원주율 초월수 증명 문서 원본 보기

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'''원주율 초월수 증명'''은 원주율이 [[초월수]]임을 증명하는 공식으로, [[오일러 등식]]을 이용한다.<ref>김태성, [http://www.papersearch.net/view/detail.asp?detail_key=10300189 e 및 π의 초월성과 고등학교에서 초월수 지도] {{웹아카이브|url=https://web.archive.org/web/20121107054942/http://www.papersearch.net/view/detail.asp?detail_key=10300189}}, 한국수학교육학회 A 통권 14권 2호, 1976년, 17-22</ref> 
== 내용 ==
오일러 등식은,

: <math>e^{i \pi} + 1 = 0 \;\;\!</math> …… (1)<ref group="주해"><math>i = \sqrt{-1}</math></ref>

이다. 이 때 π가 정계수 대수방정식 <math>\zeta (x) = 0</math>의 근이라면 <math>\zeta (\pi) = 0</math>이다. 따라서 <math>\zeta (\pi) \cdot \zeta (- \pi) = 0</math> 역시 성립하여야 한다. 이제 y=iπ라 하면 π=-iy 이고 -π=iy 이므로, iπ는 다음 식으로 나타낼 수 있는 정계수 대수방정식을 만족시켜야 한다.

: <math>\zeta (\pi) \cdot \zeta (- \pi) = \Psi (y) = 0</math>

이제 <math>\Psi (y) = 0</math>을 ν차원의 방정식이라 하면 그 [[근 (수학)|근]]인 y<sub>1</sub>, y<sub>2</sub>,……, y<sub>ν</sub>에는 iπ가 존재하여야 하므로, 식 (1)에 따라 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: <math> (1+e^{y_{1}})(1+e^{y_{2}}) \cdots (1+e^{y_{\nu}})=0</math>

그런데 이러한 관계를 만족하는 대수방정식의 근이 유리수라고 가정하면 무한히 약분할 수 있어서, 이를 기약분수로 표현할 수 없는 모순이 생긴다.<ref group="주해">이와 방식이 같은 증명 가운데 <math>\sqrt{2}</math>가 무리수임을 증명한 [[에우클레이데스]]의 증명이 널리 알려져 있다.</ref> 유리수를 기약분수로 표현할 수 없다는 것은 유리수의 정의에 어긋나므로 π가 정계수 대수방정식 <math>\zeta (x) = 0</math>의 근이라는 최초의 가정이 잘못되었다고 볼 수밖에 없다. 즉, 원주율은 초월수이다. 자세한 증명은 링크한 주석을 참고하기 바란다.<ref>[http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~fritsch/pi.pdf Hilberts Beweis der Transzendenz der Ludolphschen Zahl π] {{웹아카이브|url=https://web.archive.org/web/20110716060726/http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~fritsch/pi.pdf}}(독일어)</ref>

== 각주 ==
<references group="주해" />
<references />

[[분류:원주율]]
[[분류:초월수]]