위상 끈 이론 문서 원본 보기

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[[이론물리학]]에서 '''위상 끈 이론'''(位相끈理論, {{llang|en|topological string theory}})는 [[끈 이론]]의 단순한 종류의 하나이다.<ref name="mirrorbook">{{서적 인용|제목=Mirror Symmetry|이름=Kentaro|성=Hori|공저자=Sheldon Katz, Albrecht Klemm, Rahul Pandharipande, Richard Thomas, [[캄란 바파|Cumrun Vafa]], Ravi Vakil, Eric Zaslow|출판사=[[미국 수학회|American Mathematical Society]]/[[클레이 수학연구소|Clay Mathematical Institute]]|series=Clay Mathematical Monographs|volume=1|연도=2003|isbn=0-8218-2955-6|url=http://www.claymath.org/library/monographs/cmim01c.pdf|zbl=1044.14018|mr=2003030}}</ref> 이 경우, [[끈 (물리학)|끈]]의 [[세계면]] 위에 존재하는 이론은 통상적인 끈 이론과 달리, 국소적인 [[자유도]]를 갖지 않는다. 정확히 말하자면, 위상 끈 이론의 세계면 이론은 2차원 [[위튼형 위상 양자장론]]을 이룬다. A형과 B형 두 종류가 있으며, 이들은 서로 [[거울 대칭]]에 의하여 연관된다.

== 전개 ==
위상 끈 이론의 세계면 이론은 [[2차원 𝒩=2 초등각 장론|2차원 <math>\mathcal N=(2,2)</math> 초등각 장론]]이다. (이는 일반적인 끈 이론의 [[2차원 𝒩=1 초등각 장론|<math>\mathcal N=(1,1)</math> 초대칭]]과 다르다.) 이 경우 [[R대칭]]은 U(1)<sub>V</sub>×U(1)<sub>A</sub>이다. 이 두 성분 가운데 하나를 [[로런츠 대칭]] SO(2)=U(1)<sub>E</sub>과 대응시켜, 위상적 뒤틂(topological twist)을 가하여 [[위튼형 위상 양자장론]]을 만들 수 있다. U(1)<sub>V</sub>로 뒤틀면 '''A-모형'''({{llang|en|A-model}}), U(1)<sub>A</sub>로 뒤틀면 '''B-모형'''({{llang|en|B-model}})을 얻는다.

만약 세계면 이론이 [[등각 대칭]]을 갖지 않는다면 U(1)<sub>A</sub> 대칭은 깨지게 된다. 이 경우는 오직 A-모형만을 정의할 수 있다. 예를 들어, 과녁 공간이 ([[칼라비-야우 다양체]]이 아닌) [[켈러 다양체]]인 [[시그마 모형]]의 경우, 오직 A-모형만이 존재한다.

반대로, 과녁 공간이 <math>\mathbb R^n</math>이고 [[초퍼텐셜]]을 가진 '''란다우-긴즈부르크 모형'''({{llang|en|Landau–Ginzburg model}})의 경우, 초퍼텐셜이 특수한 형태가 아니라면 U(1)<sub>V</sub> 대칭이 고전적으로 깨지게 된다. 이 경우는 오직 B-모형만을 정의할 수 있다.

A-모형과 B-모형은 [[거울 대칭]]에 의하여 서로 연관된다.

{| class="wikitable"
|-
! 성질 !! A-모형 !! B-모형
|-
| 뒤트는 대칭 || U(1)<sub>V</sub> || U(1)<sub>A</sub>
|-
| 과녁 공간의 조건 || (일반화) [[켈러 다양체]] || [[복소다양체]]
|-
| 매장 사상 <math>\Sigma\to M</math>의 국소화 조건 || [[정칙 함수]] || [[상수 함수]]
|-
| 초대칭 [[D-막]] || 특수 라그랑주 부분다양체({{llang|en|special Lagrangian submanifold}}) || 정칙 부분다양체
|-
| 손지기 환(chiral ring) || (a,c) 환 || (c,c) 환
|-
| 란다우-긴즈부르크 모형의 손지기 환 || 자명함 || <math>\mathbb C[\phi^1,\dots,\phi^n]/(\partial_iW)</math> (초퍼텐셜 <math>W</math>를 가진 <math>n</math>차원 란다우-긴즈부르크 모형)<ref name="mirrorbook"/>{{rp|§16.4.2}}
|-
| [[시그마 모형]]의 손지기 환 ||  [[양자 코호몰로지]](quantum cohomology) <br> ([[벡터 공간]]으로서 [[드람 코호몰로지]] <math>H^q(M;\bigvee T^*M)</math>와 같지만 환 연산이 다름. 큰 부피 극한에서는 [[드람 코호몰로지]]로 수렴)<ref name="mirrorbook"/>{{rp|§16.4.1}} || [[접다발]]의 [[외대수]] 다발의 [[돌보 코호몰로지]] <math>H^q(M;\bigvee^pTM)</math><ref name="mirrorbook"/>{{rp|§16.4.3}}
|-
| 정칙 변칙의 존재 여부 || 없음 || 있음 (BRST 불변 관측가능량이 모듈러스 공간 위에서 정칙함수가 아닐 수 있음)
|-
| 관련된 [[범주 (수학)|범주]] || [[후카야 범주]](Fukaya category) || [[연접층]]의 범주
|}

== 위상 시그마 모형 ==
<math>M</math>이 콤팩트 [[칼라비-야우 다양체]]라고 하고, <math>\Sigma</math>가 콤팩트 [[리만 곡면]](=[[세계면]])이라고 하자. 그렇다면 <math>M</math> 위에 2차원 <math>\mathcal N=(2,2)</math> [[시그마 모형]]을 다음과 같이 정의하자.
* <math>(\phi,\psi)\colon\Sigma\to TM</math>는 [[매끄러운 함수]]이다. 여기서 <math>TM</math>은 <math>M</math>의 (비정칙) [[접다발]]의 전체 공간이며, 이 경우 <math>\psi(z,\bar z)\in T_{\phi(z,\bar z)}M</math>이다.
이들은 손지기 [[초장 (물리학)|초장]]<ref name="Vonk"/>{{rp|(5.2)}}
:<math>\Phi(\theta^\pm,\bar\theta^\pm)=\phi+\psi_+\theta^++\psi_-\theta^-+\cdots</math>
으로 포함하여 쓸 수 있다. (나머지 성분들은 [[보조장]]이거나, <math>\phi</math> 및 <math>\psi</math>의 도함수로 구성된다.)
이들은 [[R대칭]]에 대하여 다음과 같은 전하를 갖는다.<ref name="Vonk">{{저널 인용|제목=A mini-course on topological strings|이름=Marcel|성=Vonk|arxiv=hep-th/0504147|bibcode=2005hep.th....4147V|날짜=2005|언어=en}}</ref>{{rp|(5.23)}}
{| class=wikitable
|-
! 장  || U(1)<sub>V</sub> 전하 || U(1)<sub>A</sub> 전하 || 스핀 <math>h-\bar h</math>
|-
| <math>z</math> || 0 || 0 || −1
|-
| <math>\bar z</math> || 0 || 0 || +1
|-
| <math>\theta^+</math> || −1 || −1 || −½
|-
| <math>\bar\theta^+</math> || +1 || −1  || −½
|-
| <math>\theta^-</math> || −1 || +1 || +½
|-
| <math>\bar\theta^-</math> || +1 || −1 || +½
|-
| <math>\phi</math> || 0 || 0 || 0
|-
| <math>\psi_+</math> || +1 || +1 || +½
|-
| <math>\bar\psi_+</math> ||  −1 || −1 || +½
|-
| <math>\psi_-</math> || +1 || −1 || −½
|-
| <math>\bar\psi_-</math> || −1 || +1 || −½
|}
즉, 초장 <math>\Phi</math>는 로런츠 스칼라이자 모든 R대칭에 대하여 중성이다. 기호에서 윗첨자 ±는 뒤틀기 전 로런츠 스핀을 나타내며, 아랫첨자 ±는 로런츠 스핀의 반대 부호이다.

이 시그마 모형의 두 가지 위상 뒤틂은 각각 다음과 같다.<ref name="Vonk"/>{{rp|(5.50), (5.67)}}
{| class=wikitable
! 뒤틂 || <math>\psi_+</math> || <math>\bar\psi_+</math> || <math>\psi_-</math> || <math>\bar\psi_-</math>
|-
! 뒤틀기 이전
| 스핀 +½, <math>\sqrt{\Omega^{1,0}\Sigma}\otimes \phi^*T^{1,0}M</math> || 스핀 +½, <math>\sqrt{\Omega^{1,0}\Sigma}\otimes\phi^*T^{0,1}M</math> || 스핀 −½, <math>\sqrt{\Omega^{0,1}\Sigma}\otimes\phi^*T^{1,0}M</math> || 스핀 −½, <math>\sqrt{\Omega^{0,1}\Sigma}\otimes\phi^*T^{1,0}M</math>
|-
! A뒤틂  <math>h'-\bar h'=h-\bar h+q_V/2</math>
| 스핀 +1, <math>\Omega^{1,0}\Sigma\otimes \phi^*T^{1,0}M</math> || 스핀 0, <math>\phi^*T^{0,1}M</math> || 스핀 0, <math>\phi^*T^{1,0}M</math> || 스핀 −1, <math>\Omega^{0,1}\Sigma\otimes\phi^*T^{1,0}M</math>
|-
! B뒤틂 <math>h-\bar h'=h-\bar h-q_A/2</math>
| 스핀 +1, <math>\Omega^{1,0}\Sigma\otimes \phi^*T^{1,0}M</math> || 스핀 0, <math>\phi^*T^{0,1}M</math> || 스핀 −1, <math>\Omega^{0,1}\Sigma\otimes\phi^*T^{1,0}M</math> || 스핀 0, <math>\phi^*T^{1,0}M</math>
|}

== 다른 이론과의 관계 ==
A모형의 관측 가능량들은 수학적으로 [[그로모프-위튼 불변량]]({{llang|en|Gromov–Witten invariant}})이라는 이름으로 엄밀히 정의되며, 이는 [[양자 코호몰로지]]({{llang|en|quantum cohomology}})를 정의한다.

=== 유효 이론 ===
일반적으로, (초)끈 이론은 낮은 에너지에서 (초)중력 [[유효 이론]]을 이룬다. A형 위상 끈 이론의 유효 이론은 '''켈러 중력'''({{llang|en|Kähler gravity}})이라고 불리며,<ref>{{저널 인용|제목=Theory of Kähler Gravity|이름=Michael |성=Bershadsky|이름2= Vladimir |성2=Sadov|arxiv=hep-th/9410011|언어=en}}</ref> 특수한 경우 [[천-사이먼스 이론]]으로 해석할 수 있다.<ref>{{저널 인용|arxiv=hep-th/9207094|제목=Chern-Simons Gauge Theory As A String Theory|이름=Edward|성= Witten|저자링크=에드워드 위튼|언어=en}}</ref> B형 위상 끈 이론의 유효 이론은 '''고다이라-스펜서 중력'''({{llang|en|Kodaira–Spencer gravity}})이다.<ref>{{저널 인용|이름1=Michael |성1=Bershadsky|이름2=Sergio |성2=Cecotti|이름3= Hirosi |성3=Ooguri|이름4=Cumrun|성4= Vafa|저자링크4=캄란 바파|제목= Kodaira-Spencer Theory of Gravity and Exact Results for Quantum String Amplitudes|저널=Communications in Mathematical Physics|권=165|쪽=311-428|날짜=1994|arxiv=hep-th/9309140|mr=1301851|zbl=0815.53082|bibcode=1994CMaPh.165..311B|url=http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104271134|doi=10.1007/BF02099774|언어=en}}</ref>

=== 쌍대성 ===
'''고파쿠마르-바파 쌍대성'''({{llang|en|Gopakumar–Vafa duality}})에 따르면, [[코니폴드]] 위의 열린 끈 A모형은 U(N) [[천-사이먼스 이론]]의 큰 <math>N</math> 극한과 같다.<ref>{{저널 인용|제목=On the Gauge Theory/Geometry Correspondence|arxiv=hep-th/9811131|이름1=Rajesh |성1=Gopakumar|저자링크1=라제시 고파쿠마르|이름2=Cumrun|성2= Vafa |저자링크2=캄란 바파|언어=en}}</ref> 이는 [[라제시 고파쿠마르]]와 [[캄란 바파]]가 발견하였다.

A모형 위상 끈 이론은 또한 통계역학의 결정 [[융해]] 모형과 서로 쌍대적이라고 추측된다.<ref>{{저널 인용|이름1=Andrei |성1=Okounkov|저자링크=안드레이 오쿤코프|이름2= Nikolai|성2= Reshetikhin|이름3=Cumrun|성3= Vafa|저자링크3=캄란 바파|제목= Quantum Calabi-Yau and Classical Crystals|arxiv=hep-th/0309208}}</ref><ref>{{저널 인용|arxiv=hep-th/0312022|이름1=Amer|성1= Iqbal|이름2= Nikita |성2=Nekrasov|이름3= Andrei |성3=Okounkov|이름4= Cumrun |성4=Vafa|저자링크4=캄란 바파|제목= Quantum Foam and Topological Strings|언어=en}}</ref>

=== 초대칭 게이지 이론 ===
A모형 위상 끈 이론은 4차원 또는 5차원 <math>\mathcal N=2</math> [[초대칭 게이지 이론]]의 프리퍼텐셜({{llang|en|prepotential}})을 계산하는 데 쓰인다. B모형 위상 끈 이론은 4차원 <math>\mathcal N=1</math> [[초대칭 게이지 이론]]의 초퍼텐셜({{llang|en|superpotential}})을 계산하는 데 쓰인다.

A모형 계산은 또한 BPS 블랙홀의 [[베켄슈타인-호킹 엔트로피]]를 계산하는 데 쓰인다.<ref>{{저널 인용|arxiv=hep-th/0607227|이름=Boris|성=Pioline|제목=Lectures on black holes, topological strings and quantum attractors (2.0)|언어=en}}</ref>

== 역사 ==
[[에드워드 위튼]]이 1988년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용| 이름=Edward|성=Witten|저널=Communications in Mathematical Physics|제목=Topological sigma models|권=118|호=3|날짜=1988|쪽=411–449|mr=0958805|zbl=0674.58047|url=http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104162092|doi=10.1007/BF01466725|언어=en}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[위상수학적 결함]]
* [[위상 양자장론]]
* [[위상수학적 양자 수]]
== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|제목=Chern–Simons theory, matrix models, and topological strings|총서=International Series of Monographs on Physics|권= 131 |출판사=Oxford University Press|이름=Marcos|성= Mariño|날짜=2005|isbn=978-0-19-856849-0 |doi=10.1093/acprof:oso/9780198568490.001.0001|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Topological strings and their physical applications|이름=Andrew|성=Neitzke|공저자=[[캄란 바파|Cumrun Vafa]]|arxiv=hep-th/0410178|bibcode=2004hep.th...10178N|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Geometry as seen by string theory|이름=Hirosi|성=Ooguri|arxiv=0901.1881|bibcode=2009arXiv0901.1881O|날짜=2009|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Lectures on mirror symmetry and topological string theory|이름=Murad|성=Alim|arxiv=1207.0496|bibcode=2012arXiv1207.0496A|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Mirror manifolds and topological field theory|이름=Edward|성=Witten|저자링크=에드워드 위튼|arxiv=hep-th/9112056|bibcode=1991hep.th...12056W|날짜=1991|언어=en}}
* {{서적 인용|제목=Dirichlet Branes and Mirror Symmetry|연도=2009|출판사=American Mathematical Society/[[클레이 수학연구소|Clay Mathematical Institute]]|url=http://www.claymath.org/publications/Dirichlet_Branes/|이름=Michael R.|성=Douglas|이름2=Mark|성2=Gross|이름3=Paul S.|성3=Aspinwall|이름4=Tom|성4=Bridgeland|이름5=Alastair|성5=Craw|이름6=Anton|성6=Kapustin|이름7=Gregory Winthrop|성7=Moore|저자링크7=그레고리 윈스럽 무어|이름8=Graeme|성8=Segal|이름9=Balázs|성9=Szendröi|이름10=P.M.H.|성10=Wilson|series=Clay Mathematical Monographs|volume=4|isbn=0-8218-3848-2|zbl=1188.14026|언어=en|access-date=2013-10-17|archive-date=2013-10-17|archive-url=https://web.archive.org/web/20131017230029/http://www.claymath.org/publications/Dirichlet_Branes/|url-status=}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=http://www.stringwiki.org/wiki/Topological_Strings|웹사이트=String Theory Wiki|제목=Topological strings|언어=en}}
* {{nlab|id=topological string|title=Topological string}}
* {{nlab|id=A-model}}
* {{nlab|id=B-model}}

{{전거 통제}}

[[분류:끈 이론]]