원통좌표계 문서 원본 보기

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[[파일:Coord system CY 1.svg|섬네일|원점 {{mvar|O}}, 극축 {{mvar|A}}, 경도축 {{mvar|L}} 을 나타낸 원통좌표계. 사진의 점은 반지름 거리 {{math|''ρ'' {{=}} 4}}, 방위각 {{math|''φ'' {{=}} 130°}}, 높이 {{math|''z'' {{=}} 4}} 를 성분으로 가지는 점이다.]]

'''원통좌표계''' (cylindrical coordinate system)는 다음 세 가지 변수로 3차원 공간의 점을 나타내는 [[좌표계]]이다.

* 기준 축으로부터 거리 (사진의 축 L)
* 기준 방향에 대한 각도 (축 A의 방향)
* 기준 평면에 대한 거리 (보라색 면을 포함하는 평면)

마지막 변수는 점이 기준 평면의 위 또는 아래에 있는지에 따라 양수와 음수의 값을 가질 수 있다.

좌표계의 원점은 세 좌표가 모두 0의 값을 가지는 점이다. 이것은 기준 평면과 축 사이의 교점이다. 가운데의 축은 [[극축]]과 구별하기 위해서 원통축 혹은 경도축의 다양한 이름으로 불리는데, 극축은 원점에서 시작해 기준 방향을 가리키는 선이다. 세로축에 수직인 다른 방향들은 극을 통과하는 선이라고 불린다.

축으로부터의 거리는 반지름 거리 또는 반지름이라고 할 수 있으며, 각을 나타내는 성분은 방위각이라고 한다. 반지름과 방위각을 합쳐서 극 좌표라고 하는데, 이는 원통좌표계의 임의의 점을 지나고, 기준 평면과 평행한 평면에서의 이차원 [[극좌표계]]이다. 세 번째 좌표는 높이 또는 고도(기준 평면이 수평인 경우), 경도 위치<ref>{{저널 인용|제목=Resonant electron beam interaction with several lower hybrid waves|저널=Physics of Plasmas|성=Krafft|이름=C.|성2=Volokitin|이름2=A. S.|url=https://pubs.aip.org/pop/article/9/6/2786/319042/Resonant-electron-beam-interaction-with-several|날짜=2002-06-01|권=9|호=6|쪽=2786–2797|언어=en|doi=10.1063/1.1465420|issn=1070-664X}}</ref> 또는 축 위치<ref>{{저널 인용|제목=Solitary Vortex Pairs in Viscoelastic Couette Flow|저널=Physical Review Letters|성=Groisman|이름=Alexander|성2=Steinberg|이름2=Victor|url=https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/1997PhRvL..78.1460G|날짜=1997-02-01|권=78|쪽=1460–1463|doi=10.1103/PhysRevLett.78.1460|issn=0031-9007}}</ref>라고 부를 수 있다.

원통좌표계는 긴 축을 중심으로 회전 대칭을 가지는 물체나 현상을 분석할 때 유용하다. 예를 들어, 원형 단면을 가진 직선 파이프에서의 물의 흐름, 금속 [[실린더]] 내의 열 분포, 긴 직선 도선에서 [[전류]]에 의해 생성되는 [[자기장]], 천문학에서의 [[강착 원반]] 등이 이에 해당한다.

원통좌표계는 때때로 원통 극좌표계 (cylindrical polar coordinates)<ref>{{서적 인용|제목=Basic mathematics for electronic engineers: models and applications|url=https://archive.org/details/basicmathematics0000szym|성=Szymanski|이름=John E.|날짜=1989|총서=Tutorial guides in electronic engineering|출판사=Van Nostrand Reinhold|위치=London|isbn=978-0-278-00068-1}}</ref>, 극 원통좌표계 (polar cylindrical coordinates)<ref>{{서적 인용|제목=Intermediate fluid mechanics|성=Nunn|이름=R. H.|날짜=1989|출판사=Hemisphere Pub. Corp|위치=New York|isbn=978-0-89116-647-4}}</ref>로 불리며, 은하에서 별들의 위치를 특정하기 위해 쓰이기도 한다. 이 경우 은하 중심 원통좌표계 (galactocentric cylindrical coordinates)<ref>{{서적 인용|url=https://www.worldcat.org/title/ocm74967110|제목=Galaxies in the universe: an introduction|성=Sparke|이름=Linda Siobhan|성2=Gallagher|이름2=John S.|날짜=2007|판=2nd ed|출판사=Cambridge University Press|위치=Cambridge ; New York|isbn=978-0-521-85593-8}}</ref>라고 한다.

== '''정의''' ==

점 P의 세 좌표 ({{mvar|ρ}}, {{mvar|φ}}, {{mvar|z}})는 다음과 같이 정의된다.
* z축과의 유클리드 거리 {{mvar|ρ}} (반지름)
* 원점과 기준 평면 위로의 P의 정사영을 잇는 선분, 기준 방향 사이의 각 {{mvar|φ}} (방위각)
* 기준 평면에서 점 P까지의 부호가 있는 거리 {{mvar|z}} (높이)
일반적으로, 기준 평면의 위에서 바라봤을 때 반시계 방향으로 방위각을 측정한다.

==='''원통좌표계를 이용한 점의 표시'''===
극좌표계와 마찬가지로, 원통좌표계에서는 하나의 점을 표현하는 방법이 무수히 많다. 한 점은 {{math|(''ρ'', ''φ'' ± ''n''×360°, ''z'')}} 또는 {{math|(−''ρ'', ''φ'' ± (2''n'' + 1)×180°, ''z'')}}  로 나타낼 수 있으며, ({{mvar|n}}은 임의의 정수) {{mvar|ρ{{=}} 0}} 일 때 방위각은 어떠한 값이든 상관이 없다.

각 점을 고유한 좌표로써 나타내려고 하는 경우, 반지름 {{mvar|ρ}}와 방위각 {{mvar|φ}}를 각각 음이 아닌 수 {{math|(''ρ'' ≥ 0)}} 와 {{math|[−180°,+180°]}} 또는 {{math|[0,360°]}} 과 같이 360°를 회전하는 구간으로 범위를 제한할 수 있다.

===표기법===
원통좌표계의 표기법은 정해져 있지 않다. [[ISO 31-11]]에서는 {{math|(''ρ'', ''φ'', ''z'')}}를 권장하며, 여기서 {{mvar|ρ}}는 반지름, {{mvar|φ}}는 방위각, {{mvar|z}}는 높이를 나타낸다. 그러나 반지름은 {{mvar|r}} 또는 {{mvar|s}}로, 방위각은 {{mvar|θ}} 또는 {{mvar|t}}로, 높이는 {{mvar|h}}로 표시되거나, 원통축이 수평으로 간주되는 경우 {{mvar|x}} 또는 상황에 맞는 다른 문자로 표시되기도 한다.

== '''좌표계의 변환''' ==
원통 좌표계와 데카르트 좌표계 간의 변환을 위해 기준 평면을 데카르트 {{mvar|xy}}-평면 ({{math|''z'' {{=}} 0}} 일 때) 으로 가정하고, 원통축을 데카르트 {mvar|z}}-축으로 가정하는 것이 편리하다. 그러면 z-좌표는 두 시스템에서 동일하기 때문에 원통 좌표 {{math|(''ρ'', ''φ'', ''z'')}} 와 데카르트 좌표 {{math|(''x'', ''y'', ''z'')}} 간의 대응은 극좌표계와 데카르트 좌표의 대응과 같게 된다.

원통좌표계를 데카르트 좌표계로 변환할 때는
<math display="block">
\begin{align}
x &= \rho \cos \varphi \\ 
y &= \rho \sin \varphi \\
z &= z
\end{align}
</math>
와 같고, 반대 방향으로는
<math display="block">\begin{align} \rho &= \sqrt{x^2+y^2} \\
\varphi &= \begin{cases}
\text{indeterminate} & \text{if } x = 0 \text{ and } y = 0\\
\arcsin\left(\frac{y}{\rho}\right) & \text{if } x \geq 0 \\	
-\arcsin\left(\frac{y}{\rho}\right) + \pi & \mbox{if } x < 0 \text{ and } y \ge 0\\
-\arcsin\left(\frac{y}{\rho}\right) + \pi & \mbox{if } x < 0 \text{ and } y < 0
\end{cases} \end{align}</math>
와 같다.
[[arcsin]] 함수는 [[sin]] 함수의 역함수이며, 치역은 일반적으로 {{math|[−{{sfrac|π|2}}, +{{sfrac|π|2}}]}} = {{math|[−90°, +90°]}} 에 속한다. 위의 공식들은 방위각 {{mvar|φ}}를 {{math|[−90°, +270°]}} 구간으로 변환한다.

치역이 {{math|[−{{sfrac|π|2}}, +{{sfrac|π|2}}]}} = {{math|[−90°, +90°]}}에 속하는 [[arctan]] 함수를 사용하면 {{mvar|ρ}}를 먼저 계산하지 않고도 방위각 {{mvar|φ}}를 계산할 수 있다.

<math display="block">\begin{align}
\varphi &= \begin{cases}
\text{indeterminate} & \text{if } x = 0 \text{ and } y = 0\\
\frac\pi2\frac y{|y|} & \text{if } x = 0 \text{ and } y \ne 0\\
\arctan\left(\frac{y}{x}\right) & \mbox{if } x > 0 \\
\arctan\left(\frac{y}{x}\right)+\pi & \mbox{if } x < 0 \text{ and } y \ge 0\\
\arctan\left(\frac{y}{x}\right)-\pi & \mbox{if } x < 0 \text{ and } y < 0
\end{cases} \end{align}</math>

다른 공식들을 보려면 [[극좌표계]] 문서를 참고하여라.

많은 현대 프로그래밍 언어에서는 위에서 설명한 조건을 주어진 ''x''와 ''y''에 대해 분석하지 않고도 올바른 방위각 {{mvar|φ}}를 {{math|(−π, π)}} 범위에서 계산하는 함수를 제공한다. 예를 들어, [[C 언어]]에서는 이 함수가 {{mono|atan2(''y'', ''x'')}}로 호출되며, [[Common Lisp]]에서는 {{mono|(atan ''y'' ''x'')}}로 호출된다.

== '''단위벡터''' ==

각 [[단위벡터]]의 데카르트 좌표에서의 표현은 다음과 같다.
: <math> \hat{\mathbf{r}} = \frac{\frac{d\mathbf{r}}{dr}}{\left|\frac{d\mathbf{r}}{dr}\right|} = \begin{bmatrix} \cos \theta \\ \sin \theta \\ 0 \end{bmatrix}</math>
: <math> \hat{\mathbf{\theta}} = \frac{\frac{d\mathbf{r}}{d\theta}}{\left|\frac{d\mathbf{r}}{d\theta}\right|} = \begin{bmatrix} -\sin \theta \\ \cos \theta \\ 0 \end{bmatrix}</math>
: <math> \hat{\mathbf{z}} = \frac{\frac{d\mathbf{r}}{dz}}{\left|\frac{d\mathbf{r}}{dz}\right|} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}</math>


== '''유용한 공식들 '''==
부피 요소
:<math>\, {d V} = r d r d \theta dz</math>
라플라시안
:<math>\nabla^2 = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r} r \frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2}{\partial \theta^2}   + \frac{\partial^2}{\partial z^2}</math>

== '''출처''' ==
<references />

[[분류:좌표계]]