원환체 문서 원본 보기

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[[파일:torus cycles001.svg|섬네일|right|원환체의 튜브(빨간원)의 반지름 r와 원환체중심 반지름(파란원) R, 빨간 원을 축을 기준으로 회전시키면 빨간 원의 중심은 파란 원을 그리면서 원환체가 된다.]]

[[원환면]]으로부터 이를 표면으로 하는 입체는 도넛의 모양을 닮게 되는 원환체(圓環體, toroid) 형태이다.

이처럼 원을 축에 의해 회전시킨 원환면을 통해 원환체를 얻을 수 있다.


==원환체의 부피==
:<math>V = 2\pi^2r^2R</math>

:<math> R - r = a</math>
:<math> R + r = b</math>에서

:<math> r ={{1}\over{2}} (b-a)</math>
:<math> R ={{1}\over{2}} (b+a)</math>

:<math>V = (\pi r^2)(2 \pi R)</math>
:<math>\;\;\; = 2\pi^2r^2R</math>
:<math>\;\;\; = 2\pi^2 \left( {{1}\over{2}} (b-a) \right)^2 \left( {{1}\over{2}} (b+a) \right)</math>
:<math>\;\;\; = {{1}\over{4}} \pi^2 \left(b-a \right)^2 \left( b+a \right)</math>


==중적분에서 원환체의 부피==
도넛 모양의 원환체 부피는 [[야코비 행렬식]] <math> J</math>와 함께 [[삼중적분]]으로 표현될수있다.
:<math> J= \begin{bmatrix} {{d(x,y,z)}\over{d(m,n,a^{'})}} \end{bmatrix} = a^{'}(R+a^{'} cos \; n)</math>
:<math> x = (R+a^{'} \; cos \; n) cos \; m</math>
:<math> y = (R+a^{'}\;  cos \; n) sin \;  m</math>
:<math> z = a^{'}\; sin \; n</math>
:<math>V = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{r} a^{'} (R+a^{'} cos \; n) d a^{'} d n \; d m</math>
:<math> \;\;\; = 2 \pi^{2} r^2 R</math>

==원환체의 변형==

<table>
<tr>
<td>
[[파일:Torus from rectangle.gif|240px|섬네일|left|평면으로부터 원기둥 그리고 원환체]]
</td>
<td>
원환체의 부피
:<math>V = 2\pi^2r^2 R</math>
:<math>V = (\pi r^2)(2 \pi R)</math>에서
원환체의 내부 원 둘레
:<math>(2 \pi R) = L</math>이므로

:<math>V = (\pi r^2)L</math> 원기둥의 부피이다.
:<math> L</math>은 원기둥의 높이
</td>
</tr>

</table>


<table>
<tr>
<td>
{{multiple image
 | align = left
| direction = horizontal
 | width     = 100

 | image1    = Standard_torus-horn.png
 | alt1      = horn
 | caption1  = <math>1=R = r</math>

뿔 원환체

 | image2    = Standard_torus-ring.png
 | alt2      = ring
 | caption2  = <math>R > r</math>

링 원환체

 | image3    = Standard_torus-spindle.png
 | alt3      = spindle
 | caption3  = <math>R < r</math>

스핀들 원환체
| footer    = 원환체의 3종류
 }}
</td>
</tr>
<tr>
<td>
[[파일:Sphere-like degenerate torus.gif|섬네일|left|회전축까지의 거리가 짧아지면 링 원환체가 뿔 원환체가 되고 이어서 스핀들 원환체가 되며 마지막으로 구로 변한다.]]
</td>
</tr>

</table>

==사각형의 원환체==
<table>
<tr>
<td>
[[파일:Toroid by Zureks.svg|200px]]
</td>
<td>
[[파일:Toroid by Zureks2.svg|200px]]
</td>
</tr>
</table>
임의의 x,y,z 입체 좌표상의 사각형을 z축으로 회전시킨 원환체

== 같이 보기 ==
* [[원환 다면체]](toroidal polyhedron)
* [[중적분]]
* [[호프 올뭉치]]

==참고==
*http://mathworld.wolfram.com/Toroid.html
*http://mathworld.wolfram.com/Torus.html
*http://mathworld.wolfram.com/RingTorus.html
*http://mathworld.wolfram.com/StandardTori.html
*http://mathworld.wolfram.com/Lemon.html {{웹아카이브|url=https://web.archive.org/web/20180324002153/http://mathworld.wolfram.com/Lemon.html}}

{{전거 통제}}

[[분류:기하학]]
[[분류:다양체]]
[[분류:적분학]]