위상 양자장론 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[물리학]]과 [[수학]]에서 '''위상 양자장론'''(位相量子場論, {{llang|en|topological quantum field theory}}, 약자 TQFT)은 [[계량 텐서]]에 의존하지 않는 [[양자장론]]이다. 미분구조조차 고려하지 않는 위상다양체에서 하는 것은 아니고, 정확히는 리만 계량을 고려하지 않는 미분다양체위에서 하므로 위상 양자장론보다는 미분 위상 양자장론이 더 어울리는 이름이다.  [[입자 물리학]]과 [[끈 이론]], [[응집물질물리학]]과 [[대수적 위상수학]], [[매듭 이론]]에서 쓰인다.

== 정의 ==
대부분의 [[양자장론]]은 그 관측가능량([[상관 함수 (양자장론)|상관 함수]] 등)이 [[시공간]]의 [[계량 텐서]]([[중력장]])에 의존한다. 관측가능량이 계량 텐서에 의존하지 않는 양자장론을 '''위상 양자장론'''이라고 한다.

오늘날 알려진 위상 양자장론은 '''시바르츠형'''({{lang|en|Schwarz-type}})과 '''코호몰로지형'''({{llang|en|cohomological}},
또는 '''위튼형''' {{lang|en|Witten-type}})) 크게 두 종류가 있다.

=== 시바르츠형 위상 양자장론 ===
'''시바르츠형 위상 양자장론'''은 [[계량 텐서]]를 포함하지 않는 [[작용 (물리학)|작용]]으로 나타내어진다.<ref>{{저널 인용|
제목=Schwarz type topological quantum field theories|이름=R. K.|성=Kaul|공저자=T. R. Govindarajan, P. Ramadevi|arxiv=hep-th/0504100|bibcode=2005hep.th....4100K|날짜=2005 | 언어=en}}</ref> <math>d</math>차원 [[시공간]]에서, <math>d</math>차 [[미분형식]]을 적분하려면 계량 텐서가 필요하지 않다. 따라서 [[미분 형식]]을 장으로 하는 이론을 적을 수 있다. 이런 모형에는 [[천-사이먼스 이론]]과 [[BF 모형]] 등이 있다.

[[알베르트 시바르츠]]가 1977년에 최초의 시바르츠형 위상 양자장론을 발표하였고,<ref>{{저널 인용|이름=Albert|성=Schwarz|저자링크=알베르트 시바르츠|저널=Letters in Mathematical Physics|날짜=1978-01|권=2|호=3|쪽=247–252|제목=The partition function of degenerate quadratic functional and Ray-Singer invariants|doi=10.1007/BF00406412|bibcode=1978LMaPh...2..247S | zbl= 0383.70017 | 언어=en}}</ref> 다음과 같은 꼴이다.
:<math>S=\int_MA\wedge dA</math>.
여기서 <math>A</math>는 1차 [[미분형식]]이고, <math>M</math>은 3차원 시공간이다. 이 모형을 비아벨 게이지 대칭에 대하여 일반화하면 천-사이먼스 이론을 얻는다.

=== 코호몰로지형 위상 양자장론 ===
'''코호몰로지형 위상 양자장론''' 또는 '''위튼형 위상 양자장론'''은 일반적으로 계량 텐서를 포함하는 이론에 '''위상 뒤틂'''({{lang|en|topological twist}})을 가하여 만든다.<ref>{{저널 인용|이름=Edward|성=Witten|저자링크=에드워드 위튼|제목=Introduction to cohomological field theories|doi=10.1142/S0217751X91001350|저널=International Journal of Modern Physics A|권=6|호=16|날짜=1991-07-10|쪽=2775–2792|issn=0217-751X|bibcode=1991IJMPA...6.2775W|언어=en}}</ref>

[[에드워드 위튼]]이 1988년 최초의 예를 발표하였다.<ref>{{저널 인용 | last=Witten | first=Edward | authorlink=에드워드 위튼 | title=Topological quantum field theory | mr=953828 | bibcode=1988CMaPh.117..353W | 날짜=1988 | journal=Communications in Mathematical Physics | volume=117 | issue=3 | pages=353–386 | doi=10.1007/BF01223371 | 언어=en}}</ref> 위튼은 4차원 <math>N=2</math> [[초대칭 게이지 이론]]에 위상 뒤틂을 가하여, 이 이론이 [[도널드슨 불변량]]을 재현함을 보였다.

시바르츠형 위상 양자장론은 [[특성류]]를 기반으로 하여, 일반적인 (위상) [[다양체]] 위에 정의할 수 있지만, 코호몰로지형 위상 양자장론은 그 [[매끄러운 다양체]] 구조를 필요로 한다. 즉, 서로 [[위상동형]]이지만 다른 미분 구조를 가진 두 [[매끄러운 다양체]]를 코호몰로지형 위상 양자장론으로 구별할 수 있다.

''d''차원 '''코호몰로지형 위상 양자장론'''은 [[푸앵카레 대칭]]의 표현을 갖춘 힐베르트 공간 <math>\mathcal H</math>와, 다음과 같은 두 연산자 <math>Q,G_\mu</math>로 구성된다.<ref name="Dijkgraaf">{{저널 인용|arxiv=hep-th/9703136|날짜=1997-03|제목= Les Houches lectures on fields, strings and duality|이름=Robbert|성=Dijkgraaf|저자링크=로베르튀스 데이크흐라프|bibcode=1997hep.th....3136D|언어=en}}</ref>{{rp|63–66}}
:<math>\{Q,Q\}=\{G_\mu,G_\nu\}=0</math>
:<math>\{Q,G_\mu\}=P_\mu</math>
여기서 <math>P_\mu</math>는 병진(translation) 대칭의 생성원이다. 이 두 연산자 <math>Q,G_\mu</math>는 스칼라/벡터 "[[초대칭]]"으로 생각할 수 있다. (일반적인 초대칭 연산자는 스칼라나 벡터가 아니라 스핀 ½의 [[스피너]]이다.) 또한, 진공 상태 <math>|0\rangle</math>가 <math>Q</math>에 대하여 불변이라고 하자 (즉, 초대칭이 [[자발 대칭 깨짐]]을 겪지 않는다).
:<math>Q|0\rangle=0</math>
그렇다면 <math>Q</math>를 [[BRST 연산자]]로 생각하여, '''물리적 힐베르트 공간''' <math>\mathcal H_\text{phys}</math>을 <math>Q</math>에 대한 [[코호몰로지]]로 정의한다.
:<math>\mathcal H_\text{phys}=H_Q(\mathcal H)=\ker Q/\operatorname{im}Q</math>
또한, <math>\mathcal H</math> 위의 연산자들에 대해서도 <math>[Q,\cdot\}</math>에 대한 코호몰로지를 정의할 수 있다. 이 경우, [[관측 가능량]]들의 공간은 <math>Q</math>에 대한 연산자 코호몰로지이다. 즉, 물리적인 관측 가능량은 <math>Q</math>에 대하여 닫혀 있다.

주어진 물리적 스칼라 연산자 <math>O^{(0)}</math>에 대하여, <math>G_\mu</math>를 가해 다음과 같은 연산자들을 추가로 정의할 수 있다.
:<math>O^{(i+1)}=[G,O^{(i)}]</math>
<math>O^{(i)}</math>는 <math>i</math>차 [[미분형식]]을 이루며, 다음과 같은 '''내림 방정식'''({{llang|en|descent equation}})을 만족시킨다. 이는 [[야코비 항등식]]으로부터 유도할 수 있다.
:<math>dO^{(i)}=[Q,O^{(i+1)}]</math>
따라서 <math>i>0</math>의 경우, <math>O^{(i)}</math>는 <math>Q</math>에 대하여 닫혀 있지 않고, 관측 가능량을 이루지 않는다. 다만, [[시공간]] <math>M</math>의 임의의 <math>i</math>차 [[호몰로지]] <math>C_i\in H_i(M;\mathbb Z)</math>에 대하여 모자곱을 취하면 이는 관측 가능량을 이루게 된다. 즉,
:<math>\int_{C_i}O^{(i)}</math>
은 관측 가능량이다. 따라서, 다음과 같은 꼴의 상관 함수들을 계산할 수 있다.
:<math>\left\langle\cdots\int_{C_i}O^{(i)}\cdots\right\rangle</math>
예를 들어, [[도널드슨 불변량]]을 이러한 형태의 상관 함수로 나타낼 수 있다.

== 아티야 공리계 ==
[[마이클 아티야]]는 위상 양자장론을 수학적으로 정의하기 위하여 다음과 같은 [[공리계]]를 제안하였다.<ref>{{저널 인용 | 성=Atiyah | 이름=Michael | 저자링크=마이클 아티야 | 제목=Topological quantum field theories | url=http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1988__68__175_0 | mr=1001453 | 날짜=1988-01 | 저널=
Publications Mathématiques de l’Institut des Hautes Études Scientifiques  | 권=68 | 호=1 | 쪽=175–186 | doi=10.1007/BF02698547 | issn=0073-8301 | zbl = 0692.53053 | mr = 1001453 | 언어=en}}</ref> 이에 따라, <math>d+1</math>차원 '''위상 양자장론'''은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* 모든 <math>d</math>차원 [[콤팩트 공간|콤팩트]] (경계가 없는) [[유향 다양체]] <math>Y</math>에 대하여, 복소<ref>일부 경우, [[실수]] 및 [[유한체]]에 대한 [[벡터 공간]]도 사용 가능하다.</ref> [[벡터 공간]]인 '''상태 공간''' <math>E(Y)</math>
* 모든 <math>d+1</math>차원 (경계를 가진) [[유향 다양체]] <math>(X,\partial X)</math>에 대하여, '''[[경로 적분]]''' <math>Z(X)\in E(\partial X)</math>
이들은 다음과 같은 공리들을 만족시킨다.
# ([[함자 (수학)|함자성]])
## (공간 대칭의 작용) 임의의 [[방향 (다양체)|방향]]을 보존시키는 [[미분 동형]] <math>f\colon Y\to Y'</math>에 대하여, [[벡터 공간]]의 동형사상 <math>E(f)\colon E(Y)\to E(Y')</math>가 존재한다.
## (시공간 대칭의 작용) 또한, 임의의 [[방향 (다양체)|방향]] 및 경계를 보존시키는 [[미분 동형]] <math>g\colon X\to X'</math>에 대하여, <math>E(f|_{\partial X})\colon Z(X)\mapsto Z(X')</math>이다.
# ([[대합 (수학)|대합성]]) <math>-Y</math>를 <math>Y</math>에 반대 [[방향 (다양체)|방향]]을 준 [[유향 다양체]]라고 한다면, <math>E(-Y)=E(Y)^*</math>이다. 여기서 <math>V^*</math>는 <math>V</math>의 [[쌍대 공간]]이다.
# (승법성)
## (상태 공간의 승법성) <math>E(Y\sqcup Y')=E(Y)\otimes E(Y')</math>
## (짜깁기 법칙 {{llang|en|sewing law}}) <math>\partial X_1=Y_1\sqcup Y_3</math>, <math>\partial X_2=Y_2\sqcup-Y_3</math>이라면, <math>X_1</math>과 <math>X_2</math>를 <math>Y_3</math>으로 이어붙여 <math>X=X_1\cup X_2</math>, <math>\partial X=Y_1\sqcup Y_2</math>를 만들 수 있다. 이 경우, <math>Z(X)=\langle Z(X_1),Z(X_2)\rangle</math>이다. 여기서 <math>\langle\cdot,\cdot\rangle\colon E(Y_1)\otimes E(Y_3)\otimes E(Y_3)^*\otimes E(Y_2)\to E(Y_1)\otimes E(Y_2)</math>는 <math>E(Y_3)</math>의 내적이다.
# (비자명성)
## (상태 공간의 비자명성) <math>E(\varnothing)=\mathbb C</math>이다.
## (경로 적분의 비자명성) <math>Z(\varnothing)=1</math>이다.
## ([[시간 변화]]) <math>Z(Y\times[0,1])=\operatorname{Id}_{E(Y)}\in E(Y)\otimes E(Y)^*</math>이다. 여기서 <math>[0,1]</math>은 닫힌 [[구간]]이고, <math>\operatorname{Id}_{E(Y)}\colon E(Y)\to E(Y)</math>는 <math>E(Y)</math>의 [[항등함수]]다.

일반적인 [[양자역학]]과 달리, 위상 양자장론의 상태 공간 <math>E(Y)</math>에는 [[내적공간|내적]]이 일반적으로 주어져 있지 않다. 일반적으로, 양자역학에서는 [[관측가능량]] 및 [[해밀토니언 (양자역학)|해밀토니언]]을 정의하기 위하여 [[에르미트 연산자]]의 개념이 필요하고, 이를 정의하려면 상태공간과 그 [[쌍대공간]]의 동형사상 <math>E(Y)\cong E^*(Y)</math>이 필요하다. 그러나 위상 양자장론에서는 [[해밀토니언 (양자역학)|해밀토니언]]이 항상 0이므로 이 개념이 필요없다.

== 다양한 차원에서의 위상 뒤틂 ==
초대칭 이론의 위상 뒤틂은 2차원~4차원에서 가능하다.

=== 2차원 𝒩=(2,2) 위상 뒤틂 ===
{{본문|위상 끈 이론}}
[[2차원 𝒩=2 초등각 장론|2차원 <math>\mathcal N=(2,2)</math> 초등각 장론]]의 [[R대칭]]은 U(1)<sup>2</sup>이며, 두 개의 위상 뒤틂이 존재한다. 이를 '''A-뒤틂'''({{llang|en|A-twist}}) 및 '''B-뒤틂'''({{llang|en|B-twist}})라고 하며, [[칼라비-야우 다양체]] 위의 [[시그마 모형]]을 이렇게 뒤틀면 두 개의 [[위상 끈 이론]]을 얻는다. 이들 사이에는 [[거울 대칭]]이라는 관계가 존재한다.

=== 4차원 𝒩=2 위상 뒤틂 ===
4차원 <math>\mathcal N=2</math> 초대칭은 SU(2) [[R대칭]]을 가지므로, 유일한 위상 뒤틂을 갖는다. SU(2) [[초대칭 게이지 이론]]을 뒤틀면 [[도널드슨 이론]]을 얻는다.

=== 4차원 𝒩=4 위상 뒤틂 ===
코호몰로지형 위상 양자장론의 대표적인 예는 위상 <math>\mathcal N=4</math> [[초대칭 게이지 이론]]의 위상 뒤틂이다. <math>\mathcal N=4</math> 양-밀스 이론의 대칭군은
:<math>\operatorname{SU}(2)_{\text{l}}\times\operatorname{SU}(2)_{\text{r}}\times\operatorname{SU}(4)_{\text{R}}</math>
이다. 여기서 SU(2)<sub>l</sub>×SU(2)<sub>r</sub>=Spin(4)는 (유클리드) [[로런츠 대칭]]이며, SU(4)는 [[R대칭]]이다. 초전하 <math>(Q,\bar Q)</math>는 표현
:<math>(1/2, 0, \mathbf4)\oplus(0, 1/2,\mathbf4)</math>
를 따른다. (SU(2) 표현은 스핀 <math>j=0,1/2,1,3/2,\dots</math>으로 표기하였고, 다른 군의 표현은 그 차원을 굵은 글씨로 표기하였다.) 따라서, 위상 뒤틂은 군 준동형
:<math>\operatorname{SU}(2)_{\text{l}'}\times\operatorname{SU}(2)_{\text{r}'}
\to\operatorname{SU}(2)_{\text{l}}\times\operatorname{SU}(2)_{\text{r}}\times\operatorname{SU}(4)_{\text{R}}</math>
에 의하여 정의되며, 이 가운데 초전하 <math>(Q,\bar Q)</math>의 성분 가운데 적어도 하나가 새 로런츠 군에 대하여 스칼라가 되어야 한다. 이러한  위상 뒤틂은 3가지가 있으며, 다음과 같다.<ref>{{저널 인용|제목=Fivebranes and 4-manifolds|이름1=A.|성1=Gadde|이름2=S.|성2=Gukov|이름3=P.|성3=Putrov|arxiv=1306.4320}}</ref>{{rp|Table 6}}
{| class=wikitable
|-
! 이름 !! 정의 !! 성질 !! 문헌
|-
| 도널드슨-위튼({{llang|en|Donaldson–Witten}}) || <math>\operatorname{SU}(4)_{\text{R}}\supset\operatorname{SU}(2)\times\operatorname{SU}(2)\times\operatorname U(1)</math>, 두 SU(2) 가운데 하나를 로런츠 SU(2)와 대각선으로 섞음  || [[자기 홀극]]. <math>\mathcal N=4</math> 이론을, [[딸림표현]]의 물질을 갖는 <math>\mathcal N=2</math> 이론으로 간주. ||
|-
| 바파-위튼({{llang|en|Vafa–Witten}}) || <math>\operatorname{SU}(4)\cong\operatorname{SO}(6)\supset\operatorname{SO}(3)^2</math>, 두 [[SO(3)]] 가운데 하나를 로런츠 SO(3)와 대각선으로 섞음 || [[순간자]] ||<ref>{{저널 인용|제목=A Strong Coupling Test of S-Duality|이름1=Cumrun |성1=Vafa|저자링크1=캄란 바파|이름2=Edward |성2=Witten|저자링크2=에드워드 위튼|arxiv=hep-th/9408074|언어=en}}</ref>
|-
| 마커스({{llang|en|Marcus}}) 또는 카푸스틴-위튼({{llang|en|Kapustin–Witten}}) || <math>\operatorname{SU}(4)_{\text{R}}\supset\operatorname{SU}(2)\times\operatorname{SU}(2)\times\operatorname U(1)</math>, 두 [[SU(2)]]의 대각 부분군을 로런츠 SU(2)와 대각선으로 섞음|| [[기하 랭글랜즈 프로그램]]과 관계 있음 ||<ref name="Marcus">{{저널 인용|제목=The other topological twisting of <math>N=4</math> Yang–Mills|이름=Neil|성= Marcus|arxiv=hep-th/9506002|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Electric–magnetic duality and the geometric Langlands program|arxiv=hep-th/0604151|이름=Anton|성=Kapustin|이름2=Edward|성2=Witten|저자링크2=에드워드 위튼}}</ref>
|}
바파-위튼 뒤틂 · 마커스 뒤틂은 간혹 각각 '''A-뒤틂''' 및 '''B-뒤틂'''으로 불리기도 한다.<ref name="BlauThompson"/>{{rp|§4.2}}

장들의 분해는 다음과 같다.

{| class=wikitable
|-
! 장 !! 설명 !! 뒤틀기 전 표현<br>SU(2)<sub>l</sub>×SU(2)<sub>r</sub>×SU(4)<sub>R</sub> !! 도널드슨-위튼 뒤틂 <br> SU(2)<sub>l</sub>×SU(2)<sub>r′</sub>×SU(2)<sub>F</sub>×U(1)<sub>U</sub> !! 바파-위튼 뒤틂<br>SU(2)<sub>l</sub>×SU(2)<sub>r′</sub>×SU(2)<sub>U</sub> !! 마커스 뒤틂<br>SU(2)<sub>l′</sub>×SU(2)<sub>r′</sub>×U(1)<sub>U</sub>
|-
| <math>Q_\alpha^I\;(I=1,\dots,4)</math> || 왼손 초전하 || (½, 0, '''4''') || (½, ½, 0)<sup>+1</sup> ⊕ (½, 0, ½)<sup>−1</sup>  || (½, ½, ½)  ||  (½, ½)<sup>+1</sup> ⊕ (1, 0)<sup>−1</sup> ⊕ (0, 0)<sup>−1</sup>
|-
| <math>\bar Q^{\bar I}_{\dot\alpha}\;(\bar I=\bar 1,\dots,\bar 4)</math> || 오른손 초전하 || (0, ½, {{overline|'''4'''}}) ||  (0, 1, 0)<sup>−1</sup> ⊕ (0, 0, 0)<sup>−1</sup> ⊕ (0, ½, ½)<sup>+1</sup> || (0, 1, ½) ⊕ (0, 0, ½) || (½, ½)<sup>+1</sup> ⊕  (0, 1)<sup>−1</sup> ⊕ (0,  0)<sup>−1</sup>
|-
| <math>A_\mu</math> || [[게이지 보손]] || (½, ½, '''1''') || (½, ½, 0)<sup>0</sup> || (½, ½, 0) || (½, ½, 0)<sup>0</sup>
|-
| <math>\psi^I_\alpha\quad(I=1,\dots,4)</math> || 왼손 게이지노 || (½, 0, '''4''') || (½, ½, 0)<sup>+1</sup> ⊕ (½, 0, ½)<sup>−1</sup>  || (½, ½, ½) || (½, ½)<sup>+1</sup> ⊕ (1, 0)<sup>−1</sup> ⊕ (0, 0)<sup>−1</sup>
|-
| <math>\bar\psi^{\bar I}_{\dot\alpha}\quad(\bar I=\bar1,\dots,\bar4)</math> || 오른손 게이지노 || (0, ½, {{overline|'''4'''}}) || (0, 1, 0)<sup>−1</sup> ⊕ (0, 0, 0)<sup>−1</sup> ⊕ (0, ½, ½)<sup>+1</sup> || (0, 1, ½) ⊕ (0, 0, ½) || (½, ½)<sup>+1</sup> ⊕  (0, 1)<sup>−1</sup> ⊕ (0,  0)<sup>−1</sup>
|-
| <math>\phi^i\quad(i=1,\dots,6)</math> || 스게이지노 || (0, 0, '''6''') || (0, ½, ½)<sup>0</sup> ⊕ (0, 0, 0)<sup>±2</sup> (복소 스칼라장) || (0, 0, 1) ⊕ (0, 1, 0) || (½, ½)<sup>0</sup> (실수 벡터장) ⊕ (0, 0)<sup>±2</sup> (복소 스칼라장)
|}

'''도널드슨-위튼 뒤틂'''({{llang|en|Donaldson–Witten twist}})에서는 <math>\operatorname{SU}(4)_{\text{R}}</math> 대칭을
:<math>\operatorname{SU}(4)_{\text{R}}\to\operatorname{SU}(2)\times\operatorname{SU}(2)_{\text{F}}\times\operatorname{U}(1)_{\text{U}}</math>
으로 깬 뒤, 두 SU(2) 가운데 하나를 로런츠 군 <math>\operatorname{SU}(2)_{\text{r}}</math>와 섞어 얻는다. 이에 따라, 남은 <math>\operatorname{SU}(2)_{\text{F}}</math>는 [[맛깔]] 대칭, <math>\operatorname{U}(1)_{\text{U}}</math>는 유령수 대칭이 된다. 이 깨짐 아래, <math>\operatorname{SU}(4)</math>의 표현들은 다음과 같이 깨진다.<ref name="Marcus"/>{{rp|§1}}
:<math>\mathbf 4\to(1/2,0)^{+1}\oplus(1/2,0)^{-1}</math>
:<math>\mathbf 6\to(1/2,1/2)^0\oplus(0,0)^{\pm2}</math>

'''바파-위튼 뒤틂'''({{Llang|en|Vafa–Witten twist}}) 또는 '''A-뒤틂'''({{llang|en|A-twist}})에서는 <math>\operatorname{SU}(4)_{\text{R}}</math> 대칭군을 우선
:<math>\operatorname{SU}(4)\cong\operatorname{Spin}(6)\to\operatorname{Spin}(4)\cong\operatorname{SU}(2)\times\operatorname{SU}(2)</math>
로 깬 뒤, 두 SU(2) 성분 가운데 하나를 오른쪽 로런츠 군 <math>\operatorname{SU}(2)_{\text{r}}</math>와 섞는다. 따라서, 나머지 한 SU(2) 부분군은 SU(2) 유령수 대칭군 <math>\operatorname{SU}(2)_{\text{U}}</math>로 남게 된다. [[R대칭]]의 깨짐에 따라서, SU(4)의 표현들은 다음과 같은 <math>\operatorname{SU}(2)^2</math> 표현으로 깨진다.
:<math>\mathbf4\to(1/2,1/2)</math>
:<math>\mathbf6\to(1,0)\oplus(0,1)</math>
유령수 대칭이 SU(2) 단순군이므로, 바파-위튼 뒤틂에서는 (다른 뒤틂과 달리) 유령수가 [[변칙]]적이지 않다.

'''마커스 뒤틂'''({{llang|en|Marcus twist}}) 또는 '''B-뒤틂'''({{llang|en|B-twist}})은 도널드슨-위튼 뒤틂에서 남아 있던 SU(2)<sub>F</sub> 맛깔 대칭을 왼쪽 로런츠 대칭 SU(2)<sub>l</sub>과 한 번 더 뒤틀어 얻는다.<ref name="Marcus"/> 이에 따라 U(1)<sub>U</sub> 유령수 대칭만이 남게 된다.

=== 3차원 𝒩=4 위상 뒤틂 ===
3차원에서는 <math>\mathcal N=1</math> 초대칭은 2개의 초전하를 갖고, [[R대칭]]은 <math>\operatorname{SO}(\mathcal N)</math>이 된다. 이 경우, 위상 뒤틂을 위해서는 <math>\mathcal N\ge4</math>이어야 한다.

3차원 <math>\mathcal N=4</math>에서, R대칭은 <math>\operatorname{Spin}(4)\cong \operatorname{SU}(2)_N\times\operatorname{SU}(2)_R</math>이다. 3차원 <math>\mathcal N=4</math>에서, 벡터 [[초장 (물리학)|초장]]의 <math>\operatorname{SU}(2)_E\times\operatorname{SU}(2)_N\times\operatorname{SU}(2)_R</math> 표현은 다음과 같다. (SU(2) 표현은 스핀으로 표현하였다.)
{| class=wikitable
|-
! 초장 || 장 || 대칭군 <math>\operatorname{SU}(2)_E\times\operatorname{SU}(2)_N\times\operatorname{SU}(2)_R</math> 표현
|-
|| || 초전하 <math>Q_\alpha^a\quad(a=1,2,3,4)</math> || (½, ½, ½)
|-
| rowspan=3 | 벡터 초장
| [[게이지 보손]] <math>A_\mu</math> || (1, 0, 0)
|-
| 게이지노 <math>\chi_\alpha^i\quad(i=1,2)</math> || (½, ½, ½)
|-
| 스게이지노 <math>\eta_\alpha^I\quad(I=1,2,3)</math> || (0, 1, 0)
|-
| rowspan=2 | 하이퍼 초장
| 페르미온 <math>\psi_\alpha^i\quad(i=1,2)</math> || (½, ½, ½)
|-
| 스칼라 <math>\phi</math> || (0, 0, 0) + (0, 0, 1)
|}

따라서, 뒤튼 후의 로런츠 군 <math>\operatorname{SU}(2)_{E'}</math>을 <math>\operatorname{SU}(2)_E\times\operatorname{SU}(2)_R</math>의 대각선 부분군으로 잡거나, <math>\operatorname{SU}(2)_E\times\operatorname{SU}(2)_N</math>의 대각선 부분군으로 잡을 수 있다. 2차원 [[위상 끈 이론]]과 유사하게, 전자는 '''A-뒤틂'''({{llang|en|A-twist}}), 후자는 '''B-뒤틂'''({{llang|en|B-twist}})이라고 한다.

[[초켈러 다양체]] 위의 3차원 [[시그마 모형]]의 경우, A-뒤틂은 '''카푸스틴-비아스 모형'''({{llang|en|Kapustin–Vyas model}}),<ref>{{저널 인용|arxiv=1002.4241|제목=A-models in three and four dimensions|이름=Anton|성=Kapustin|이름2=Ketan|성2=Vyas|언어=en}}</ref>, B-뒤틂은 '''로잔스키-위튼 모형'''({{llang|en|Rozansky–Witten model}})<ref>{{저널 인용|arxiv=hep-th/9612216|이름1=Lev|성1=Rozansky|이름2=Edward|성2=Witten|저자링크2=에드워드 위튼|제목=Hyper-Kähler Geometry and Invariants of Three-Manifolds|언어=en}}</ref>이라고 한다. 3차원 [[초대칭 게이지 이론]]의 B-뒤틂은 '''블라우-톰프슨 모형'''({{llang|en|Blau–Thompson model}})이라고 한다.<ref name="BlauThompson">{{저널 인용|arxiv=hep-th/9612143|제목=Aspects of <math>N_T\ge2</math> topological gauge theories and D-branes|이름=Matthias|성=Blau|이름2=|성2=Thompson|언어=en}}</ref>{{rp|§4.3}}

=== 3차원 𝒩=8 위상 뒤틂 ===
3차원 <math>\mathcal N=8</math> 이론의 위상 뒤틂은 총 4가지가 있다.<ref name="BlauThompson"/>{{rp|§5.1}}
* 하나는 4차원 <math>\mathcal N=4</math> 이론의 바파-위튼 뒤틂 또는 마커스 뒤틂의 [[축소화]]이다. (이들은 축소화하면 서로 같아진다.) 뒤튼 뒤, 4개의 스칼라 초대칭을 갖는다.
* 하나는 4차원 <math>\mathcal N=4</math> 이론의 도널드슨-위튼 뒤틂의 축소화이다. 뒤튼 뒤, 2개의 스칼라 초대칭을 갖는다.
* 하나는 4개의 스칼라 초대칭을 갖는 뒤틂을 한 번 더 추가로 뒤틀어서 얻으며, 2개의 스칼라 초대칭을 갖는다.
* 하나는 1개의 스칼라 초대칭을 갖는다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{저널 인용|arxiv=hep-th/0011260|bibcode=2000hep.th...11260S|이름=Albert|성=Schwarz|저자링크=알베르트 시바르츠|제목=Topological quantum field theories|날짜=2000|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Undergraduate lecture notes in topological quantum field theory
|이름=Vladimir G.|성=Ivancevic|공저자=Tijana T. Ivancevic|날짜=2008-12-11|arxiv=0810.0344|bibcode=2008arXiv0810.0344I|언어=en}}
* {{저널 인용|doi=10.1016/0370-1573(91)90117-5|제목=Topological field theory|성=Birmingham|이름=Danny|이름2=Matthias |성2=Blau|이름3= Mark|성3= Rakowski|이름4=George|성4= Thompson|저널=Physics Reports|권=209|호=4–5|쪽=129-340|bibcode=1991PhR...209..129B|날짜=1991-12|issn=0370-1573|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Lectures in topological quantum field theory|이름=José M. F.|성=Labastida|공저자=Carlos Lozano|arxiv=hep-th/9709192|bibcode=1997hep.th....9192L|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Knot theory from the perspective of field and string theory|이름=José M. F.|성=Labastida|arxiv=hep-th/0201038|bibcode=2002hep.th....1038L|날짜=2002|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Knot theory from a Chern-Simons gauge theory point of view|이름=José M. F.|성=Labastida|arxiv=hep-th/0002221|bibcode=2000hep.th....2221L|날짜=2000|언어=en}}
*{{서적 인용|제목=Categorical aspects of topological quantum field theories|이름=Bruce H.|성=Bartlett|arxiv=math/0512103|bibcode=2005math.....12103B|날짜=2005|출판사=[[위트레흐트 대학교]]|기타=석사 학위 논문|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=TQFT — a new direction in algebraic topology|이름=R. F.|성=Picken|공저자=P. A. Semiao|arxiv=math/9912085|bibcode=1999math.....12085P|날짜=1999|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=topological quantum field theory|title=Topological quantum field theory}}
* {{nlab|id=2d TQFT}}
* {{nlab|id=3d TQFT}}
* {{nlab|id=4d TQFT}}
* {{nlab|id=TCFT}}
* {{nlab|id=topologically twisted D=4 super Yang-Mills theory|title=Topologically twisted D=4 super Yang-Mills theory}}
* {{nlab|id=Kapustin-Witten TQFT}}

== 같이 보기 ==
* [[천-사이먼스 이론]]
* [[위상 끈 이론]]
* [[BF 모형]]

[[분류:양자장론]]
[[분류:위상수학]]