원 채우기 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Citrus_fruits.jpg|섬네일|다양한 크기의 원을 같이 채우는 가장 효율적인 방법은 명확하지 않다.]]
[[기하학]]에서 '''원 채우기'''는 (크기가 동일하거나 다양한) 주어진 표면에서 겁침이 일어나지 않고 모든 원이 서로 접촉하도록 하는 원의 배열에 관한 연구이다. 배열의 관련 [[채우기 밀도]] ''η''는 표면에서 원이 차지하고 있는 비율이다. 높은 차원으로 일반화도 가능하다 - 이것 중 동일한 구만 다루는 문제는 [[구 채우기]]라고 부른다.

원은 [[2차원|유클리드 평면]]에서 0.9069의 상대적으로 낮은 최대 채우기 밀도를 가지지만, 가능한 최소 밀도는 아니다. 평면에서 "최악"의 채우기 모양은 알려지지 않았지만, [[매끄러운 팔각형]]은 채우기 밀도가 0.902414로 원점대칭인 볼록한 도형 중에서 채우기 밀도가 가장 낮다.<ref>{{매스월드|urlname=SmoothedOctagon|title=Smoothed Octagon}}</ref>
다각형 별과 같은 오목한 다각형의 채우기 밀도는 임의적으로 작을 수 있다.

일반적으로 원 채우기라고 알려진 수학 분야는 임의의 크기의 원의 채우기의 기하학과 조합과 관련이 있다: 이 때문에 [[등각 사상]], [[리만 곡면]] 등의 이산 해석을 준다.

== 평면에 채우기 ==
[[파일:Circle_packing_(hexagonal).svg|오른쪽|섬네일|160x160픽셀|크기가 동일한 원을 가장 조밀한 채우기인 [[육각형 채우기|''육각형 채우기'']]로 배열한 것이다.]]
[[파일:Order_and_Chaos.tif|섬네일|같은 원들의 자연적인 육각형 채우기에서 같지 않은 원들의 불규칙한 배열로 전환되는 것을 보인다.]]
2차원 유클리드 공간에서, [[조제프루이 라그랑주]]는 1773년에 원의 가장 조밀한 배열 격자는 [[육각형]] 채우기 배열이라는 것을 증명했다. 육각형 채우기 배열은 원의 중심이 [[육각형 격자]](벌집과 같이 열이 늘어져 있다)에 놓여 있고, 각 원은 6개의 원에 둘러 싸여 있다. 배열의 밀도는
:: <math>\eta_h = \frac{\pi}{2\sqrt{3}} \approx 0.9069.</math>
1890년에 [[악셀 투에]]는 원의 크기가 균일할 때와 균일하지 않을 때에 모든 가능한 채우기 중에서 육각 격자가 가장 밀도가 높다는 것을 보임으로 이것이 최적이라는 것을 처음으로 증명하였다.하지만 그의 증명은 불완정하다.  엄밀한 증명은 1940년에 [[라즐로 피에스 토스]](László Fejes Tóth)가 처음으로 제시하였다.<ref name="ChangWang">{{ArXiv 인용|last1=Chang|first1=Hai-Chau|last2=Wang|first2=Lih-Chung|eprint=1009.4322|title=A Simple Proof of Thue's Theorem on Circle Packing|class=math.MG|date=2010}}</ref>

다른 극단에서 Böröczky는 엄격하게 채워진 원의 임의의 낮은 밀도 배열이 존재함을 증명하였다.<ref>{{저널 인용|last1=Böröczky|first1=K.|title=Über stabile Kreis- und Kugelsysteme|journal=Annales Universitatis Scientiarum Budapestinensis de Rolando Eötvös Nominatae, Sectio Mathematica|date=1964|volume=7|pages=79–82}}</ref><ref>{{저널 인용|last1=Kahle|first1=Matthew|title=Sparse locally-jammed disk packings|journal=Annals of Combinatorics|date=2012|volume=16|issue=4|pages=773–780|doi=10.1007/s00026-012-0159-0}}</ref>

=== 균등 채우기 ===
11개의 평면에서의 [[균등 타일링]]을 기반으로 한 11개의 원 채우기가 있다.<ref>{{The Geometrical Foundation of Natural Structure (book)|page=35-39}}</ref> I이 채우기에서 모든 원은 대칭과 회전으로 다른 모든 원들과 매핑된다. [[육각형]]의 틈은 원 하나로 채워지고 [[십이각형]] 틈은 3-균등 채우기를 만들면서 7개의 원으로 채워진다. 두 종류의 틈을 가진 [[잘린 삼육각형 타일링]]은 4-균등 채우기로 채울 수 있다. [[다듬은 육각형 타일링]]은  거울상 두 개 가지고 있다.
{| class="wikitable" style="margin-bottom: 10px;"
|+균일 타일링을 기반으로 한 1-균일 채우기
|- align="center"
|[[파일:Triangular_tiling_circle_packing.png|180x180픽셀]]<br>
[[삼각형 타일링|삼각형]]
|[[파일:Square_tiling_circle_packing.png|180x180픽셀]]<br>
[[사각형 타일링|사각형]]
|[[파일:Hexagonal_tiling_circle_packing.png|180x180픽셀]]<br>
[[육각형 타일링|육각형]]
|[[파일:Elongated_triangular_tiling_circle_packing.png|180x180픽셀]]
[[길쭉한 삼각형 타일링|길쭉한 삼각형]]
|- align="center"
|[[파일:Trihexagonal_tiling_circle_packing.png|180x180픽셀]]<br>
[[삼육각형 타일링|삼육각형]]
|[[파일:Snub_square_tiling_circle_packing.svg|180x180픽셀]]<br>
[[다듬은 사각형 타일링|다듬은 사각형]]
|[[파일:Truncated_square_tiling_circle_packing.png|180x180픽셀]]<br>
[[깎은 사각형 타일링|깎은 사각형]]
|[[파일:Truncated_hexagonal_tiling_circle_packing.png|180x180픽셀]]
[[깎은 육각형 타일링|깎은 육각형]]
|- align="center"
|[[파일:Rhombitrihexagonal_tiling_circle_packing.png|180x180픽셀]]<br>
[[마름모 삼육각형 타일링|마름모 삼육각형]]
|[[파일:Snub_hexagonal_tiling_circle_packing.png|180x180픽셀]]<br>
[[다듬은 삼육각형 타일링|다듬은 삼육각형]]
|[[파일:Snub_hexagonal_tiling_mirror_circle_packing.png|180x180픽셀]]<br>
다듬은 삼육각형 (거울상)
|[[파일:Truncated_rhombitrihexagonal_tiling_circle_packing.png|180x180픽셀]]<br>
[[깎은 삼육각형 타일링|깎은 삼육각형]]
|}

== 구에서 채우기 ==
관련 문제는 주어진 표면 위에서 움직이고 동일하게 간섭하는 점들치 최소 에너지를 갖게 하는 배열을 결정하는 것이다. 톰슨 문제는 구 표면에서 동일한 전하들의 가장 에너지가 작은 분포를 다룬다. 타메스 문제는 이것의 일반화로 구에서 원의 최소거리를 최대화하는 문제를 다룬다. 이것은 구에서 점전하가 아닌 것을 배열과 유사하다.

== 제한된 영역에서 채우기 ==
[[파일:Circles_packed_in_square_15.svg|오른쪽|섬네일|[[정사각형 안에 원 채우기|정사각형 안에 원 15개를 채웠다]]. 접한 원에 의해서 정삼각형이 4개 생긴다.]]
간단한 경계를 가진 도형 안에서 [[채우기 문제|원 채우기]]는 [[유희 수학]]의 일반적인 종류의 문제이다. 용기의 벽의 영양은 중요하고 육각형 채우기는 원이 적을 때는 최적이 아니다.

== 동일하지 않은 원 ==
[[파일:2-d_dense_packing_r1.svg|왼쪽|섬네일|가능한한 크기가 유사한 원들의 콤팩트 이진 원 채우기이다. I이것은 이 비율을 가진 원의 가장 조밀한 채우기이다(0.6375559772의 비율을 가지며 차우기 비율 (면적 밀도) 은 0.910683이다).<ref name="Heppes">{{저널 인용|last=Heppes|first=Aladár|title=Some Densest Two-Size Disc Packings in the Plane|journal=Discrete and Computational Geometry|date=1 August 2003|volume=30|issue=2|pages=241–262|doi=10.1007/s00454-003-0007-6}}</ref>]]
또한 원의 크기가 동일하지 않은 문제도 존재한다.  O이러한 확장은 특정한 두 원의 크기의 시스템(이진 시스템)의 최대 밀도를 찾는 것이다.  O오직 9가지의 반지름 비율이 콤팩트 채우기를 가능하게 한다. 콤팩트 채우기는 모든 원의 쌍이 다른 두 원과 접촉하는 채우기이다(접촉한 원의 중심을 이은 선분을 그리면 표면이 삼각형으로 가득차게 된다).<ref name="Kennedy">{{저널 인용|author1=Tom Kennedy|title=Compact packings of the plane with two sizes of discs|year=2006|pages=255–267|volume=35|journal=Discrete and Computational Geometry|arxiv=math/0407145v2|doi=10.1007/s00454-005-1172-4|issue=2}}</ref> 이 반지름 비가 7일 때 콤팩트 채우기는 (위에서 균일한 크기의 원에 나온)최대 채우기 밀도에 도달하는 채우기가 알려져 있다. 가장 높은 채우기 밀도는 0.911627478 이고, 이 때의 반지름 비는 0.545151042이다·<ref>{{웹 인용|url=http://arxiv.org/abs/math/0412418|first=Tom|last=Kennedy|title=A densest compact planar packing with two sizes of discs|date=21 Dec 2004|accessdate=11 December 2013}}</ref>

반지름 비가 0.742이상일 때, 이진 혼합물은 균일한 크기의 원의 채우기보다 좋게 채울 수 없다는 것은 알려져 있다. 이보다 작은 밀도의 이진 채우기의 밀도의 상한도 역시 얻어졌다.<ref>{{저널 인용|last=de Laat|first=David|title=Upper bounds for packings of spheres of several radii|arxiv=1206.2608|author2=de Oliveira Filho, Fernando Mario|author3=Vallentin, Frank|date=12 June 2012|doi=10.1017/fms.2014.24|volume=2|journal=Forum of Mathematics, Sigma}}</ref>

== 원 채우기의 적용 ==
[[직교 진폭 변조]]는 [[위상-진폭 공간]]의 원에 원 채우기에 기반한다. 모뎀은 데이터를 2차원 위상-진폭 공간에서 일련의 점으로 전송한다. 두 점 사이의 거리는 전송기의 노이즈의 허용치를 결정하지만 외접하는 원의 지름은 전송기 전력 요구량을 결정한다. 코드 점의 [[배치 다이어그램|배치]]가 효율적인 원 채우기의 중심에 있을 때 효율이 최대화 된다. 실제로 디코딩을 단순화 하기 위해서 차선인 직사각형 채우기가 사용된다.

원 채우기는 [[종이접기]] 디자인에서도 중요하다. 종이접기의 각 부분은 종이의 원이 필요하다.<ref>TED.com lecture on modern origami "[http://www.ted.com/index.php/talks/robert_lang_folds_way_new_origami.html Robert Lang on TED] {{웹아카이브|url=https://web.archive.org/web/20111015121117/http://www.ted.com/index.php/talks/robert_lang_folds_way_new_origami.html}}."</ref> [[Robert J. Lang|로버트 J. 랭]]은 원 채우기의 수학을 사용해서 복잡한 종이접기 디자인을 돕기 위한 컴퓨터 프로그램을 만들었다.

== 같이 보기 ==
{{위키공용분류}}
* [[아폴로니안 개스킷]]
* [[정사각형 안에 원 채우기]]
* [[원 안에 원 채우기]]
* [[뒤집힌 거리]]
* [[케플러의 추측]]
* [[말파티 원]]
* [[채우기 문제]]

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|제목=The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry|성=Wells D|연도=1991|출판사=Penguin Books|위치=New York|쪽=30&ndash;31, 167|isbn=0-14-011813-6}}
* {{저널 인용|제목=Circle Packing: A Mathematical Tale|저널=[[Notices of the American Mathematical Society]]|성=Stephenson|이름=Kenneth|url=http://www.math.utk.edu/~kens/Notices_article.pdf|날짜=December 2003|권=50|호=11|access-date=2017-09-19|archive-date=2021-05-07|archive-url=https://web.archive.org/web/20210507022051/http://www.math.utk.edu/~kens/Notices_article.pdf|url-status=}}

== 각주 ==
{{각주}}

{{전거 통제}}

[[분류:원 채우기]]