위튼 지표 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{초대칭}}
[[이론물리학]]에서 '''위튼 지표'''(Witten指標, {{llang|en|Witten index}}) 또는 '''초대칭 지표'''(超對稱指標, {{llang|en|supersymmetric index}})는 [[초대칭 양자역학]]에서 [[보손]] 및 [[페르미온]] 에너지 준위의 수의 차이다.<ref name="Witten82"/><ref>{{서적 인용|제목=The Quantum Theory of Fields, vol. 3: Supersymmetry|이름=Steven|성=Weinberg|저자링크=스티븐 와인버그|출판사=Cambridge University Press|isbn=978-0-52166000-6|날짜=2000-02|url=http://www.cambridge.org/us/academic/subjects/physics/theoretical-physics-and-mathematical-physics/quantum-theory-fields-volume-3?format=HB}}</ref> 위튼 지표가 0이 아니라는 것은 [[초대칭]]이 [[자발 대칭 깨짐|자발적으로 깨지]]지 않았다는 것을 보여준다.

== 개요 ==
초대칭의 특징은, 자발적으로 대칭이 깨지지 아니할 때 바닥 상태의 에너지가 0이다. 따라서 초대칭이 자발적으로 깨졌는지를 확인할 때는 에너지가 0인 바닥 상태의 존재 여부만 확인하면 된다. 한편 입자들이 도입되어 들뜬 상태의 에너지가 0이 아니라면, 언제나 그 상태의 [[초대칭짝]] 상태가 존재한다는 것이다. 이들의 기여는, 보손 상태의 개수에서 페르메온 상태의 개수를 뺀 것으로 정의한 위튼 지표에서 상쇄된다. 따라서, 위튼 지표에는 에너지가 0인 상태들만 기여한다. 다시 말해 초대칭이 자발적으로 깨졌는지를 알려주는 상태들만이 기여한다는 것이다.

위튼 지표는 이론의 파라메터(결합 세기 등)에 의존하지 않는 [[위상적]]인 양이므로, [[섭동]] 계산을 할 수 없는 경우에도, 초대칭이 깨졌는지 여부를 확인할 때 사용할 수 있다. 가령, 결합 세기가 약해서 섭동이 가능한 상태에서 위튼 지표를 계산한 뒤 초대칭 깨짐 여부를 확인한다면, 그 결과는 섭동이 불가능한 큰 결합 세기에도 적용할 수 있다. 이에 대한 좋은 예로, 초대칭 순수 양-밀즈 이론은 위튼 지표가 0이 아니므로 아무리 강한 결합이 있더라도 초대칭이 깨지지 않을 것을 알 수 있다. 이 이론은 [[점근 자유성]]이 있어, 큰 크기(낮은 에너지)에서 [[게이지 결합]]이 강해지고 [[게이지노]]가 응축하여 초대칭을 깰 가능성이 있으나, 이런 일이 일어나지 않는다는 것이다.

== 정의 ==
[[초대칭 양자역학]] 모형이 [[해밀토니언 (양자역학)|해밀토니언]] <math>H</math>를 가진다고 하자. 이 경우, 다음과 같은 초대칭 대수가 존재한다.
:<math>Q^2=H</math>
:<math>\{Q,(-1)^F\}=0</math>
여기서 초전하 <math>Q</math>는 에르미트 초대칭 연산자이고, <math>(-1)^F</math>는 '''페르미온 수 연산자'''({{llang|en|fermion number operator}})라는 [[에르미트 연산자]]이다. 이는 보손 준위에 대해서는 <math>+1</math>, 페르미온 준위에 대해서는 <math>-1</math>의 값을 가진다. 그렇다면 '''위튼 지표''' <math>\operatorname{ind}Q</math>는 다음과 같다.
:<math>\operatorname{ind}(Q)=\operatorname{tr}\left((-1)^F\exp(-\beta H)\right)</math>
여기서  <math>\beta</math>는 임의의 상수로, 표현의 수렴을 위하여 삽입한 것이다. 대략 [[온도]]로 생각할 수 있다.

위튼 지표는 [[바른틀 앙상블]]의 [[분배 함수 (통계역학)|분배 함수]]
:<math>Z(\beta)=\operatorname{tr}\exp(-\beta H)</math>
와 유사하나, <math>(-1)^F</math>가 삽입된 것이 다르다. 즉, 위튼 지표는 일종의 뒤틀린(twisted) 분배 함수로 생각할 수 있다.

위튼 지표는 "온도" <math>1/\beta</math>에 무관하며, 편의상 <math>\beta=0</math>으로 놓을 수 있다. 이는 에너지가 0보다 큰 상태들의 경우 보손과 페르미온이 같은 수로 나타나므로, 위튼 지표는 오직 에너지가 0인 상태들만을 세기 때문이다. 수식으로는 이를 다음과 같이 보일 수 있다. 단위 연산자의 다음과 같은 분해를 생각하자.
:<math>1=P_0+HH^{-1}=P_0+Q^2H^{-1}</math>
여기서 <math>P_0</math>는 해밀토니언의 영공간(nullspace)으로의 [[사영 연산자]]이고, <math>H^{-1}</math>은 에너지가 0인 상태에 대해서는 고윳값 0, 에너지가 양수 <math>E</math>인 상태에 대해서는 고윳값 <math>E^{-1}</math>을 갖는 연산자이다. 그렇다면
:<math>\operatorname{tr}(-1)^F\exp(-\beta H)=\operatorname{tr}((-1)^FP_0\exp(-\beta H))+\operatorname{tr}\left((-1)^FH^{-1}Q^2\exp(-\beta H)\right)</math>
이다. 첫 번째 항에서는 <math>P_0</math>이 삽입되었으므로 <math>H\mapsto 0</math>으로, <math>\exp(-\beta H)\mapsto1</math>로 치환할 수 있다. 두 번째 항은
:<math>\operatorname{tr}\left((-1)^FQX\right)</math>
의 꼴이고, 여기서 <math>[X,Q]=0</math>이다. 그렇다면 [[대각합]]의 순환성에 의해
:<math>\operatorname{tr}\left((-1)^FQX\right)=\operatorname{tr}\left((-1)^FXQ\right)=\operatorname{tr}\left(Q(-1)^FX\right)=-\operatorname{tr}\left((-1)^FQX\right)</math>
이므로, 이러한 꼴의 대각합은 항상 0이다. 즉,
:<math>\operatorname{tr}\left((-1)^F\exp(-\beta H)\right)=\operatorname{tr}\left((-1)^FP_0\right)</math>
이다. 다시 말해, 위튼 지표는 초대칭 바닥 상태(에너지가 0인 상태)에만 의존하고, 특히 <math>\beta</math>에 의존하지 않는다.

=== 해밀토니언의 변화 ===
만약 해밀토니언에 매개변수가 주어졌다고 하자. (예를 들어, [[결합 상수]]를 변화시키는 것을 생각해 볼 수 있다.
:<math>2H(\lambda)=\{Q(\lambda),Q(\lambda)^\dagger\}</math>
이와 같은 경우, 에너지가 0이었던 상태들 가운데 일부가 에너지가 0보다 더 커지거나, 아니면 그 반대가 일어날 수 있다. 그러나 이러한 경우 에너지가 >0인 상태들의 수는 항상 짝수이므로, 위튼 지표는 2의 배수로 바뀌게 된다. 즉, 위튼 지표가 짝수 또는 홀수인지의 여부는 해밀토니언을 연속적으로 변화시켜도 바뀌지 않는다.

=== 초대칭의 자발 대칭 깨짐 ===
초대칭이 [[자발 대칭 깨짐]]을 겪는다는 것은 [[바닥 상태]]가 초대칭에 대하여 불변이지 않다는 것을 말한다. 만약 바닥 상태 <math>|\psi\rangle</math>의 에너지가 0이라고 하자.
:<math>0=\langle\psi|2H|\psi\rangle=\langle Q\psi|Q\psi\rangle+\langle Q^\dagger\psi|Q^\dagger\psi\rangle</math>
따라서
:<math>Q|\psi\rangle=Q^\dagger|\psi\rangle=0</math>
이다. 즉, 바닥 상태의 에너지가 0이라면 초대칭이 깨지지 않는다. 만약 위튼 지표가 0이 아니라면, 에너지가 0인 상태가 적어도 하나는 존재한다. 따라서 바닥 상태의 에너지는 0이며, 초대칭이 [[자발 대칭 깨짐]]을 겪지 않는다. (반면, 위튼 지표가 0이더라도 에너지가 0인 상태가 존재하여, 초대칭이 깨지지 않을 수 있다.) 즉, 다음과 같은 가능성들이 존재한다.
# 위튼 지표가 0이 아니다. 이 경우 초대칭은 깨지지 않는다.
# 위튼 지표가 0이며, 이에 불구하고 초대칭은 깨지지 않는다. 이 경우 초대칭 바닥 상태 (에너지가 0인 바닥 상태)가 존재하나, 보손 초대칭 바닥 상태와 페르미온 초대칭 바닥 상태의 수가 같다.
# 위튼 지표가 0이고, 초대칭이 깨진다. 이 경우 초대칭 바닥 상태가 존재하지 않는다.

== 두 개의 초전하에서의 위튼 지표 ==
위튼 지표는 적어도 하나의 초전하가 주어지면 정의될 수 있지만, 두 개 이상의 초전하가 주어진다면 더 다양한 값들을 정의할 수 있다.
힐베르트 공간 <math>\mathcal H</math> 위에 [[해밀토니언 연산자]] <math>H</math>, 두 개의 초대칭 연산자 <math>Q_1</math>과 <math>Q_2</math>, 페르미온 수 연산자 <math>(-1)^F</math>가 주어졌다고 하자. 이들은 다음과 같은 대수를 만족시킨다.
:<math>\{Q_i,Q_j\}=2H\delta_{ij}</math>
:<math>\{Q_i,(-1)^F\}=0</math>
그렇다면
:<math>Q=\frac1{\sqrt2}(Q_1+iQ_2)</math>
를 정의할 수 있다. 이는
:<math>Q^2=(Q^\dagger)^2=0</math>
:<math>\{Q,Q^\dagger\}=2H</math>
:<math>\{Q,(-1)^F\}=\{Q^\dagger,(-1)^F\}=0</math>
을 만족시킨다. 그렇다면 <math>(-1)^F</math>의 고윳값에 따라 힐베르트 공간을 '''[[페르미온]] 부분공간''' <math>\mathcal H_-</math>과 '''[[보손]] 부분공간''' <math>\mathcal H_+</math>으로 분해할 수 있다.
:<math>\mathcal H=\mathcal H_+\oplus\mathcal H_-</math>
:<math>(-1)^F|\psi\rangle=\pm|\psi\rangle\forall\psi\in\mathcal H_\pm</math>

=== 초대칭 코호몰로지 ===
두 개의 초전하가 주어지면, 위튼 지표는 '''초대칭 코호몰로지'''의 [[오일러 지표]]로 이해할 수 있다.<ref name="mirrorbook">{{서적 인용|제목=Mirror Symmetry|이름=Kentaro|성=Hori|공저자=Sheldon Katz, Albrecht Klemm, Rahul Pandharipande, Richard Thomas, [[캄란 바파|Cumrun Vafa]], Ravi Vakil, Eric Zaslow|출판사=[[미국 수학회|American Mathematical Society]]/[[클레이 수학연구소|Clay Mathematical Institute]]|기타=Clay Mathematical Monographs 1|연도=2003|isbn=0-8218-2955-6|url=http://www.claymath.org/library/monographs/cmim01c.pdf|zbl=1044.14018|mr=2003030}}</ref>{{rp|182–197}} 이 경우 <math>Q^2=0</math>이므로 다음과 같은 [[공사슬 복합체]]를 정의할 수 있다.
:<math>\mathcal H_-\xrightarrow Q\mathcal H_+\xrightarrow Q\mathcal H_-</math>
따라서, 이 공사슬 복합체의 [[코호몰로지]]
:<math>H_\pm=\frac{\ker Q|_{\mathcal H_\pm\to\mathcal H_\mp}}{\operatorname{im} Q|_{\mathcal H_\mp\to\mathcal H_\pm}}</math>
를 정의할 수 있다. 여기서 <math>H_\pm</math>은 각각 보손 및 페르미온 초대칭 [[바닥 상태]]에 대응하고, 위튼 지표는 이 코호몰로지의 [[오일러 지표]]에 해당한다.
:<math>\operatorname{tr}(-1)^F=\dim H_+-\dim H_-</math>

만약 힐베르트 공간이 [[포크 공간]]을 이루어, 페르미온 수 연산자 <math>F</math>를 정의할 수 있다고 하자. 즉
:<math>\exp(i\pi F)=(-1)^F</math>
인 에르미트 연산자 <math>F</math>가 있다고 하자. 그렇다면 <math>F</math>의 고윳값에 따라
:<math>\mathcal H=\oplus_{n=0}^\infty\mathcal H_n</math>
:<math>F|\psi\rangle=n|\psi\rangle\forall\psi\in\mathcal H_n</math>
:<math>\mathcal H_+=\bigoplus_n\mathcal H_{2n}</math>
:<math>\mathcal H_-=\bigoplus_n\mathcal H_{2n+1}</math>
으로 정의할 수 있고, 이에 따라 다음과 같은 [[공사슬 복합체]]가 존재한다.
:<math>0\to\mathcal H^0\xrightarrow Q\mathcal H^1\xrightarrow Q\mathcal H^2\to\dotsb</math>
이에 따라 코호몰로지를 정의할 수 있다.
:<math>H^n_Q=\frac{\ker Q|_{\mathcal H_n\to\mathcal H_{n+1}}}{\operatorname{im} Q|_{\mathcal H_{n-1}\to\mathcal H_n}}</math>
이들은 페르미온 수 <math>n</math>을 가진 초대칭 바닥 상태와 일대일 대응한다. 그렇다면 위튼 지표는 이 공사슬 복합체의 [[오일러 지표]]가 된다.
:<math>\operatorname{tr}(-1)^F=\sum_n(-1)^n\dim H_n</math>

=== 공액에 대한 지표 ===
위튼 지표는 보손 초대칭 [[바닥 상태]]의 수와 페르미온 초대칭 [[바닥 상태]]의 수의 차이며, (거의 모든) 해밀토니언의 변형에 대해 불변하다. 그러나 총 초대칭 [[바닥 상태]]의 수
:<math>\dim(\ker Q/\operatorname{im}Q)=\dim H_++\dim H_-=\dim\ker H</math>
는 일반적으로 불변하지 않다. 다만, 이 경우에도 총 초대칭 바닥 상태의 수는 다음과 같은 꼴의 공액 변환(conjugation)에 대하여 불변이다.<ref name="Witten82"/>{{rp|§3}}
:<math>Q'=M^{-1}QM</math>
:<math>2H'=\{Q',(Q')^\dagger\}</math>
여기서 <math>M</math>은 일반적인 [[선형변환]]이다. 만약 <math>M</math>이 [[유니터리 변환]]이라면 이론은 (기저 변환을 제외하고) 바뀌지 않지만, <math>M</math>이 유니터리하지 않다면 이는 일반적으로 다른 이론을 나타낸다. 이러한 공액 변환으로, [[초대칭 게이지 이론]]의 다음과 같은 [[결합 상수]]들을 바꿀 수 있다.<ref name="Witten82"/>{{rp|§3}}
* [[초퍼텐셜]]은 거의 임의로 바뀔 수 있다. (단, 초퍼텐셜의 무한대에서의 성질이 바뀌어서는 아니된다. 즉, 초퍼텐셜의 최고차항의 부호를 바꿀 수 없고, 최고차항보다 더 고차항을 추가할 수도 없다.)
* 게이지 [[결합 상수]]의 경우, 아벨 게이지 군에 대해서는 임의로 바뀔 수 있지만 비아벨 게이지 군에 대해서는 그렇지 않다.
* CP 위반 각 <math>\theta</math>는 (이론이 <math>\theta</math>에 자명하지 않게 의존한다면) 바뀔 수 없다.
* [[페예-일리오풀로스 항]]은 바뀔 수 없다.

== 추가 연산자의 삽입 ==
해밀토니언이 어떤 연산자 <math>X</math>와 가환한다고 하자.
:<math>[H,X]=0</math>
그렇다면 위튼 지표에 <math>X</math>를 삽입한 지표
:<math>\operatorname{tr}\left((-1)^Fp(X)\right)</math>
를 정의할 수 있다. 여기서 <math>p</math>는 임의의 (해석적) 함수이다. 이는 해밀토니언을 <math>X</math>를 보존시키는 방향으로 변화시켰을 때 위상수학적으로 불변이다. 즉,
:<math>H\mapsto H'=H+\Delta H</math>
:<math>[\Delta H,X]=0</math>
으로 치환하더라도 바뀌지 않는다. 이는 초대칭 바닥 상태를 셀 때, <math>X</math>에 대한 고윳값을 붙여 세는 것에 해당한다. 이렇게 수정한 위튼 지표를 사용하여, 위튼 지표가 0인 일부 이론에서도 초대칭이 깨지지 않음을 보일 수 있다. 예를 들어, 4차원 [[#가환 초대칭 게이지 이론|U(1) 초대칭 순수 게이지 이론]]이 이에 해당한다.

만약 [[바닥 상태]]의 수가 무한하다면 위튼 지표는 정의될 수 없다. 다만, 만약 다음 성질을 만족시키는 연산자 <math>\Xi</math>가 존재한다면 위튼 지표를 정의할 수 있다.<ref name="Romelsberger">{{저널 인용|arxiv=0707.3702|title=
Calculating the Superconformal Index and Seiberg Duality|이름=Christian|성=Romelsberger|bibcode=2007arXiv0707.3702R|날짜=2007|언어=en}}</ref>{{rp|§2}}
:<math>[\Xi,Q]=0</math>
:<math>\Xi\ge H</math>
이와 같은 경우 다음과 같은 지표가 존재한다.
:<math>\operatorname{ind}(\mu)=\operatorname{tr}\left((-1)^F\exp(-\mu\Xi)\right)</math>
이는 무한한 수의 다른 지표들
:<math>k!(-1)^k\frac{d^k}{d\mu^k}\operatorname{ind}(\mu)|_{\mu=0}=\operatorname{tr}\left((-1)^F\Xi^k\right)</math>
의 [[생성 함수]]로 여길 수 있다.

=== 초등각 지표 ===
보통 위튼 지표는 원환면 위에서 계산하지만, [[초구]] 위에서도 계산할 수 있다. 이를 '''초등각 지표'''(超等角指標, {{llang|en|superconformal index}}) 또는 '''구면 지표'''({{llang|en|sphere index}})라고 한다.<ref name="Romelsberger"/><ref name="IntriligatorSeiberg"/>{{rp|§1.4, footnote 6}} [[초등각 장론]]의 경우에는 [[방사 양자화]]를 통해 이론을 자연스럽게 <math>S^3\times\mathbb R</math> 위에 정의할 수 있다. 그러나 일반적인 초대칭 이론의 경우에도 일반적으로 이론을 구면 및 다른 곡률이 있는 다양체 위에 정의할 수 있고, 이로부터 초등각 지표를 계산할 수 있다.<ref name="IntriligatorSeiberg"/>{{rp|§1.4, footnote 6}}<ref>{{저널 인용|제목=Rigid supersymmetric theories in curved superspace|이름=Guido|성=Festuccia|공저자=[[나탄 자이베르그|Nathan Seiberg]]|arxiv=1105.0689|bibcode=2011JHEP...06..114F|doi=10.1007/JHEP06(2011)114|저널=Journal of High Energy Physics|권=2011|호=6|쪽=114|날짜=2011-06|issn=1029-8479|언어=en}}</ref>

3차원 [[초구]] ''S''<sup>3</sup>의 [[등거리변환군]]은
:<math>SU(2)_\text{L}\times SU(2)_\text{R}\times\mathbb R</math>
이다. 4차원 <math>\mathcal N=1</math> [[초등각 대수]]
:<math>(M_{\mu\nu},P_\mu,D,K_\mu,Q_\alpha,S_{\dot\alpha},R)</math>
에서, <math>Q_{\alpha}</math>와 <math>S_{\dot\alpha}</math>는 각각 SU(2)<sub>L</sub>과 SU(2)<sub>R</sub>의 2차원 [[기본 표현]]이다. 이 경우, 적절한 <math>Q_1</math>을 선택하면, 이는
:<math>\{Q_1,Q_1^\dagger\}=H-\frac32R-2J_3\equiv \Xi</math>
이다. 여기서 <math>J_3</math>는 <math>M_{\mu\nu}</math>에서 회전 생성원의 하나로, SU(2)<sub>L</sub> 생성원의 하나다. 그렇다면 초등각 지표는
:<math>\operatorname{ind}(\mu,\gamma)=\operatorname{tr}\left((-1)^F\exp(-\mu\Xi)\gamma\right)</math>
이다. 여기서 <math>\gamma\in\operatorname{SU}(2)_{\text{R}}</math>은 임의의 원소이다. 만약 내부 대칭군 <math>H</math>가 존재한다면, 임의의 원소 <math>h\in H</math>를 삽입해
:<math>\operatorname{ind}(\mu,\gamma,h)=\operatorname{tr}\left((-1)^F\exp(-\mu\Xi)\gamma h\right)</math>
를 정의할 수 있다.

=== 렌즈 공간 지표 ===
[[렌즈 공간]]
:<math>L(p,1)=S^3/(\mathbb Z/p)</math>
은 3차원 [[초구]] 구면의 [[몫공간]]의 일종이다. 이 위에서도 초대칭 지표를 계산할 수 있다. 이를 '''렌즈 공간 지표'''({{llang|en|lens space index}})라고 한다.<ref>{{저널 인용|arxiv=1109.0283|제목=4d Index to 3d Index and 2d topological quantum field theory|이름=Francesco|성=Benini|공저자=Tatsuma Nishioka, Masahito Yamazaki|bibcode=2012PhRvD..86f5015B|doi=10.1103/PhysRevD.86.065015|저널=Physical Review D|권=86|호=6|쪽=065015|날짜=2012-09-15|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|arxiv=1306.1543|제목=S-duality and the <math>\mathcal N=2</math> Lens Space Index|이름=Shlomo S.|성=Razamat|공저자=Masahito Yamazaki|doi=10.1007/JHEP10(2013)048|저널=Journal of High Energy Physics|권=2013|호=10|쪽=48|bibcode=2013JHEP...10..048R|issn=1029-8479|언어=en}}</ref>

=== 타원 종수 ===
'''타원 종수'''({{llang|en|elliptic genus}})는 2차원 초대칭 양자장론에 대하여 정의할 수 있는, 위튼 지표를 확장시킨 지표다. 타원 종수는 [[원환면]]의 복소 구조 모듈러스 <math>\tau</math>의 변환 및 [[R대칭]], [[맛깔]] 대칭을 반영한다.<ref>{{저널 인용|제목=Elliptic genera and quantum field theory|이름=Edward|성=Witten|저널=Communications in Mathematical Physics|권=109|호=4|날짜=1987|쪽=525-536|mr=0885560|zbl=0625.57008|doi=10.1007/BF01208956|날짜=1987-12|url=https://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104117076|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Elliptic genera and <math>N=2</math> superconformal field theory|이름=Toshiya|성=Kawai|공저자=Yasuhiko Yamada, Sung-Kil Yang|arxiv=hep-th/9306096|bibcode=1994NuPhB.414..191K|doi=10.1016/0550-3213(94)90428-6|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=What is … an elliptic genus?|이름=Serge|성=Ochanine|저널=Notices of the American Mathematical Society|권=56|호=6|쪽=720–721|날짜=2009-06|url=http://www.ams.org/notices/200906/rtx090600720p.pdf|zbl=1172.58006|언어=en}}</ref>
이는 많은 경우 구체적으로 계산되었다.<ref>{{저널 인용|제목=Elliptic genera of two-dimensional N=2 gauge theories with rank-one gauge groups|이름=Francesco|성=Benini|공저자=Richard Eager, Kentaro Hori, Yuji Tachikawa|arxiv=1305.0533|언어=en|날짜=2013|bibcode=2013arXiv1305.0533B}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=
Elliptic genera of 2d N=2 gauge theories|이름=Francesco|성=Benini|공저자=Richard Eager, Kentaro Hori, Yuji Tachikawa|arxiv=1308.4896|언어=en|bibcode=2013arXiv1308.4896B}}</ref>

등각 장론의 경우, 복소 모듈러스가 <math>\tau</math>인 원환면 위에서 분배 함수를 계산할 수 있다. 이는
:<math>L_0=H+iP</math>
:<math>\bar L_0=H-iP</math>
에 대하여, 라몽-라몽 경계 조건에서의 뒤틀린 분배 함수
:<math>Z_{T^2}(\tau)=\operatorname{tr}_\text{R}\left((-1)^Fq^{L_0}\bar q^{\bar L_0}y^J\right)</math>
을 계산하는 것이다. 여기서
:<math>q=\exp(2\pi i\tau)</math>
:<math>y=\exp(2\pi iz)</math>
이고, <math>J</math>는 [[R대칭]] 연산자이다. 만약 이론이 등각 대칭을 갖지 않더라도 <math>H</math>와 <math>P</math>가 정의되므로 이 값을 정의할 수 있다. (만약 느뵈-슈워츠(NS) 경계 조건을 가하거나, <math>(-1)^F</math>를 삽입하지 않는 다른 일반적인 분배 함수는 <math>\tau</math>에 의존하게 된다.)

또한, 이론이 [[맛깔]] 대칭을 가지는 경우, 이들도 마찬가지로 경로 적분에 삽입할 수 있다.

== 역사 ==
[[에드워드 위튼]]이 초대칭 깨짐을 분석하기 위해 도입하였다.<ref name="Witten82">{{저널 인용|제목=Constraints on supersymmetry breaking|bibcode=1982NuPhB.202..253W|doi=10.1016/0550-3213(82)90071-2|저널=Nuclear Physics B|권=202|호=2|쪽=253–316|날짜=1982-07|이름=Edward|성=Witten|저자링크=에드워드 위튼|issn=0550-3213|url=http://bolvan.ph.utexas.edu/~vadim/Classes/2013f/Witten1982.pdf|언어=en|확인날짜=2013-11-24|보존url=https://web.archive.org/web/20131202232054/http://bolvan.ph.utexas.edu/~vadim/Classes/2013f/Witten1982.pdf|보존날짜=2013-12-02|url-status=dead}}</ref>

== 예 ==
위튼 지표는 유한 에너지 상태들에 의존하지 않으므로, 에너지가 0인 상태들만 고려하면 된다. 일반적으로 무한히 큰 공간에서는 해밀토니언이 연속적 스펙트럼을 가지므로, 이론을 유한한 크기의 공간 ([[원환면]] <math>T^d</math> 등)에 놓아 계산한다. 이 때, 공간의 경계 조건 및 공간에 존재하는 [[자기 선속]] 따위에 따라 위튼 지표가 달라질 수 있다.<ref name="Witten82"/>

위튼 지표를 계산할 때 흔히 '''[[보른-오펜하이머 근사법]]'''({{llang|en|Born–Oppenheimer approxmation}})을 사용한다.<ref name="Witten82"/> 이 근사법에서는 고전적으로 에너지가 0인 상태만을 양자화한다. 즉, 게이지 이론에서는 순수 게이지 상태 (장세기가 0인 경우) 및 [[게이지노]] 영에너지 모드 등만을 양자화하게 된다. 기타 물질(<math>\mathcal N=1</math> [[손지기 초다중항]])은 일반적으로 초퍼텐셜을 더해 질량을 줄 수 있으므로 보통 무시할 수 있다.

=== 초대칭 양자역학 ===
콤팩트 [[리만 다양체]] <math>(M,g)</math> 위에 다음과 같은, 두 개의 초전하를 가진 초대칭 양자역학을 정의할 수 있다.<ref>{{저널 인용|성=Witten|이름=Edward|저자링크=에드워드 위튼|제목=Supersymmetry and Morse theory|저널=Journal of Differential Geometry|권=17|호=4|날짜=1982|쪽=661–692|zbl=0499.53056|mr=683171|url=http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214437492|언어=en}}</ref>
:<math>\mathcal H=\Omega^\bullet(M)\otimes\mathbb C=\bigoplus_{n=0}^{\dim M}\Omega^n(M)\otimes\mathbb C</math> ([[미분 형식]]들의 [[벡터 공간]])
:<math>2H=d^\dagger d+dd^\dagger=\Delta</math> ([[라플라스-벨트라미 연산자]])
:<math>(Q,Q^\dagger)=(d,d^\dagger)</math> ([[외미분]])
:<math>F\alpha^{(p)}=p\alpha^{(p)}\,,\forall\alpha^{(p)}\in\Omega^p(M)\otimes\mathbb C</math>
이 경우 초전하가 [[미분 형식]]의 [[외미분]]이므로, 초대칭 코호몰로지 <math>H_Q^\bullet</math>는 [[드람 코호몰로지]] <math>H_{\text{dR}}^\bullet</math>와 일치한다.
:<math>\dim H_Q^n=\dim H^n_{\text{dR}}</math>
위튼 지표는 초대칭 코호몰로지의 [[오일러 지표]]이므로, 이는 다양체 <math>M</math>의 [[오일러 지표]] <math>\chi(M)</math>이다.
:<math>\operatorname{ind}(Q)=\chi(M)</math>

=== 4차원 초대칭 게이지 이론 ===
==== 가환 초대칭 게이지 이론 ====
[[원환면]] <math>T^3</math>에 정의한 U(1) [[초대칭 게이지 이론]]의 경우, 위튼 지표는 0이다.<ref name="Witten82"/>{{rp|§6}} 그러나 이 경우 [[전하 켤레 대칭]] 연산자 <math>C</math>를 삽입한 지표는 4이다.<ref name="Witten82"/>{{rp|§6}}
:<math>\operatorname{tr}\left((-1)^F\right)=0</math>
:<math>\operatorname{tr}\left((-1)^FC\right)=4</math>
이 경우, 진공 상태들은 [[포티노]]의 운동량 0 진동 모드들에 의해 결정된다. 스핀 ±½ 두 개의 모드가 있으므로, 다음과 같이 총 4개의 진공 상태들이 있다.<ref name="Witten82"/>{{rp|Fig. 7}}
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! scope="row" | 포티노 모드
|  || ↑ || ↓ || ↑↓
|-
! scope="row" | ''C''
| +1 || &minus;1 || &minus;1 || +1
|-
! scope="row" | (&minus;1)<sup>''F''</sup>
| +1 || &minus;1 || &minus;1 || +1
|}

''C''를 삽입한 위튼 지표가 0이 아니므로, U(1) 초대칭 게이지 이론에서는 초대칭이 깨지지 않는다.

==== 비가환 초대칭 게이지 이론 ====
게이지 군이 단순 리 군 <math>G</math>이고, 모든 물질이 질량을 가진 <math>\mathcal N=1</math> [[초대칭 게이지 이론]]을 생각하자. 이 이론을 원환면 <math>T^3</math> 위에 놓고, 주기적인 경계 조건을 주었다고 하자. 그렇다면 위튼 지표는 게이지 군 <math>G</math>의 [[이중 콕서터 수]]
:<math>h^\vee=\operatorname{tr}_{\text{adj}}(t^at^a)</math>
와 같다.<ref name="Witten98">{{저널 인용|제목=Toroidal compactification without vector structure|이름=Edward|성=Witten|저자링크=에드워드 위튼|arxiv=hep-th/9712028|doi=10.1088/1126-6708/1998/02/006|저널=Journal of High Energy Physics|권=1998|호=2|쪽=6|날짜=1998-02|bibcode=1998JHEP...02..006W|언어=en}}</ref><ref name="KS">{{저널 인용|제목=Vacuum structure in supersymmetric Yang-Mills theories with any gauge group|이름=V.G.|성=Kac|저자링크=빅토르 카츠|공저자=A.V. Smilga|arxiv=hep-th/9902029|bibcode=1999hep.th....2029K|언어=en}}</ref><ref name="Witten01">{{저널 인용|제목=Supersymmetric index in four-dimensional gauge theories|이름=Edward|성=Witten|저자링크=에드워드 위튼|bibcode=2000hep.th....6010W|arxiv=hep-th/0006010|저널=Advances in Theoretical and Mathematical Physics|issn=1095-0761|권=5|호=5|쪽=841–907|날짜=2001|zbl=1019.81040|mr=1912952|언어=en}}</ref> 이는 다음과 같다.<ref name="KS"/>{{rp|Table 1}}
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! scope = "row" | 리 군
| A<sub>''n''</sub> || B<sub>''n''</sub> || C<sub>''n''</sub> || D<sub>''n''</sub> || [[E₆|E<sub>6</sub>]] || [[E₇|E<sub>7</sub>]] || [[E₈|E<sub>8</sub>]] || [[F₄|F<sub>4</sub>]] || [[G₂|G<sub>2</sub>]]
|-
! scope = "row" | 다른 이름
| [[특수 유니터리 군|SU(''n''+1)]] || [[특수직교군|SO(2''n''+1)]] || [[심플렉틱 군|USp(2''n'')]] || [[특수직교군|SO(2''n'')]]
| colspan=5 | —
|-
! scope = "row"  | 이중 콕서터 수
| ''n''+1 || 2''n''&minus;1 || ''n''+1 || 2''n''&minus;2 || 12 || 18 || 30 || 9 ||4
|}
위튼의 원래 논문<ref name="Witten82"/>{{rp|§7}}에는 오류가 있다는 것에 주의하자.<ref name="Witten98"/><ref name="KS"/> (원래 논문의 결과는 SU(''n'')과 USp(2''n'') 게이지 군에 대해서는 옳지만 다른 게이지 군에 대해서는 틀리다.)

이에 따라 위튼 지표가 0이 아니므로, 일반적으로 순수 초대칭 게이지 이론에서는 초대칭이 깨지지 않는다.

=== 3차원 초대칭 게이지 이론 ===
다양한 3차원 초대칭 게이지 이론의 경우에도 위튼 지표가 계산되었다.<ref name="IntriligatorSeiberg">{{저널 인용|제목=Aspects of 3d <math>\mathcal N=2</math> Chern–Simons–matter theories|이름=Kenneth|성=Intriligator|공저자=[[나탄 자이베르그|Nathan Seiberg]]|저널=Journal of High Energy Physics|날짜=2013-07|권=2013|호=7|쪽=79|언어=en|arxiv=1305.1633|bibcode=2013JHEP...07..079I|issn=1029-8479}}</ref><ref name="Witten99">{{저널 인용|arxiv=hep-th/9903005|이름=Edward|성=Witten|저자링크=에드워드 위튼|제목=
Supersymmetric index of three-dimensional gauge theory|bibcode=1999hep.th....3005W|언어=en}}</ref>

3차원의 경우, 게이지군이 <math>G</math>인 순수 <math>\mathcal N=1</math> 초대칭 [[양-밀스 이론]]에 [[천-사이먼스 이론|천-사이먼스 항]]을 추가할 수 있다. 즉, (유클리드 계량 부호에서) 작용은
:<math>S=\int d^3x\,\frac1{2g^2}\operatorname{tr}\left(F^2+\frac12\bar\lambda i\gamma^\mu D_\mu\lambda\right)-\frac{ik}{4\pi}\int\operatorname{tr}\left(A\wedge dA+\frac23A\wedge A\wedge A+\bar\lambda\lambda\right)</math>
이다. 천-사이먼스 항의 레벨({{llang|en|level}}) ''k''는 양자 보정에 따라서
:<math>k\in\mathbb Z+h^\vee(G)/2</math>
이다. 여기서 <math>h^\vee(G)</math>는 <math>G</math>의 [[이중 콕서터 수]]이다. 이 경우 <math>|k|<h^\vee/2</math>라면 위튼 지표가 0이고, <math>|k|>h^\vee/2</math>라면 위튼 지표가 0이 아니다.<ref name="Witten99"/> SU(''N'') 게이지 군의 경우, 위튼 지표는
:<math>I(k,N)=\begin{cases}(\operatorname{sgn}k)^{N-1}\binom{|k|+N/2-1}{N-1}&|k|\ge N/2\\0&|k|<N/2\end{cases}</math>
이다.<ref name="Witten99"/><ref>{{저널 인용|제목=Once more on the Witten index of 3d supersymmetric YM-CS theory|이름=A. V.|성=Smilga|bibcode=2012JHEP...05..103S|doi=10.1007/JHEP05(2012)103|arxiv=1202.6566|저널=Journal of High Energy Physics|권=2012|호=5|날짜=2012-05|쪽=103|issn=1029-8479|언어=en}}</ref>

만약 <math>G</math>가 [[단일 연결 공간]]이 아니라면, 이론에 또한 [[자기 선속]]과 [[전기 선속]]을 추가할 수 있다. 공간이 다양체 <math>M</math>이라고 하자. (즉, 시공간은 <math>M\times S^1</math>이다.) 이 위에 존재하는 가능한 자기 선속 <math>m</math>은 [[기본군]] <math>\pi_1(G)</math>에 대한 계수를 가진 2차 코호몰로지
:<math>m\in H^2(M;\pi_1(G))</math>
에 의해 분류된다. 전기 선속 <math>e</math>는
:<math>e\in\hom(H^1(M;\pi_1(G)),U(1))</math>
에 의하여 분류된다. 3차원 [[원환면]] <math>M\times S^1=T^3</math> 위에 정의된 3차원 초대칭 게이지 이론의 경우, 위튼 지표 <math>I(e,m)</math>은
:<math>I(e,m)=\begin{cases}
1&e=0\\
0&e\ne0\\
\end{cases}</math>
이다.<ref name="Witten01"/>{{rp|§2.3}}

== 각주 ==
{{각주|20em}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/Witten+index|제목=Witten index|웹사이트=nLab|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/Witten+genus|제목=Witten genus|웹사이트=nLab|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/elliptic+genus|제목=Elliptic genus|웹사이트=nLab|언어=en}}

[[분류:초대칭]]