [[케일리-해밀턴 정리]], 그래프 이론에서 [[해밀턴 경로]]가 대표적 업적이다. 수학 이외에 [[광학]], [[고전 역학]] 발전에도 큰 공헌을 했다. 고전 역학에서 [[라그랑주 역학]]을 더욱 발전시켜 [[해밀턴 역학]]을 만들었으며, [[해밀토니안]] 개념은 나중에 [[양자역학]]의 발전에도 중요한 영향을 미쳤다. 해밀턴은 어린 시절부터 뛰어난 재능을 보여, [[w:John Brinkley (astronomer)|존 브링클리]]는 1823년 18살의 해밀턴에 대해 "앞으로는 알 수 없지만 현재 그의 나이에서 최고의 수학자이다"라고 평했다.

== 해밀턴 원리 ==
해밀턴은 당시 알려져 있던 [[라그랑지안]]과 [[라그랑주 방정식]]에 대한 해석을 내놓았다. 그 결과는
:<math>
\frac{\delta \mathcal{S}}{\delta \mathbf{q}(t)}=0
</math>
이다. 여기서
:<math>\mathcal{S}[\mathbf{q}] \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int_{t_{1}}^{t_{2}} L(\mathbf{q}(t),\dot{\mathbf{q}}(t),t)\ , dt</math>
이고, <math>L(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t)</math> 은 라그랑지안 함수이다.

해밀턴 원리가 의미하는 바는 '운동 경로의 시작과 끝점이 주어졌고, 중간의 운동 방정식이 미리 주어져 있지 않았을 때, 물체의 운동은 라그랑지안을 시작점에서 끝점까지 시간에 따라 적분한 값이 최소가 되는 경로를 따른다'이다.

== 해밀턴의 복소수 ==
=== [[복소수]]체계 <math>a+bi</math>와는 또 다른 복소수 체계인 해밀턴의 완성된 2성분의 [[순서쌍]] 복소수 표현 ===
<!-- [[복소수]]체계 <math>a+bi</math>와는 또 다른 복소수 체계를 완성한  해밀턴의 복소수 [[순서쌍]] 표현 -->
:<math>(a_1, b_1) \cdot (a_2, b_2) = (a_1a_2-b_1b_2 ,a_1b_2+b_1a_2)</math>
:<math>\therefore \; (0,1)^2 = (0,1) \times (0,1) = (-1,0)   = -1= i^2</math>
:<math>\therefore \; (0,1)= i</math>
:<math> \; (1,0)= 1</math>
:<math>\because \; (1,0)^2 = (1,0) \times (1,0) = (1,0)   = 1= 1^2</math>

=== 해밀턴의 3성분의 순서쌍 복소수 표현의 실패 ===
2성분의 순서쌍을 확장하여 복소수 <math>a+bi+cj</math>를 예상하면,
:<math>(a_1, b_1,c_1) \cdot (a_2, b_2,c_2) </math>
:<math>=(a_1+ b_1i+c_1j) \cdot (a_2+ b_2i+c_2j) </math>
:<math>=a_1 a_2+a_1 b_2i+ a_1 c_2j + b_1i a_2+ b_1i b_2i +b_1i c_2j +c_1j a_2 +c_1jb_2i+c_1j c_2j </math>
:<math>=a_1a_2+(a_1b_2+b_1a_2)i+ (a_1c_2+c_1a_2)j+b_1b_2i^2+c_1c_2j^2+b_1c_2ij+c_1b_2ji </math>
:<math>i^2 = -1 = j^2, \; ij=-ji = k</math>를 가정해서,
:<math>=(a_1a_2-b_1b_2-c_1c_2)+  (a_1b_2+b_1a_2)i+ (a_1c_2+c_1a_2)j+(b_1c_2-c_1b_2)k </math>
그리고 <math>(a_1, b_1,c_1) = (a_2, b_2,c_2) = (0,1,1)</math>를 예정하면,
:<math> (0,1,1)\cdot (0,1,1)</math>
:<math>=(0-1-1)+  (0+0)i+ (0+0)j+(1-1)k </math>
:<math>=(-2)+  0i+ 0j+0k </math>
:<math>=-2 \neq -1= i^2=j^2</math>
이렇게 해서 불안정한 복소수 3성분의 순서쌍 표현은 완전하지 않다.
그러나<ref>[[사원수#역사|사원수의 발견]]</ref>
:<math>(a_1a_2-b_1b_2-c_1c_2)+  (a_1b_2+b_1a_2)i+ (a_1c_2+c_1a_2)j+(b_1c_2-c_1b_2)k </math>는
[[오일러의 네 제곱수 항등식]] <math>(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2+b_4^2)=\,</math>

::<math>(a_1 a_2 - a_2 b_2 - a_3  b_3 - a_4 b_4)^2 +\,</math>

::<math>(a_1 b_2 + a_2 b_1 + a_3 b_4 - a_4 b_3)^2 +\,</math>

::<math>(a_1 b_3 - a_2 b_4 + a_3 b_1 + a_4 b_2)^2 +\,</math>

::<math>(a_1 b_4 + a_2 b_3 - a_3 b_2 + a_4 b_1)^2\,</math>에서 각각 네번째항<math> a_4^2=b_4^2=0</math>의 특수한 경우이므로

불안정한 복소수 3성분의 순서쌍 공식의 계수가 네 제곱수 항등식의 그것과 같고,

이로써, 4성분의 순서쌍으로 복소 표현이 확장될수있음을 예상할 수 있고,<ref>For two elements a1 + b1i + c1j + d1k and a2 + b2i + c2j + d2k, their product, called the Hamilton product (a1 + b1i + c1j + d1k) (a2 + b2i + c2j + d2k), is determined by the products of the basis elements and the distributive law. The distributive law makes it possible to expand the product so that it is a sum of products of basis elements. This gives the following expression.....[[w:Quaternion#Hamilton product|Hamilton product(Quaternion)]]</ref>

=== 해밀턴의 완성된 확장된 복소수체계 사원수(4성분의 순서쌍) ===
이렇게 해서 확장시킨 복소수 <math>a+bi+cj+dk</math>를 근거로해서,<ref>{{저널 인용|제목=On Quaternions; or on a new System of Imaginaries in Algebra|doi=10.1080/14786444408644923|이름=William Rowan|성=Hamilton |저자링크=윌리엄 로언 해밀턴|저널=Philosophical Magazine (series 3)|권=25|호=163|쪽=10–13|날짜=1844|issn=1941-5966|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용|이름=William Rowan|성=Hamilton|저자링크=윌리엄 로언 해밀턴|제목=Elements of quaternions|url=https://archive.org/details/elementsquaterni00hamirich|편집자=William Edwin Hamilton|위치=[[런던]]|출판사=Longmans, Green, & Co.|날짜=1866|언어=en}}</ref>

:<math>(a_1a_2-b_1b_2-c_1c_2)+  (a_1b_2+b_1a_2)i+ (a_1c_2+c_1a_2)j+(b_1c_2-c_1b_2)k </math>에서
여기에 <math>i^2 = -1 = j^2, \; ij=-ji = k</math>로 부터,
:<math>i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 \;</math>를 확장하면,<ref>[[윌리엄 로언 해밀턴#허수의 확장|허수의 확장]]</ref>
:<math>(a_1^2+b_1^2+c_1^2+d_1^2)(a_2^2+b_2^2+c_2^2+d_2^2)=\,</math>

::<math>(a_1 a_2 - b_1 b_2 - c_1 c_2 - d_1 d_2)^2 +\,</math>

::<math>(a_1 b_2 + b_1 a_2 + c_1 d_2 - d_1 c_2)^2 +\,</math>

::<math>(a_1 c_2 - b_1 d_2 + c_1 a_2 + d_1 b_2)^2 +\,</math>

::<math>(a_1 d_2 + b_1 c_2 - c_1 b_2 + d_1 a_2)^2\,</math>는

:<math>(a_1,b_1,c_1,d_1)\cdot(a_2,b_2,c_2,d_2)=\,</math>

::<math>(a_1 a_2 - b_1 b_2 - c_1 c_2 - d_1 d_2,)+(a_1 b_2 + b_1 a_2 + c_1 d_2 - d_1 c_2)\,</math>

::<math>+(a_1 c_2 - b_1 d_2 + c_1 a_2 + d_1 b_2)+\,(a_1 d_2 + b_1 c_2 - c_1 b_2 + d_1 a_2)\,</math>을 만족하겠다.<ref>Using the basis 1, i, j, k of H makes it possible to write H as a set of quadruples:.....Then the basis elements are:.......and the formulas for addition and multiplication are:..........[[w:Quaternion#Ordered list form|Quaternion's Ordered list form]]</ref>
<!--  (1-i+j-k)  (2+2i-3j-3k)
=
=
-->

== 허수의 확장 ==
[[사원수|사원수(quaternion,해밀턴 수)]]에서 허수의 확장을 보면,<small><ref>{{저널 인용|이름=William Rowan|성=Hamilton |저자링크=윌리엄 로언 해밀턴|날짜=1844|제목=On Quaternions; or on a new System of Imaginaries in Algebra (2)|doi=10.1080/14786444408644984|권=25|호=166|쪽=241–246|저널=Philosophical Magazine (series 3)|issn=1941-5966|언어=en}}</ref></small>
:<math>i^2 = -1 = j^2, \; ij=-ji = k</math>
:<math>i^2 = -1 = j^2 , k^2= -1 \;</math> 일때,
:<math> ij=-ji = k</math>
:<math> ij= k</math>
:<math> ijk= kk</math>
:<math> ijk= k^2</math>
:<math> ijk= -1</math>
:<math>\therefore \; i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 \;</math>


<!--  == <math>2 \times 2 \; matrix </math>의 응용 ==
:<math>a+bi= \begin{vmatrix}  a &   b  \\  -b   &  a \end{vmatrix}</math>
:<math>a+bi+cj+dk= \begin{vmatrix}  a +bi&   c+di  \\  -c+di   &  a-bi \end{vmatrix}</math>
:<math></math>
== 해밀턴의 사원수 곱셈연산 ==
:<math>(a_1,b_1,c_1,d_1)\cdot(a_2,b_2,c_2,d_2)=\,</math>

::<math>(a_1 a_2 - b_1 b_2 - c_1 c_2 - d_1 d_2,)+(a_1 b_2 + b_1 a_2 + c_1 d_2 - d_1 c_2)\,</math>

::<math>+(a_1 c_2 - b_1 d_2 + c_1 a_2 + d_1 b_2)+\,(a_1 d_2 + b_1 c_2 - c_1 b_2 + d_1 a_2)\,</math>을 만족하겠다.
   -->

== 같이 보기 ==
* [[해밀턴 경로|해밀턴 경로(해밀턴 그래프)]]
* [[해밀턴 역학]]
* [[사원수]]
* [[데데킨트 군#예|해밀턴 군]]
* [[케일리-해밀턴 정리]]
* [[순서쌍]]
* [[복소수]]
* [[허수]]
* [[아서 케일리]]
* [[행렬식]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{위키공용분류-줄}}

{{전거 통제}}

{{기본정렬:해밀턴, 윌리엄 로언}}

[[분류:윌리엄 로언 해밀턴| ]]
[[분류:1805년 출생]]
[[분류:1865년 사망]]
[[분류:아일랜드의 수학자]]
[[분류:19세기 수학자]]
[[분류:아일랜드의 물리학자]]
[[분류:아일랜드의 천문학자]]
[[분류:이론물리학자]]
[[분류:미국 과학 아카데미의 회원]]
[[분류:러시아 과학 아카데미의 회원]]
[[분류:스코틀랜드계 아일랜드인]]
[[분류:19세기 아일랜드 사람]]
[[분류:더블린주 출신]]