원환면 연환 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:(3, 4) torus_knot.svg|섬네일|오른쪽|(3,4)-원환면 매듭. 위 그림: <math>a</math>를 <math>a</math>와 붙이고, <math>b</math>를 <math>b</math>와 붙이면 이는 [[원환면]]을 이루며, 푸른 선들은 그 위의 원환면 매듭을 이룬다. 아래 그림: 같은 원환면 매듭을 [[꼬임군 (위상수학)|꼬임]]으로 표현한 것.]]
[[매듭 이론]]에서 '''원환면 연환'''(圓環面連環, {{llang|en|torus link}})은 [[원환면]] 위에 간단하게 그려질 수 있는 [[연환]]이다.

== 정의 ==
0이 아닌 두 정수 <math>(p,q)\in(\mathbb Z\setminus\{0\})^{\times2}</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, '''<math>(p,q)</math>-원환면 연환'''은 다음과 같은 3차원 곡선들의 집합으로 주어지는 [[연환]]이다.
:<math>\mathbb R / 2\pi\gcd\{p,q\}\mathbb Z \to \mathbb R^3</math>
:<math>t \mapsto \left(\cos(pt+2\pi k/\gcd\{p,q\})(\cos(qt)+2), \sin (pt+2\pi k/\gcd\{p,q\})(\cos(qt)+2), -\sin(qt)\right)</math>
:<math>k \in \{0,1,\dotsc,\gcd\{p,q\}-1\}</math>
이 곡선들은 [[원환면]]
:<math>\left\{(x,y,z)\in\mathbb R^3 \colon \left(\sqrt{x^2+y^2}-2\right)^2+z^2 = 1 \right\}</math>
위에 속하는 [[연환]]을 정의한다.

즉, 이는 원환면을 다음과 같이 감는다.
* z축에 대하여, <math>p</math>번 감기
* 원환면의 중심에 있는 원에 대하여, <math>q</math>번 감기

매듭인 원환면 연환을 '''원환면 매듭'''({{llang|en|torus knot}})이라고 한다.

== 성질 ==
<math>(p,q)</math>-원환면 연환의 [[연결 성분]]의 수는
:<math>\gcd\{p,q\}</math>
이다. 즉, 이것이 원환면 매듭이 될 [[필요 충분 조건]]은 <math>p</math>와 <math>q</math>가 [[서로소 정수|서로소]]인 것이다.

<math>(p,q)</math>-원환면 연환이 [[자명한 매듭]]일 [[필요 충분 조건]]은 다음과 같다.
:<math>p=\pm1</math>이거나 <math>q=\pm1</math>이다. 즉, <math>\min\{|p|,|q|\}=1</math>이다.

<math>(p,q)</math>-원환면 연환과 <math>(p',q')</math>-원환면 연환이 동치일 [[필요 충분 조건]]은 다음과 같다.
:<math>(p',q') \in \{(p,q), (-p,-q), (q,-p), (-q,p)\}</math>이거나, 또는 <math>\min\{|p|,|q|\} = \min\{|p'|,|q'|\} = 1</math>
즉, 자명한 매듭이 아닌 경우 항상
:<math>p\ge|q|\ge2</math>
인 표준형으로 놓을 수 있다.

또한, <math>(p,q)</math>-원환면 연환의 거울 대칭 [[연환]]은 <math>(p,-q)</math>-원환면 연환이다.

=== 교차수 ===
<math>(p,q)</math>-원환면 연환의 교차수는 다음과 같다.
:<math>\min\{(|p|-1)|q|, (|q|-1)|p|\}</math>

== 예 ==
<gallery>
Blue Unknot.png | (1,±1)-원환면 매듭 ([[자명한 매듭]] 0<sub>1</sub>)
Hopf Link.png | (2,±2)-원환면 연환 ([[호프 연환]] <math>2^2_1</math>)
TrefoilKnot_01.svg | (3,2)-원환면 매듭 (오른손 [[세잎매듭]] 3<sub>1</sub>)
Trefoil_knot_left.svg | (3,−2)-원환면 매듭 (왼손 [[세잎매듭]] 3<sub>1</sub>)
Valknut-Symbol-3linkchain-closed.svg | (3,±3)-원환면 연환 (<math>6^3_3</math>)
Knot-cinquefoil-sm.png | (5,2)-원환면 매듭 (오른손 다섯잎매듭 5<sub>1</sub>)
Blue Cinquefoil Knot.png | (5,−2)-원환면 매듭 (왼손 다섯잎매듭 5<sub>1</sub>)
(2,8)-Torus Link.svg | (8,2)-원환면 연환 <math>4^2_1</math>
3D-Link.PNG | (8,−2)-원환면 연환 <math>4^2_1</math>
Blue 7 1 Knot.png | (7,−2)-원환면 매듭 (7<sub>1</sub>)
TorusKnot3D.png | (7,−3)-원환면 매듭
TorusKnot-3-8.png | (8,−3)-원환면 매듭
TorusKnot-3-8.svg | (8,3)-원환면 매듭
Helical Torus.png | (12,2)-원환면 연환
</gallery>

이 밖에도, 원환면 매듭의 알렉산더-브리그스 기호 및 (연환의 경우) 시슬스웨이트 기호는 다음과 같다.
:{| class=wikitable
! (''p'',''q'')|| 2 || 3
|-
! 2
| [[호프 연환]] <math>2^2_1</math> (L2a1)
|-
! 3
| [[세잎매듭]] 3<sub>1</sub> || <math>6^3_3</math> (L6n1)
|-
! 4
| 솔로몬 연환 <math>4^2_1</math> (L4a1) || 8<sub>19</sub>
|-
! 5
| 다섯잎매듭 5<sub>1</sub> || 10<sub>124</sub>
|}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=TorusKnot|title=Torus knot}}
* {{웹 인용|url=https://sketchesoftopology.wordpress.com/2011/03/28/pqisqp/ | 제목=''pq'' is ''qp'' | 웹사이트=Sketches of Topology | 날짜=2011-03-28 | 이름=Kenneth |성=Baker | 언어=en}}

[[분류:매듭 이론]]
[[분류:대수적 위상수학]]