위상동형사상 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Mug_and_Torus_morph.gif|섬네일|right|[[머그컵]]을 연속적으로 변형시켜서 [[원환체|도넛]] 모양으로 만들 수 있으며, 따라서 두 공간은 위상동형이다. 그러나, 이와 같은 방식으로 변형시킬 수 없으면서도 위상동형인 공간들도 있다.]]
[[위상수학]]에서 '''위상동형사상'''(位相同型寫像, {{llang|en|homeomorphism}})은 [[위상수학적 성질]]을 양향적으로 보존하는 두 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] 사이의 [[함수]]다. 두 공간 사이에 위상동형사상이 존재할 경우, 이 둘은 서로 '''위상동형'''(位相同型, {{llang|en|homeomorphic}})이라고 한다. 위상수학적 관점에서 이 둘은 같은 공간이라고 말할 수도 있다. 간단하게 설명하자면, 기하학적 물체를 찢거나 붙이지 않고 구부리거나 늘이는 것으로 다른 형태로 변형하는 것을 말한다.

== 정의 ==
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>(X, T_X)</math>와 <math>(Y, T_Y)</math>가 주어져 있다고 하고, <math>f : X \to Y</math>를 두 위상 공간 사이의 함수라고 하자. 만약 함수 <math>f</math>가 다음의 세 조건을 만족하면, <math>f</math>를 '''위상동형사상'''이라 한다.
* <math>f</math>는 [[전단사 함수]]이다.
* <math>f</math>는 [[연속 함수]]이다.
* [[역함수]] <math>f^{-1}</math>도 [[연속 함수]]이다.

만일 이러한 세 가지 조건을 만족시키는 함수가 두 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] 사이에 존재하면 두 위상 공간이 서로 '''위상동형'''({{llang|en|homeomorphic}})이라고 한다.

== 예 ==
[[파일:Trefoil knot arb.png|섬네일|right|300px|[[세잎매듭]](trefoil knot)은 [[:en:Homeomorphism|토러스]]와 위상동형이다. 연속적인 사상(mapping)을 항상 연속적인 물체의 변형(deformation)으로 표현가능한 것은 아니다. 그림에서 매듭을 두껍게 표현한 것은 이해를 돕기 위해서이다.]]
*<math>\mathbb{R}^2</math>에서 [[단위원]](unit circle)과 정사각형은 위상동형이다.
* [[구간|개구간]] (-1, +1)과 [[실수]] 전체는 위상동형이다.
*두 원의 [[곱공간]]인 <math>S^1 \times S^1</math>과 2차원 [[원환면]]은 위상동형이다.
*<math>n \ne m</math>일 때, <math>\mathbb{R}^n</math>과 <math>\mathbb{R}^m</math>은 위상동형이 아니다.
* [[구 (기하학)|구]]와 [[원환면]]은 서로 위상동형이 아니다.

<math>f(\phi) = (\cos(\phi), \sin(\phi))</math>로 정의된 함수 <math>f : [0, 2\pi) \to S^1</math>는 [[전단사 함수]]이고 [[연속 함수]]이지만, 역함수가 [[연속 함수]]가 아니므로 위상 동형 사상이 아니다. (<math>S^1</math>는 [[콤팩트 공간]]이지만 <math>[0, 2\pi)</math>는 [[콤팩트 공간]]이 아니다.)

== 성질 ==
* 두 위상동형인 공간은 [[위상수학적 성질]]이 같다. 예를 들어 한 쪽이 [[콤팩트 공간]]이라면 다른 쪽도 그렇다. 만약 한 쪽이 [[연결 공간]]이라면 다른 쪽도 그렇다. 만약 한 쪽이 [[하우스도르프 공간]]이라면 다른 쪽도 그렇다.
* 위상동형사상은 [[열린 사상]]이며 [[닫힌 사상]]이다.

== 같이 보기 ==
{{위키공용분류}}
* [[국소 위상동형사상]]
* [[호모토피]]
* [[미분동형사상]]
* [[등거리 변환]]은 [[거리 공간]]들 사이의 동형사상이다.

== 외부 링크 ==
* {{springer|제목=Homeomorphism}}
* {{플래닛매스|urlname=Homeomorphism}}

{{전거 통제}}

[[분류:위상동형사상| ]]
[[분류:함수와 사상]]
[[분류:위상수학]]