위그너 정리 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{양자역학}}
'''위그너 정리'''({{llang|en|Wigner’s theorem}})는 [[힐베르트 공간]]에서, ([[절댓값]] 1의 [[복소수]] 위상을 무시하면) [[내적]]을 보존하는 [[전사 함수]]는 [[유니타리 행렬|유니터리 변환]]이나 반(anti)유니터리 변환이라는 수학적 정리다. 이를 양자역학에 적용하면, 모든 물리적 대칭은 유니터리 변환이거나 반유니터리 변환을 이룬다는 사실을 의미한다.

== 역사 ==
[[유진 위그너]]가 양자역학에 응용하기 위하여 1931년에 증명하였다.

== 정의 ==
복소수 힐베르트 공간 <math>H</math>와 [[전사 함수]] <math>\phi\colon H\to H</math>를 생각하자. (선형성을 가정하지 않는다.) 이 함수가 내적의 절댓값을 보존한다고 하자. 즉 임의의 <math>x,y\in H</math>에 대해
:<math>|\langle x,y\rangle|=|\langle\phi(x),\phi(y)\rangle|</math>
를 만족한다. 그렇다면 위그너 정리에 따라, <math>\phi(x)=\alpha(x)U(x)</math>를 만족하는 어떤 <math>\alpha\colon H\to\mathbb C</math>와 <math>U\colon H\to H</math>가 존재한다. 여기서 <math>\alpha</math>는 절댓값이 1이고 (<math>|\alpha(x)|=1</math>) <math>U</math>는 유니터리 또는 반유니터리 변환이다.

== 물리학적 의의 ==
물리학에서는 자연계에서 가능한 대칭을 찾고자 한다. 근본적인 대칭을 가정하면, 그 대칭을 따르는 현상만을 고려하면 되므로 이론이 더 간단하여지기 때문이다. 위그너 정리에 의하면, 양자역학에서 가능한 대칭은 "자명한" (즉 유니터리/반유니터리) 대칭밖에 없다. 따라서 임의의 대칭이 유니터리 혹은 반유니터리 변환이라고 가정하고 이론을 전개할 수 있다.

예를 들어, 고전 [[게이지 이론]]에서는 임의의 반고전적 (quasiclassical) [[리 군]]에 대하여 게이지 이론을 만들 수 있으나, 양자 게이지 이론에서는 리군이 유니터리 또는 반유니터리 표현을 가져야 하므로, 가능한 대칭군이 [[가약군|가약]] [[리 군]]으로 줄어든다.

== 같이 보기 ==
* [[입자물리학과 표현론의 관계]]
== 참고 문헌 ==
* Wigner (1931), ''Gruppentheorie'', Friedrich Vieweg und Sohn (Braunschweig, Germany), pp. 251.
* Mouchet, Amaury. "An alternative proof of Wigner theorem on quantum transformations based on elementary complex analysis". Physics Letters A 377 (2013) 2709-2711. [http://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00807644 hal.archives-ouvertes.fr:hal-00807644]

{{전거 통제}}

[[분류:양자역학]]
[[분류:힐베르트 공간]]