위상 공간 국소화 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[호모토피 이론]]에서, [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 '''국소화'''(局所化, {{llang|en|localization}})는 그 [[호모토피 군]]이 주어진 [[유리수체]] [[부분환]]의 [[가군]]이 되게 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]을 개량하는 과정이다.

== 정의 ==
=== 단순 공간 ===
다음 조건을 만족시키는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>를 '''[[단순 공간]]'''이라고 하자.
* [[CW 복합체]]와 [[호모토피 동치]]이다.
* [[연결 공간]]이다.
* [[기본군]]이 [[아벨 군]]이다.
* [[기본군]] <math>\pi_1(X)</math>은 <math>X</math>의 [[범피복 공간]]의 [[호모토피 군]] 및 [[호몰로지 군]] 위에 [[군의 작용|작용]]한다. 이 경우, 이 두 작용이 둘 다 자명해야 한다.

=== 국소 공간 ===
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[유리수체]]의 [[부분환]] <math>R\subseteq\mathbb Q</math>
그렇다면, '''<math>R</math>-국소 공간'''(局所空間, {{llang|en|<math>R</math>-local space}})은 다음 조건을 만족시키는 [[단순 공간]] <math>X</math>이다.
* 모든 차수의 [[호모토피 군]]은 <math>R</math>-가군이다. 즉, 임의의 <math>m/n\in R</math> 및 <math>k\in\mathbb Z^+</math> 및 <math>g\in\pi_k(X)</math>에 대하여, <math>mg=nh</math>가 되는 <math>h\in\pi_k(X)</math>가 유일하게 존재한다.

=== 국소화 ===
[[단순 공간]] <math>X</math>의 <math>R</math>에서의 '''국소화'''는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* <math>R</math>-국소 공간 <math>Y</math>
* [[호모토피류]] <math>f\colon X\to Y</math>
이 데이터는 다음 [[보편 성질]]을 만족시켜야 한다.
* 임의의 <math>R</math>-국소 공간 <math>Y'</math> 및 [[호모토피류]] <math>f'\colon X\to Y'</math>에 대하여, 다음 그림을 가환 그림으로 만드는 [[호모토피류]] <math>\iota\colon Y\to Y'</math>가 유일하게 존재한다.
*:<math>\begin{matrix}
X&\overset f\to &Y\\
\|&&\!\!\!\!\!\!{\scriptstyle\color{White}\exists!\iota}\downarrow{\scriptstyle\exists!\iota}\!\!\!\!\!\!\\
X&\underset{f'}\to&Y'
\end{matrix}</math>

사실, 다음 두 집합 사이에는 표준적인 [[전단사 함수]]가 존재한다.
* [[소수 (수론)|소수]]의 집합 <math>S\subseteq\mathbb P=\{2,3,5,7,\dotsc\}</math>
* [[유리수체]]의 [[부분환]]들의 집합 <math>R\subseteq\mathbb R</math>
이 [[전단사 함수]]는 구체적으로 [[정수환]]의 <math>S</math>에서의 [[국소화 (환론)|국소화 환]]
:<math>S\mapsto (\mathbb P\setminus S)^{-1}\mathbb Z</math>
으로 주어진다. (즉, <math>S</math>에 속하지 않는 [[소수 (수론)|소수]]들은 <math>(\mathbb P\setminus S)^{-1}\mathbb Z</math>에서 [[가역원]]이 된다.) 이에 따라, [[단순 공간]]의 '''<math>S</math>에서의 국소화'''는 <math>(\mathbb P\setminus S)^{-1}\mathbb Z</math>에서의 국소화를 뜻한다.

예를 들어, <math>S=\varnothing</math>일 때 대응하는 환은 <math>\mathbb Q</math>이며, <math>S=\mathbb P</math>일 때 대응하는 환은 <math>\mathbb Z</math>이다. 특히, <math>S=\varnothing</math>일 때의 국소화를 '''유리수화'''(有理數化, {{llang|en|rationalization}})라고 한다.

== 성질 ==
임의의 <math>R\subseteq\mathbb Q</math>에 대하여, 임의의 [[단순 공간]]의 국소화는 항상 존재하며, ([[보편 성질]]에 의하여) [[호모토피 동치]] 아래 유일하다.

== 역사 ==
위상 공간의 국소화는 1970년에 [[데니스 설리번]]이 도입하였다. 그러나 설리번이 이를 도입한 강의록은 2005년에 되어서야 출판되었다.<ref>{{서적 인용|url=http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/surgery/gtop.pdf|제목= Geometric topology: localization, periodicity and Galois symmetry. The 1970 MIT notes|총서=K-Monographs in Mathematics|출판사=Springer-Verlag|isbn=1-4020-3511-X|이름=Dennis P.|성=Sullivan|저자링크=데니스 설리번|날짜=2005|editor1-first=Andrew|editor1-last=Ranicki|언어=en}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[국소화 (범주론)]]
* [[바우스필드 국소화]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=localization of a space|title=Localization of a space}}
* {{nlab|id=rationalization|title=Rationalization}}

[[분류:호모토피 이론]]