원통셸 방법 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Shell integral undergraph - around y-axis.png|섬네일|right|300px|그림에서 입체의 부피는 가운데 구멍이 있는 원통셸 모임의 합으로 근사할 수 있다. 원통셸의 두께가 작으면 작을수록 이 근사값은 실제 부피와 점점 같아진다. 이 근사값의 극한값을 구하는 것이 원통셸 방법이다.]]

{{미적분학}}

'''원통셸 방법'''(shell method) 또는 '''원통셸 적분'''(Shell integration)은 회전체 축의 수직 축을 따라 적분하여 [[회전체]] [[부피]]를 [[계산]]하는 방법이다. 이 방법은 회전체 축과 평행한 축을 따라 적분하는 [[디스크 방법]]과는 서로 방배되는 적분 방법이다.

== 정의 ==
원통셸 방법은 다음과 같이 이용할 수 있다. ''xy''면에 있는 단면을 ''y''축을 따라 회전하여 생긴 회전체의 부피를 구하는 경우를 생각해보자. 단면 함수가 폐구간 [''a'', ''b'']에서 양의 값을 가지는 함수 ''f''(''x'')로 정의되는 그래프라고 가정하자. 그러면 부피 공식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:<math>2 \pi \int_a^b x f(x)\,\mathrm{d}x</math>

만약 함수가 ''y''의 함수로 정의되고 회전축이 ''x''가 될 경우 공식은 다음과 같이 바뀐다.

:<math>2 \pi \int_a^b y f(y) \,\mathrm{d}y</math>

만약 함수가 ''x=h'' 또는 ''y=k''을 회전축으로 잡을 경우, 공식은 다음과 같이 바뀐다.
:<math>\begin{cases}
\displaystyle 2 \pi \int_a^b (x-h) f(x)\,{\rm d}x, & \text{if}\ h \le a < b\\
\displaystyle 2 \pi \int_a^b (h-x) f(x)\,{\rm d}x, & \text{if}\ a < b \le h
\end{cases}</math>
그리고
:<math>\begin{cases}
\displaystyle 2 \pi \int_a^b (y-k) f(y)\,{\rm d}y, & \text{if}\ k \le a < b\\
\displaystyle 2 \pi \int_a^b (k-y) f(y)\,{\rm d}y, & \text{if}\ a < b \le k
\end{cases}</math>

이 식은 [[극좌표계]]에서 [[중적분]] 계산으로 도출할 수 있다.

== 예시 ==
닫힌 구간 [1, 2]에서 다음과 같은 식으로 정의된 회전체의 부피를 구하는 법을 생각해 보자.

:<math>y = (x-1)^2(x-2)^2</math>

{{여러그림
 |정렬 = none
 |total_width = 600
 |그림1 = Shell 2d example.png
 |크기1 = 481 | height1 = 307
 |설명1 = 단면도
 |그림2 = Shell 3D example.png
 |크기2 = 632 | height2 = 463
 |설명2 = 3D 입체
 |머리말 = 예시를 그림으로 본 모습
 |머리말 정렬 = center
}}

이 경우 디스크 방법을 통해서는 ''x''를 ''y''에 대해 풀어야 하는 과정을 거쳐야 한다. 이 회전체는 가운데에 구멍이 뚫린 형태이기 때문에 바깥 부분으로 나타나는 부피와 안 부분으로 나타나는 부피 2가지가 도출된다. 디스크 방법은 두 부피를 구한 다음에 바깥 부분 부피에서 안쪽 부분 부피를 빼는 과정을 거쳐야 한다.

반면 원통셸 방법을 사용할 경우 공식은 다음과 같이 정리된다.

:<math>2 \pi \int_1^2 x (x-1)^2(x-2)^2 \,\mathrm{d}x </math>

다항식을 전개한 후 적분하는 간단한 과정을 거치면 된다. 여기서 우리가 찾는 부피는 <math>\frac{\pi}{10}</math>라는 계산이 나온다.

== 같이 보기 ==
* [[회전체]]
* [[디스크 방법]]

== 참고 문헌 ==
* {{매스월드|id=MethodofShells|title=Method of Shells}}
* [[Frank J. Ayres|Frank Ayres]], [[Elliott Mendelson]]. ''[[Schaum's Outlines]]: Calculus''. McGraw-Hill Professional 2008, {{ISBN|978-0-07-150861-2}}. pp.&nbsp;244–248 ({{Google books|Ag26M8TII6oC|online copy|page=244}})

[[분류:적분학]]