원 (기하학) 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Cercle noir 100%.svg|섬네일|원]]
[[기하학]]에서 '''원'''(圓, {{llang|en|circle}})은 평면 위의 한 [[점 (기하학)|점]]에 이르는 [[거리]]가 일정한 [[평면]] 위의 점들의 [[집합]]으로 정의되는 도형이다. 이러한 점을 원의 [[중심 (기하학)|중심]]이라고 하고, 중심과 원 위의 점을 잇는 선분 또는 이들의 공통된 길이를 원의 [[반지름]]이라고 한다.

원은 [[이차 곡선]]의 일종인 [[타원]]에서 [[이심률]]이 0인 경우이다.

== 용어 ==
[[파일:Circle lines 2 ko.svg|섬네일|대체글=원과 그 위의 반지름, 지름, 현, 호|현, 지름, 반지름, 할선, 접선]]
[[파일:Circle slices 2 ko.svg|섬네일|대체글=원과 그 위의 호, 활꼴, 부채꼴|호, 활꼴, 부채꼴]]
원과 관련된 기본적인 용어들은 다음과 같다.
* '''[[단위원]]''': 반지름이 1인 원
* '''[[동심원]]''': 중심이 같은 두 원
* '''[[반원]]''': 중심각이 [[평각]]인 부채꼴(활꼴)
* '''[[반지름]]''': 원의 중심과 그 원 위의 [[점]]을 잇는 [[선분]] 또는 그 선분의 길이. 반지름의 길이는 지름의 2분의 1이다.
* '''[[부채꼴]]''': 두 개의 반지름과 하나의 호로 둘러싸인 영역
* '''[[사분원]]''': 중심각이 [[직각]]인 부채꼴
* '''[[원둘레|원주]]''': 원의 둘레
* '''[[원주각]]''': 한 끝점을 공유하는 두 현이 원 내부에서 이루는 각. 크기는 이에 대응하는 중심각의 1/2이다.
* '''[[원판]]''': 원으로 둘러싸인 도형
* '''[[원환 (기하학)|원환]]''': 두 [[동심원]]으로 둘러싸인 도형
* '''[[접선]]''': 원과 한 점에서 만나는 직선
* '''[[접현각]]''': 원의 현과 현의 한 끝점에서의 접선이 이루는 각
* '''[[중심 (기하학)|중심]]''': 원 위의 임의의 점에 이르는 거리가 일정한 그 원을 포함하는 평면 위의 점
* '''[[중심각]]''': 호의 두 끝점을 지나는 반지름이 호와 같은 쪽에서 이루는 각. 크기는 이에 대응하는 원주각의 2배이다.
* '''[[지름]]''': 원의 중심을 지나는 현 또는 그 길이. 길이는 반지름의 2배이다.
* '''[[켤레호]]''': 원의 합하여 원주 전체를 이루는 두 호
* '''[[할선]]''': 원과 두 점에서 만나는 직선
* '''[[현 (기하학)|현]]''': 원 위의 두 점을 잇는 선분
* '''[[호 (기하학)|호]]''': 원의 일부가 되는 곡선
* '''[[활꼴]]''': 같은 끝점을 갖는 호와 현으로 둘러싸인 영역
* '''[[시 (기하학)|시]]''': 할선의 중점을 수선의 발로 하는 선
{{-}}

== 역사 ==
[[기원전 5세기]]경 [[안티폰]]은 [[정다각형]]의 변 수를 계속 늘려가면 결국엔 원이 된다고 생각했다. 이에 15세기 독일의 신학자 [[쿠사의 니콜라우스|니콜라우스]]는 아무리 변을 늘려도 원이 될 수는 없다는 사상으로 반박했다.

== 해석적 성질 ==
=== 둘레와 넓이 ===
[[파일:Circle area 2 ko.svg|섬네일|원의 넓이는 색칠된 정사각형의 넓이의 π배이다.]]
[[파일:Area_of_a_circle.svg|섬네일|반지름의 길이가 <math>r</math>인 원은 무한히 작은 부채꼴들로 쪼개어 가로 길이 <math>\pi r</math>, 세로 길이 <math>r</math>의 직사각형으로 만들 수 있다.]]
어떤 원의 반지름의 길이를 <math>r</math>라고 하고, 지름의 길이를 <math>d</math>라고 하면, 원의 [[둘레]]는
:<math>C=2\pi r=\pi d</math>
이다. 여기서 <math>\pi</math>는 [[원주율]]이다. 이는 약 3.1415…를 값으로 하는 [[초월수]]이다.

어떤 원의 반지름의 길이를 <math>r</math>라고 하고, 지름의 길이를 <math>d</math>라고 하고, 둘레를 <math>C</math>라고 하면, 원(으로 둘러싸인 [[도형]])의 [[넓이]]는
:<math>A=\pi r^2=\frac{\pi d^2}4=\frac{C^2}{4\pi}</math>
이다. [[등주 부등식]]에 따르면, 이는 둘레가 <math>C</math>인 닫힌 곡선으로 둘러싸인 도형이 가질 수 있는 최대 넓이이다.
{{-}}

=== 방정식 ===
==== 데카르트 좌표계 ====
[[파일:Circle center (2, 1) radius 3.svg|섬네일|중심이 {{개행 금지|(2, 1)}}이고 반지름이 3인 원]]
2차원 [[데카르트 좌표계]] 위의 중심이 <math>(a,b)</math>이고 반지름이 <math>r</math>인 원의 방정식은
:<math>(x-a)^2+(y-b)^2=r^2</math>
이다.<ref name="Gibson">{{서적 인용
|성=Gibson
|이름=C. G.
|제목=Elementary Euclidean geometry
|언어=en
|출판사=Cambridge University Press
|위치=Cambridge
|날짜=2003
|isbn=978-0-521-83448-3
}}</ref>{{rp|22, §3}} 이는 [[피타고라스 정리]]를 통해 유도된다.

2차원 데카르트 좌표계 위의 원의 방정식의 일반적인 꼴은
:<math>x^2+y^2+dx+ey+f=0</math>
이다. 단, <math>d,e,f</math>는 [[실수]]이며,
:<math>d^2+e^2-f>0</math>
이어야 한다.<ref name="Gibson" />{{rp|23, §3.2}} 좌변은 반지름의 4배에 대응하며, '=0'일 경우 [[한원소 집합]]이 되고, '<0'일 경우 [[공집합]]이 된다.<ref name="Gibson" />{{rp|24, §3.2, Example 3.2}}

평면 위의 모든 원은 적절한 데카르트 좌표계를 취했을 때
:<math>x^2+y^2=r^2</math>
와 같은 표준적인 방정식으로 표현된다. 단, <math>r>0</math>이어야 한다. 이러한 꼴의 방정식을 얻으려면 원의 중심을 좌표계의 원점으로 삼기만 하면 된다.

2차원 데카르트 좌표계 위의 중심이 <math>(a,b)</math>이고 반지름이 <math>r</math>인 원은 다음과 같은 [[매개변수 방정식]]을 갖는다.<ref name="Gibson" />{{rp|23, §3.2, (3.5)}}
:<math>\begin{matrix}
x=a+r\cos t\\
y=b+r\sin t
\end{matrix}\qquad(0\le t<2\pi)</math>
여기서 <math>\cos,\sin</math>은 각각 [[코사인 함수]]와 [[사인 함수]]이고, <math>t</math>는 매개 변수이다.

==== 극좌표계 ====
{{참고|극좌표계#원의 극좌표 방정식}}
데카르트 좌표 <math>(x,y)</math> 대신 [[극좌표]] <math>(r,\theta)</math>를 사용할 수도 있다. 즉, [[극좌표계]] 위의 중심이 <math>(r_0,\theta_0)</math>이고 반지름이 <math>R</math>인 원의 방정식은
:<math>r^2-2rr_0\cos(\theta-\theta_0)+r_0^2=R^2</math>
이다.

==== 복소평면 ====
데카르트 좌표나 극좌표를 [[복소수]] <math>z</math>로 대신하면, 원과 [[직선]]의 통일된 방정식을 얻을 수 있다.

[[복소평면]] 위에서, 중심이 <math>z_0</math>이고 반지름이 <math>r>0</math>인 원의 방정식은
:<math>|z-z_0|=r</math>
이다. 여기서 <math>|\cdot|</math>는 복소수의 [[절댓값]]이다.

또한 복소평면 위의 원의 방정식의 일반적인 꼴은
:<math>Az\bar z+\bar Bz+B\bar z+C=0</math>
이다. 여기서 <math>\bar{}</math>는 [[켤레 복소수]]이다. 단, <math>A,C</math>는 [[실수]]이고, <math>B</math>는 복소수이며,
:<math>|B|^2-AC>0</math>
:<math>A\ne 0</math>
이어야 한다. 또한, <math>A\ne 0</math> 대신 <math>A=0</math>을 취하고 다른 조건을 그대로 두면 복소평면 위의 직선의 방정식의 일반적인 꼴을 얻는다. 즉, <math>A\ne 0</math>이라는 조건을 제거하고 다른 조건을 그대로 두면 [[일반화 원]]의 방정식의 일반적인 꼴을 얻는다.

=== 접선의 방정식 ===
2차원 데카르트 좌표계 위에서, 원
:<math>(x-a)^2+(y-b)^2=r^2</math>
의 <math>(x_0,y_0)</math>을 접점으로 하는 [[접선]]의 방정식은
:<math>(x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2</math>
이다.

원
:<math>(x-a)^2+(y-b)^2=r^2</math>
의 기울기가 <math>m</math>인 접선의 방정식은
:<math>y-b=m(x-a)\pm r\sqrt{m^2+1}</math>
이다.

== 기하적 성질 ==
=== 대칭 ===
{{여러 그림
|정렬=none
|전체 너비=690
|그림1=Homothetic centers of two given nonconcentric circles.svg
|그림2=Circle passing through three given points.svg
}}
* 원은 지름에 대한 [[반사 (기하학)|반사]]와 원의 중심에 대한 [[회전 (기하학)|회전]]에 대하여 대칭이다.<ref name="Martin" />{{rp|227, §20.1, Theorem 20.3}}
** 즉, 원의 [[대칭군 (기하학)|대칭군]]은 2차원 [[직교군]] <math>\operatorname O(2,\mathbb R)</math>이다.
* 임의의 두 원은 서로 [[중심 닮음]]이며, [[동심원]]이 아닐 경우 두 원의 중심을 잇는 선분의 반지름의 비에 따른 내분점 및 외분점을 [[닮음 중심]]으로 갖는다.<ref name="Johnson">{{서적 인용
|성=Johnson
|이름=Roger A.
|제목=Advanced Euclidean Geometry
|언어=en
|출판사=Dover Publications
|위치=New York, N. Y.
|날짜=1960
|원본연도=1929
}}</ref>{{rp|19, §25}}

* 반지름의 길이가 같은 모든 원은 서로 [[합동 (기하학)|합동]]이다.<ref name="Isaacs" />{{rp|23, §1F}}
* [[공선점]]이 아닌 세 점을 지나는 원은 항상 유일하게 존재한다.<ref name="Isaacs" />{{rp|23, §1F, Theorem 1.15}}
** 즉, 모든 [[삼각형]]의 [[외접원]]은 유일하게 존재한다.
** 즉, 임의의 세 점을 지나는 [[일반화 원]]은 항상 유일하게 존재한다.

=== 호와 현 ===
{{여러 그림
|정렬=none
|전체 너비=920
|그림1=Perpendicular bisector of a circle chord.svg
|그림2=Circle power 1.svg
|그림3=Circle power 2.svg
|그림4=Distance between a point and a chord of the circle.svg
}}
* 현의 [[수직 이등분선]]은 원의 중심을 지난다.<ref name="Martin">{{서적 인용
|성=Martin
|이름=George E.
|제목=The Foundations of Geometry and the Non-Euclidean Plane
|언어=en
|총서=Undergraduate Texts in Mathematics
|출판사=Springer
|위치=New York, NY
|날짜=1975
|isbn=978-1-4612-5727-1
|doi=10.1007/978-1-4612-5725-7
}}</ref>{{rp|227, §20.1, Theorem 20.2}}
** 즉, 현에 수직인 지름은 현을 이등분한다.<ref name="Martin" />{{rp|227, §20.1, Theorem 20.2}}
** 즉, 지름이 아닌 현을 이등분하는 지름은 현에 수직이다.<ref name="Martin" />{{rp|227, §20.1, Theorem 20.2}}
* 지름은 원의 가장 긴 현이다.<ref name="Isaacs">{{서적 인용
|성=Isaacs
|이름=I. Martin
|제목=Geometry for College Students
|언어=en
|총서=The Brooks/Cole Series in Advanced Mathematics
|출판사=Brooks/Cole
|날짜=2001
|isbn=0-534-35179-4
}}</ref>{{rp|23, §1F}}
* ([[방멱 정리]]) 원 위에 있지 않은 점 <math>P</math>를 지나는 두 직선 가운데 하나는 원과 점 <math>A</math>와 <math>B</math>에서 만나고, 다른 하나는 원과 점 <math>C</math>와 <math>D</math>에서 만난다고 하면, <math>PA\cdot PB=PC\cdot PD</math>이다.<ref name="Isaacs" />{{rp|47, §1H, Theorem 1.35}}
* 원 위의 점과 현 사이의 거리와 지름의 곱은 점과 현의 양 끝점 사이의 거리의 곱과 같다.<ref name="Johnson" />{{rp|71, §101}}

=== 원과 직선의 위치 관계 ===
{{여러 그림
|정렬=none
|전체 너비=690
|그림1=Circle-line intersection 1.svg
|그림2=Circle-line intersection 2.svg
|그림3=Circle-line intersection 3.svg
}}
평면 위의 원과 직선의 위치 관계는 원의 중심에서 직선까지의 거리 <math>d</math>와 원의 반지름 <math>r</math>의 대소 관계에 따라 다음과 같은 경우로 나뉜다.
* 만약 <math>d>r</math>라면, 원과 직선은 만나지 않는다.
* 만약 <math>d=r</math>라면, 원과 직선은 한 점에서 만난다. 즉, 직선은 원의 [[접선]]이다.
* 만약 <math>d<r</math>라면, 원과 직선은 두 점에서 만난다. 즉, 직선은 원의 [[할선]]이다.

=== 두 원의 위치 관계 ===
{{여러 그림
|정렬=none
|전체 너비=690
|그림1=Circle-circle intersection 1.svg
|그림2=Circle-circle intersection 2.svg
|그림3=Circle-circle intersection 3.svg
}}
두 원의 위치 관계는 두 원의 반지름 <math>R,r</math>와 두 중심 사이의 거리 <math>d</math>에 따라 다음과 같은 경우로 나뉜다.
* 만약 <math>d>R+r</math>이거나 <math>d<|R-r|</math>라면, 두 원은 만나지 않는다.
** 만약 <math>d>R+r</math>라면, 두 원은 서로의 외부에 놓이며, 교점을 가지지 않는다.
** 만약 <math>d<|R-r|</math>라면, 작은 원은 큰 원의 내부에 놓이며, 교점을 가지지 않는다.
* 만약 <math>d=R+r</math>이거나 <math>d=|R-r|</math>라면, 두 원은 한 점에서 만난다. 즉, 두 원은 서로 접한다.
** 만약 <math>d=R+r</math>라면, 두 원은 서로의 외부에서 접한다. 즉, 두 원은 외접한다.
** 만약 <math>d=|R-r|</math>라면, 작은 원이 큰 원의 내부에서 큰 원에 접한다. 즉, 두 원은 내접한다.
* 만약 <math>|R-r|<d<R+r</math>라면, 두 원은 두 점에서 만난다.

=== 중심각과 원주각 ===
{{여러 그림
|정렬=none
|전체 너비=690
|그림1=중심각과원주각.PNG
|그림2=켤레호의원주각.PNG
|그림3=내접사각형의외각.PNG
}}
* 주어진 호에 대한 [[원주각]]의 크기는 그 호에 대한 [[중심각]]의 1/2이다.<ref name="Isaacs" />{{rp|25, §1F, Theorem 1.16}}
* 같은 호에 대한 두 원주각의 크기는 서로 같다.<ref name="Isaacs" />{{rp|25, §1F}}
* [[켤레호]]에 대한 두 중심각은 서로 [[보각]]이다.
** 즉, [[내접 사각형]]의 두 대각은 서로 [[보각]]이다.<ref name="Isaacs" />{{rp|26, §1F, Corollary 1.17}}
** 즉, 내접 사각형의 외각의 크기는 [[내대각]]과 같다.
{{여러 그림
|정렬=none
|전체 너비=520
|그림1=지름의원주각.PNG
|그림2=접선과원주각.PNG
}}
* ([[탈레스 정리 (지름)|탈레스 정리]]) 지름에 대한 원주각은 직각이다.
** 즉, 삼각형의 [[외심]]이 변 위에 있을 필요충분조건은 [[직각 삼각형]]이다.<ref name="Isaacs" />{{rp|30, §1F, Corollary 1.22}}
* 원의 두 현이 원 내부에서 이루는 각의 크기는 이 각과 [[맞꼭지각]]의 내부에 포함되는 두 호에 대한 중심각의 합의 1/2이다.<ref name="Isaacs" />{{rp|27, §1F, Corollary 1.19}}
* 원의 두 할선이 원 외부에서 이루는 각의 크기는 이 각의 내부에 포함되는 두 호에 대한 중심각의 차의 1/2이다.<ref name="Isaacs" />{{rp|27, §1F, Corollary 1.18}}

=== 접선 ===
{{여러 그림
|정렬=none
|전체 너비=690
|그림1=반지름과접선의각.PNG
|그림2=현과비례2.PNG
}}
* 원 위의 한 점을 지나는 원의 접선은 유일하게 존재하고, 이는 이 점을 지나는 반지름에 수직이다.<ref name="Martin" />{{rp|228, §20.1, Theorem 20.4}}<ref name="Isaacs" />{{rp|30-31, §1F}}
** 즉, 반지름의 반지름 끝점에서의 수선은 원에 접한다.<ref name="Martin" />{{rp|228, §20.1, Theorem 20.4}}
** 즉, 원의 접선의 접점에서의 수선은 원의 중심을 지난다.
* 원 외부의 한 점을 지나는 원의 접선은 정확히 2개이고, 이 점과 두 접점 사이의 거리는 같으며, 두 접선이 이루는 각과 두 접점을 지나는 반지름이 이루는 각은 서로 보각이다.
* 원의 [[접현각]]의 크기는 현을 기준으로 이와 같은 쪽에 있는 호에 대한 중심각의 1/2이다.<ref name="Isaacs" />{{rp|31, §1F, Theorem 1.23}}
* 원의 접선과 할선이 원 외부에서 이루는 각은 각의 내부에 포함된 두 호의 중심각의 차의 1/2이다.<ref name="Isaacs" />{{rp|31, §1F, Corollary 1.24}}
* 외접하는 두 원의 교점을 지나는 두 공통 할선 사이의 두 현은 서로 [[평행]]한다.<ref name="Isaacs" />{{rp|31, §1F, Problem 1.25}}
* (접선에 대한 [[방멱 정리]])원 외부의 점 <math>P</math>를 지나는 두 직선 가운데 하나는 원과 <math>A</math>와 <math>B</math>에서 만나고, 하나는 원에 점 <math>T</math>에서 접한다고 하면, <math>PA\cdot PB=PT^2</math>이다.

=== 원의 직교 ===
* 두 원의 교점에서의 두 접선이 서로 [[수직]]일 경우 두 원이 서로 [[직교]]한다고 한다.<ref name="Johnson" />{{rp|33, §48}}
* 두 원의 반지름이 <math>r,r'</math>이고, 두 중심 사이의 거리가 <math>d</math>라고 할 때, 두 원이 서로 직교할 필요충분조건은 <math>r^2+{r'}^2=d^2</math>이다.<ref name="Johnson" />{{rp|34, §48}}
* 주어진 원에 직교하고 중심이 원 외부의 주어진 점인 원은 유일하게 존재한다.<ref name="Johnson" />{{rp|34, §48}}
* 주어진 원에 직교하고 원의 지름이 아닌 현의 두 끝점을 지나는 원은 유일하게 존재한다.<ref name="Johnson" />{{rp|34, §48}}

== 작도 ==
=== 공선점이 아닌 세 점을 지나는 원 ===
공선점이 아닌 세 점 <math>A,B,C</math>를 지나는 원은 컴퍼스와 자를 사용하여 다음과 같이 [[작도]]할 수 있다.
* 선분 <math>AB</math>의 [[수직 이등분선]]을 그린다.
* 선분 <math>BC</math>의 수직 이등분선을 그린다.
* 선분 <math>AB</math>와 <math>BC</math>의 교점 <math>O</math>를 취한다.
* 점 <math>O</math>를 중심으로 하고 선분 <math>OA</math>를 반지름으로 하는 원을 그린다. 이 경우 원은 점 <math>A,B,C</math>를 지난다.

=== 원의 중심 ===
주어진 원의 중심은 컴퍼스와 자를 사용하여 다음과 같이 작도할 수 있다.
* 원 위의 두 점 <math>A,B</math>을 취한다.
* 선분 <math>AB</math>의 점 <math>B</math>에서의 수선 <math>BP</math>를 그린다.
* 직선 <math>BP</math>와 원의 교점 <math>C</math>를 취한다. 이 경우 선분 <math>AC</math>는 원의 지름이다.
* 또 다른 지름 <math>A'C'</math>을 작도한다.
* 선분 <math>AC</math>와 <math>A'C'</math>의 교점 <math>O</math>를 취한다. 이 경우 점 <math>O</math>는 원의 중심이다.

=== 원적 문제 ===
{{본문|원적 문제}}
[[원적 문제]]는 주어진 원과 넓이가 같은 정사각형을 컴퍼스와 자로 작도하는 문제를 일컫는다. 이는 [[원주율]] <math>\pi</math>가 [[초월수]]이므로 불가능하다.

== 기타 관련 주제 ==
=== 내접원, 외접원, 방접원 ===
모든 삼각형은 유일한 [[내접원]] 및 [[외접원]]과 정확히 3개의 [[방접원]]을 갖는다. 그러나, 일반적으로 [[다각형]]은 내접원이나 외접원을 가질 필요가 없다. 어떤 다각형이 모든 변에 접하는 원을 가질 경우, 이 다각형을 [[외접 다각형]]이라고 한다. 어떤 다각형이 모든 꼭짓점을 지나는 원을 가질 경우, 이 다각형을 [[내접 다각형]]이라고 한다. 동시에 외접 다각형이며 내접 다각형인 다각형을 [[이중중심 다각형]]이라고 한다. 예를 들어, 모든 삼각형과 모든 [[정다각형]]은 이중중심 다각형이다.

주어진 원의 내접 <math>n</math>각형 가운데 넓이가 가장 큰 것은 정<math>n</math>각형이다.<ref name="Isaacs" />{{rp|35, §1G}}

== 문학 ==
* 에드윈 A. 애보트의 공상 [[수학]] 소설 《[[플랫랜드]]》에서는 원이 [[성직자]]로 출현하며, 평면도형들 중 가장 고귀한 계급으로 여겨진다.

== 같이 보기 ==
* [[일각형]]
* [[구 (기하학)|구]]
* [[원기둥]]
* [[부채꼴]]
* [[컴퍼스]]
* [[원주율]]
* [[하위헌스 원리]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{위키공용분류-줄}}

{{원뿔 곡선}}
{{전거 통제}}

[[분류:원 (기하학)| ]]
[[분류:기하학]]
[[분류:원뿔 곡선]]