원환면 문서 원본 보기

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[[파일:Torus.png|섬네일|원환면]]
[[기하학]]에서 '''원환면'''(圓環面, {{llang|en|torus|토러스}}, 복수 {{llang|en|tori|토리}})는 [[원 (기하학)|원]]을 삼차원 공간 위에서 원을 포함하는 평면 위의 직선을 축으로 회전하여 만든 [[회전체|회전면]]이다. 대부분의 참고 문헌에서는 이 직선이 원과 만나지 않음을 가정한다. 원환면을 표면으로 하는 입체는 [[도넛]]의 모양을 닮게 되는데 이를 [[원환체]]라고 한다.

원환면은 두 원의 [[곱공간]] <math>S^1 \times S^1</math>과 [[위상동형]]이며, [[곡면 종수|종수]] 1의 2차원 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[다양체]]를 이룬다. 

영어명 ‘토러스({{lang|en|torus}})’는 ‘부풂’ 또는 ‘쿠션’을 의미하는 라틴어 단어 ‘토루스({{lang|la|tŏrus}})’에서 유래하였다.<ref>{{서적 인용|이름=Charlton T.|성=Lewis|제목=A Latin Dictionary|url=http://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Perseus:text:1999.04.0059:entry=torus}}</ref>

== 좌표계로 표현하기 ==
원환면은 다음 식으로 매개변수화 할 수 있다.
:<math>x(u, v) =  (R + r \cos{v}) \cos{u} \, </math>
:<math>y(u, v) =  (R + r \cos{v}) \sin{u} \, </math>
:<math>z(u, v) =  r \sin{v} \, </math>
여기서 각 변수의 범위와 의미는 다음과 같다.
:<math>u, v</math>는 구간 <math>[0, 2\pi)</math>의 원소이다.
:<math>R</math>은 원환면의 중심에서 튜브의 중심까지의 거리이다.
:<math>r</math>은 튜브 단면의 반지름이다.
이 밖에도 다양한 방법으로 표현가능하다.

== 원환체의 부피와 겉넓이 ==
원환면의 중심에서 튜브의 중심까지의 거리가 <math>R</math>이고 튜브의 반지름이 <math>r</math>인 원환체의 부피는 <math> 2 \pi^2 r^2 R </math>이고, 원환면의 넓이(원환체의 겉넓이)는 <math> 4 \pi^2 rR </math>이다.

== 위상수학과의 관계 ==
[[파일:torus cycles.png|섬네일|right|원환체는 두 원의 [[곱집합]](Cartesian product)이다.]]
위상수학적으로, 원환체는 두 원의 곱집합(Cartesian product) <math>S^1 \times S^1</math>으로 정의된다.

원환체를 2차원 평면에서 정수만큼의 평행이동하여 겹치는 점들을 모두 [[동치 관계]]로 묶은 것으로 묘사가 가능하다. 즉,
:(''x'',''y'') ~ (''x''+1,''y'') ~ (''x'',''y''+1).

원환체의 [[기본군]]은 원의 기본군의 [[곱집합]]이다. 즉,
:<math>\pi_1(\mathbb{T}^2) = \pi_1(S^1) \times \pi_1(S^1) \cong \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}.</math>
[[파일:Inside-out torus (animated, small).gif|섬네일|right|170px|구멍이 하나 뚫린 원환면의 안과 밖을 뒤집는 과정]]
원환면에 구멍을 하나 내면 안과 밖을 뒤집을 수 있다. 이때, 원환면의 튜브를 감싸는 원은 원환체의 가운데 빈 구멍을 둘러 돌아가는 원이 되고, 그 역도 성립한다.

== 고차원 원환면 ==
원환면은 고차원에서 일반화할 수 있다. 2차원 원환면이 두 개의 원을 곱집합 한 것이므로 고차원 원환면은 여러개의 원을 곱하여 만든다. 즉,
:<math>\mathbb{T}^n = \underbrace{S^1 \times S^1 \times \cdots \times S^1}_n.</math>
1차원 원환면은 원이다. 3차원 원환면은 시각화하기 어렵다. 2차원 원환면처럼 n차원 원환면은 <math>\mathbb{R}^n</math>을 모든 축에서 정수부분을 잘라 만든 [[동치 관계]]로 표현할 수 있다. 즉, n차원 원환면은 정수 격자를 법(modulo)으로 하는 <math>\mathbb{R}^n</math>이라 보면 된다. 마찬가지로, n차원 원환면은 n차원 [[하이퍼큐브]]의 모든 반대면을 접착시켜 얻을 수도 있다.

n차원 원환면은 n차원 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[다양체]]이자 콤팩트 [[아벨 군|아벨]] [[리 군]]이다. n차원 원환면의 [[기본군]]은 랭크 n의 자유 [[아벨 군]]이다.

== 색칠하기 문제 ==
[[4색정리|사색문제]]와 비슷한 문제를 2차원 원환면 위에서 생각해 볼 수 있다. 즉, 원환면에 임의의 영역이 나뉘어 있을 때, 인접한 영역을 다른 색으로 항상 색칠가능한 최소의 색의 개수를 생각해볼 수 있다. 7개의 색이 있으면 이러한 작업이 항상 가능하다. 물론, 평면에서는 네 가지로 충분하다.
[[파일:Projection color torus.png|480px|섬네일|center|이러한 구성을 통해 경계를 구별하는데 최소한 일곱개의 색이 필요함을 알 수 있다.]]

== 자르기 ==
표준적인 2차원 원환면을 ''n''개의 평면으로 자를 경우 많아야 <math>\frac{1}{6}\left(n^3+3n^2+8n\right)</math>개의 조각이 만들어진다.

== 같이 보기 ==
* [[클리포드 원환면]]
* [[타원곡선]]
* [[클라인 병]]
* [[극대 원환면]]
* [[구 (기하학)]]
* [[곡면]]
* [[원환 다양체]]
* [[원환체]]
* [[원환면 연환]]

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

{{전거 통제}}

[[분류:다양체]]