위너 확률 과정 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:WienerProcess3D.svg|섬네일|right|3차원 위너 과정]]
[[확률 과정]] 이론에서, '''위너 확률 과정'''(Wiener確率過程, {{llang|en|Wiener stochastic process}}) 또는 '''위너 과정'''(Wiener過程)은 시간차 <math>\Delta t</math>의 증분의 [[확률 분포]]가 평균 0, 분산 <math>\Delta t</math>의 [[정규 분포]]를 이루며, 각 증분이 서로 독립이며, 그 궤적이 [[거의 확실하게]] [[연속 함수|연속]]적인 연속 시간 [[확률 과정]]이다.

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* 유한 차원 [[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^d</math>
* [[확률 공간]] <math>\Omega</math>
[[확률 과정]]
:<math>(W_t\colon\Omega\to\mathbb R^n)_{t\in[0,\infty)}</math>
이 다음 조건들을 만족시킨다면, '''위너 확률 과정'''({{llang|en|Wiener stochastic process}})이라고 한다.
* 임의의 <math>t \in[0,\infty)</math> 및 <math>\Delta t>0</math>에 대하여, [[확률 변수]] <math>W_{t+\Delta t}-W_t\colon\Omega\to V</math>의 [[확률 분포]]는 평균이 0이며 [[분산]]이 <math>t</math>인 [[정규 분포]] <math>\mathcal N(0,\Delta t)</math>이다.
* (초기 조건) <math>\Pr(W_0 = 0) = 1</math>. 즉, [[거의 확실하게]] <math>W_0 = 0</math>이다.
* 임의의 <math>0\le s \le t \le u</math>에 대하여, <math>W_u - W_t</math>와 <math>W_s</math>는 서로 [[독립 (확률론)|독립]]이다.
* <math>\Pr(W_t \in \mathcal C^0(\mathbb R,V)) = 1</math>. 즉, <math>W_t</math>는 [[거의 확실하게]] [[연속 함수]] <math>\mathbb R\to V</math>를 이룬다. 다시 말해,
** 임의의 <Math>\omega\in\Omega</math> 및 임의의 <math>\epsilon>0</math> 및 임의의 <math>t\in[0,\infty)</math>에 대하여, <math>\forall s \in (t-\delta,t+\delta)\colon \|W_{\max\{0,s\}}(\omega) - W_t(\omega) \| < \epsilon</math>이 되게 하는 양의 실수 <math>\delta>0</math>가 존재한다.

== 연산 ==
[[파일:Wiener process zoom.png|섬네일|right|1차원 위너 확률 과정의 자기 유사성]]
위너 확률 과정 <math>(W_t\colon \Omega \to\mathbb R^n)_{t\in[0,\infty)}</math>이 주어졌을 때, 확률 과정
:<math>\alpha^{-1} W_{\alpha^2 t}</math>
역시 위너 확률 과정을 이룬다. 즉, 그 그래프는 일종의 [[프랙털]]을 이룬다.

<math>W_t</math>가 [[유클리드 공간]] <math>V</math> 값의 위너 확률 과정이라고 하자. 그렇다면, 임의의 부분 벡터 공간 <math>V' \le V</math>에 대하여, <math>\operatorname{proj}_{V'}W_t</math> 역시 <math>V'</math> 값의 위너 확률 과정이다.

임의의 [[직교 행렬]] <math>M \in \operatorname O(V)</math> 및 <math>V</math> 값의 위너 확률 과정 <math>(W_t\colon\Omega\to V)_{t\in[0,\infty)}</math>에 대하여, <math>MW_t</math> 역시 <math>V</math> 값의 위너 확률 과정이다.

== 예 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* [[확률 공간]] <math>\Omega</math>
* [[실수 힐베르트 공간]] <math>\operatorname L^2([0,1],\mathbb R)</math>의 [[정규 직교 기저]] <math>(f_i \colon [0,1]\to \mathbb R)_{i\in I} </math>. 여기서 <math>I</math>는 임의의 [[가산 무한 집합]]이다.
* 서로 [[독립 (확률론)|독립]]이며, 평균 0, 분산 1의 [[정규 분포]]를 따르는 [[확률 변수]]들의 [[열 (수학)|열]] <math>(X_i \colon \Omega \to \mathbb R)_{i\in I}</math>
그렇다면, 임의의 <math>t\in [0,1]</math>에 대하여, [[급수 (수학)|급수]]
:<math>W(t) = \sum_{i\in I}X_i\langle 1_{[0,t]} | f_i \rangle_{\operatorname L^2([0,1],\mathbb R)} \in \operatorname L^2([0,1],\mathbb R)</math>
는 (<math>\operatorname L^2([0,1],\mathbb R)</math>의 [[거리 위상]]에서) 수렴한다. (여기서 <math>1_{[0,t]}</math>는 폐구간의 [[지시 함수]]이다.) 이는 위너 확률 과정의 정의를 [[거의 확실하게|거의 확실한]] 연속성만을 제외하고 모두 만족시킨다.

만약 [[정규 직교 기저]]를
:<math>f_i(x) = \begin{cases}
\sqrt2 \cos(\pi ix) & i\in\{1,2,\dotsc\} \\
1 & i = 0
\end{cases}
</math>
로 잡는다면, 위 급수가 <Math>t\in[0,1]</math>에 대하여 [[균등 수렴]]하는 것을 보일 수 있으며, 이 경우 이 급수는 위너 확률 과정을 이룬다.

== 역사 ==
[[노버트 위너]]의 이름을 땄다.

== 같이 보기 ==
* [[위너 공간]]
* [[프랙탈]]

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=WienerProcess|title=Wiener process}}
* {{eom|title=Wiener process}}

{{전거 통제}}

[[분류:확률 과정]]