위상수학적 양자 수 문서 원본 보기

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[[물리학]]에서 '''위상수학적 양자 수'''({{llang|en|Topological quantum number}}) 또는 '''위상 전하'''({{llang|en|topological charge}})는 어떤 물리적 현상을 설명하는 이론의 수학적 모델에 있는 [[위상수학]]적 성질로 인해 주어진 이산적 값들 중 하나만 취하는 물리적 양을 뜻한다. 위상 양자 수라고 줄여서 부른다. 가장 일반적으로 위상수학적 양자 수는 물리적 계를 모델링하는 일부 [[미분방정식]]들의 집합에 있는 위상수학적 결함 또는 [[솔리톤]] 유형 해와 관련된 위상수학적 불변량이다. 솔리톤 자체는 위상수학적으로 안정성이 있기 때문이다. 특정 "위상수학적 고려 사항"은 일반적으로 물리계의 수학적 모형에 [[기본군]] 또는 고차원 [[호모토피 군]]이 고려되기 때문에 발생하며, [[경곗값 문제|경계 조건]]이 지정된 경계가 미분 방정식에 의해 보존되는 자명하지 않은 호모토피 군을 갖기 때문에 아주 자주 발생한다. 해의 위상수학적 양자 수는 때때로 해의 [[감김 수]], 또는 보다 정확하게는 [[브라우어르 차수|연속 사상의 차수]]이다.

최근 상전이의 특성에 대한 아이디어는 [[상전이]] 중에 위상수학적 양자 수 및 관련 해가 생성되거나 파괴될 수 있음을 나타낸다.

== 입자물리학 ==
[[입자물리학]]에서 [[스커미온]]이 그 예를 들 수 있는데, [[중입자수|바리온 수]]는 위상 양자수이다. 기원은 [[아이소스핀]]이 [[특수 유니터리 군]] <math>\text{SU}(2)</math>에 의해 모델링 된다는 사실에서 비롯되며, 이는 [[3차원 초구|3차원 초구면]] <math>S^3</math>과 동형이다.  그리고 <math>S^3</math> 전단사 연관을 통해 [[특수 유니터리 군|<math>\text{SU}(2)</math>]]의 군 구조를 물려받으므로 동형사상은 위상 군의 범주에 속한다. 실제 3차원 공간을 취하고 무한대의 한 점으로 닫으면 3구도 얻게 된다. 실제 3차원 공간에서 Skyrme의 방정식에 대한 해는 "실제"(물리적; 유클리드) 공간의 점을 3-다양체 <math>\text{SU}(2)</math>의 점으로 사상한다. 위상수학적으로 구별되는 해들은 하나의 해가 변형된 방식에 관계없이 해에서 불연속성을 생성하지 않고는 제거될 수 없도록 다른 해 주위에 하나의 구를 감싼다. 물리학에서 이러한 불연속성은 무한한 에너지와 연관되어 있으므로 허용되지 않는다.

위의 예에서 위상수학적 진술은 세 구의 세 번째 호모토피 군이 다음과 같다는 것이다.

: <math>\pi_3(S^3)=\mathbb{Z}</math>

따라서 바리온 수는 정수 값만 취할 수 있다.

이러한 아이디어의 일반화는 [[베스-추미노-위튼 모형|베스-추미노-위튼]] 모형에서 찾을 수 있다.

== 정확하게 풀리는 모델 ==
[[사인-고든 방정식]], [[코르테버흐-더프리스 방정식]], 이시모리 방정식과 같은 [[적분가능계|정확히 풀 수 있는 모델]] 영역에서 추가 예제를 찾을 수 있다. 1차원 사인-고든 방정식은 특히 간단한 예를 제공한다.

: <math>\pi_1(S^1)=\mathbb{Z}</math>

그래서 말 그대로 [[감김 수]]이다. 원은 원 주위를 여러 번 감을 수 있다. 양자 사인-고든 방정식 모델은 대규모 [[티링 모형]]과 동일하다. 기본적 들뜸들은 페르미온들이다: 위상 양자수는 [[페르미온]]의 수이다. 사인-고든 모델의 양자화 후 위상수학적 전하는 '분수'가 된다. 자외선 [[재규격화]]에 대한 일관된 고려는 소수의 페르미온이 자외선 컷오프 이상에서 반발됨을 보여준다. 그래서 위상 양자수에 [[플랑크 상수]]에 따라 달라지는 분수가 곱해진다.

== 고체물리학 ==
[[고체물리학]]에서 [[전위 (재료과학)|나사형 전위]]와 같은 특정 유형의 결정 [[전위 (재료과학)|전위]]는 위상수학적 솔리톤으로 설명할 수 있다. 예를 들어 [[저마늄|게르마늄 위스커]]와 관련된 나사형 전위가 포함된다.

== 같이 보기 ==
* 역 산란 변환
* 양자 불변량
* 양자 위상수학
* [[위상수학적 결함]]
* 물리학의 위상수학적 엔트로피
* [[위상 양자장론]]
* [[위상 끈 이론]]

== 참조 ==
* {{서적 인용|제목=Topological Quantum Numbers in Nonrelativistic Physics|url=https://archive.org/details/topologicalquant0000thou|성=Thouless|이름=D. J.|연도=1998|출판사=World Scientific|isbn=981-02-2900-3}}

[[분류:양자장론]]