원주율의 무리성 증명 문서 원본 보기

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[[원주율]]은 고대로부터 많은 연구가 이루어졌으며, [[무리수]]의 존재 또한 고대로부터 널리 알려져 있었다. 그러나 원주율이 무리수라는 것은 [[18세기]]까지 증명이 이루어지지 않았다.

1761년 스위스 수학자 [[요한 람베르트]]가 처음으로 원주율이 무리수라는 것을 증명했다. [[19세기]]에는 [[샤를 에르미트]]가 기초적인 [[미적분학]] 지식만을 필요로 하는 증명을 내놓았다. [[메리 카트라이트]]와 [[아이반 니븐]], [[미클로시 러츠코비치]]는 보다 단순화된 증명을 내놓았다.

== 람베르트의 증명 ==
1761년 [[요한 람베르트]]는 [[삼각함수|탄젠트]] 함수를 다음과 같은 [[연분수]]로 나타낼  수 있음을 증명했다.<ref>{{서적 인용|성 = 람베르트|이름 = 요한 H.|저자링크=요한 람베르트|연도 = 1768|제목 = Pi, a source book|place = New York|출판사 = Springer-Verlag |판 = 3판(2004년)|쪽 = 129&ndash;140|isbn = 0-387-20571-3|언어=en}}</ref>

:<math>\tan(x) = \cfrac{x}{1 - \cfrac{x^2}{3 - \cfrac{x^2}{5 - \cfrac{x^2}{7 - {}\ddots}}}}.</math>

또한 <math>x</math>가 0이 아닌 [[유리수]]일 때, 위 연분수는 [[무리수]]가 된다는 것도 증명했다. 그런데 tan(&pi;/4)&nbsp;=&nbsp;1이므로, &pi;/4는 무리수가 된다. 따라서 &pi;는 무리수라는 것이 증명된다.<br />
== 에르미트의 증명 ==
[[샤를 에르미트]]는 [[귀류법]]을 통해 원주율이 무리수라는 것을 증명했다.<ref name="Hermite">{{저널 인용|성 = 에르미트|이름 = 샤를|저자링크 = 샤를 에르미트|연도 = 1873|제목 = Extrait d'une lettre de Monsieur Ch. Hermite à Monsieur Paul Gordan | 언어=fr |저널 = Journal für die reine und angewandte Mathematik|권 = 76|쪽 = 303–311|url = http://www.digizeitschriften.de/main/dms/img/?PPN=GDZPPN002155435}}</ref>

먼저 실수에 대해 정의된 함수 ''A''<sub>''n''</sub>(''x'')와 ''U''<sub>''n''</sub>(''x'')를 다음과 같이 정의한다.

#<math>A_0(x)=\sin(x);\,</math>
#<math>(\forall n\in\mathbb{Z}_+):A_{n+1}(x)=\int_0^xyA_n(y)\,dy;</math>
#<math>U_0(x)=\frac{\sin(x)}x;</math>
#<math>(\forall n\in\mathbb{Z}_+):U_{n+1}(x)=-\frac{U_n'(x)}x.</math>

sin(''x'')의 [[테일러 전개]]와 [[수학적 귀납법]]을 통해 ''A''<sub>''n''</sub>(''x'')와 ''U''<sub>''n''</sub>(''x'')를 다음과 같이 유도할 수 있다.

:<math>(\forall n\in\mathbb{Z}_+):A_n(x)=\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!!}-\frac{x^{2n+3}}{2\times(2n+3)!!}+\frac{x^{2n+5}}{2\times4\times(2n+5)!!}\mp\cdots</math>
:<math>(\forall n\in\mathbb{Z}_+):U_n(x)=\frac1{(2n+1)!!}-\frac{x^2}{2\times(2n+3)!!}+\frac{x^4}{2\times4\times(2n+5)!!}\mp\cdots</math>

위의 두 식에 의해 다음 등식이 성립한다.

:<math>U_n(x)=\frac{A_n(x)}{x^{2n+1}}.</math>

따라서 처음의 정의 4에 의해 다음과 같은 [[미분 방정식]]이 성립한다.

:<math>\frac{A_{n+1}(x)}{x^{2n+3}}=U_{n+1}(x)=-\frac{U_n'(x)}x=-\frac1x\frac d{dx}\left(\frac{A_n(x)}{x^{2n+1}}\right)</math>

위 식은 다시 다음과 같이 정리할 수 있다.

:<math>A_{n+1}(x)=(2n+1)A_n(x)-xA_n'(x)=(2n+1)A_n(x)-x^2A_{n-1}(x)</math>

위 [[점화식]]과, ''A''<sub>0</sub>(''x'')&nbsp;=&nbsp;sin(''x'')이고 ''A''<sub>1</sub>(''x'')&nbsp;=&nbsp;−''x''&nbsp;cos(''x'')&nbsp;+&nbsp;sin(''x'')인 점을 이용하면, 수학적 귀납법을 통해 ''A''<sub>''n''</sub>(''x'')를 다음과 같이 유도할 수 있다.

:<math>A_n(x)=P_n(x^2)\sin(x)+xQ_n(x^2)\cos(x)</math>

이때 ''P''<sub>''n''</sub>(''x'') 와 ''Q''<sub>''n''</sub>(''x'')는 모두 [[정수]]를 인수로 갖는 [[다항식]]이며, ''P''<sub>''n''</sub>(''x'')의 차수는 <math>\left\lfloor\frac n2\right\rfloor</math> 이하라는 것을 증명할 수 있다. 또한 <math>A_n\left(\frac\pi2\right)=P_n\left(\frac{\pi^2}4\right)</math>가 성립한다.

또한 에르미트는 다음 등식을 제시했다.

:<math>\frac{1}{2^nn!}\int_0^1(1-z^2)^n\cos(xz)\,dz=\frac{A_n(x)}{x^{2n+1}}=U_n(x)</math>

에르미트는 위 등식의 증명을 제시하지는 않았으나, 다음과 같이 증명할 수 있다.

''n''&nbsp;=&nbsp;0일 때 위 등식은 참이 된다.

:<math>\int_0^1\cos(xz)\,dz=\frac{\sin(x)}x=U_0(x)</math>

또한 임의의 양의 정수 ''n''에 대해 다음이 성립한다고 가정하면

:<math>\frac{1}{2^nn!}\int_0^1(1-z^2)^n\cos(xz)\,dz=U_n(x)</math>

[[부분적분]]과 라이프니츠 적분 법칙에 의해 다음과 같이 수학적 귀납법을 증명할 수 있다.

:<math>\begin{align}
& {}\quad \frac{1}{2^{n+1}(n+1)!}\int_0^1(1-z^2)^{n+1}\cos(xz)\,dz \\
& =\frac{1}{2^{n+1}(n+1)!}\Biggl(\overbrace{\left.\int_0^1(1-z^2)^{n+1}\frac{\sin(xz)}x\right|_{z=0}^{z=1}}^{=\,0} + \int_0^12(n+1)(1-z^2)^nz\frac{\sin(xz)}x\,dz\Biggr)\\[8pt]
&=\frac1x\cdot\frac1{2^nn!}\int_0^1(1-z^2)^nz\sin(xz)\,dz\\[8pt]
&=-\frac1x\cdot\frac d{dx}\left(\frac1{2^nn!}\int_0^1(1-z^2)^n\cos(xz)\,dz\right) \\[8pt]
& =-\frac{U_n'(x)}x = U_{n+1}(x)
\end{align}</math>

이제 <math>\pi</math>가 유리수라고 가정하자. 이때 <math>\frac{\pi^2}{4}=\frac{p}{q}</math>이고, ''p''와 ''q''가 [[자연수]]라고 가정할 수 있다. 위에서 ''P''<sub>''n''</sub>(''x'')가 정수 계수를 갖는 다항식이고, 차수가 <math>\left\lfloor\frac n2\right\rfloor</math> 이하라는 것을 증명했으므로, <math>q^{\left\lfloor\frac n2\right\rfloor} P_n(\pi ^2 / 4)</math>는 정수이다. 즉 다음과 같은 정수 ''N''이 존재해야 한다.

:<math>\begin{align}N&=q^{\left\lfloor\frac n2\right\rfloor}A_n\left(\frac\pi2\right)\\&=q^{\left\lfloor\frac n2\right\rfloor}\frac{\left(\frac pq\right)^{n+\frac 12}}{2^nn!}\int_0^1(1-z^2)\cos\left(\frac\pi2z\right)\,dz.\end{align}</math>

위 식에서 적분 부분은 0보다 크고 1보다 작다는 것을 쉽게 알 수 있다. 또한

:<math>\lim_{n\in\mathbb{N}}q^{\left\lfloor\frac n2\right\rfloor}\frac{\left(\frac pq\right)^{n+\frac 12}}{2^nn!}=0</math>

이므로 ''n''이 충분히 클 때 계수 부분은 1보다 작다는 것을 알 수 있다. 따라서 충분히 큰 ''n''에 대해 ''N''은 0보다 크고 1보다 작다. 이것은 위에서 추론한 ''N''이 정수라는 명제와 모순이므로, &pi;가 유리수라는 가정은 거짓임을 증명할 수 있다.

에르미트의 위 증명은 람베르트의 증명과 거의 유사하다. ''A''<sub>''n''</sub>(''x'')가 람베르트가 사용한 tan(''x'')의 연분수 전개의 나머지 부분에 해당하기 때문이다.

== 니븐의 증명 ==
[[아이반 니븐]]은 아래와 같은 단순화된 증명을 내놓았다.<ref>{{저널 인용|성 = 니븐|이름 = 아이반|연도 = 1947|제목 = A simple proof that &pi; is irrational|저널 = Bulletin of the American Mathematical Society|권 = 53|호 = 6|쪽 = 509|url = http://www.ams.org/bull/1947-53-06/S0002-9904-1947-08821-2/S0002-9904-1947-08821-2.pdf|언어=en}}</ref>

[[파일:LambertContinuedFraction.JPG|thumb]]
'''가정''': &pi;가 [[유리수]]라고 가정하자. 그러면 &pi;는 양수이므로 &pi;&nbsp;=&nbsp;''a''/''b''인 양의 [[정수]] ''a''와 ''b''가 존재한다.

위에서 정의한 ''a''와 ''b'', 그리고 임의의 양의 정수 ''n''에 대해 [[다항식]] ''f''<sub>''n''</sub>(''x'')을 다음과 같이 정의한다.

:<math>f_n(x) = \frac{x^n(a - bx)^n}{n!},\quad x\in\mathbb{R}</math>

또 ''F''<sub>''n''</sub>(''x'')을 ''f''<sub>''n''</sub>의 짝수차 [[도함수]]의 교대합으로 정의한다.

:<math>F_n(x) = f_n(x) + \cdots + (-1)^j f_n^{(2j)}(x) + \cdots + (-1)^n f_n^{(2n)}(x),\quad x\in\mathbb{R}</math>

'''명제 1''': ''F''<sub>''n''</sub>(0) + ''F''<sub>''n''</sub>(&pi;)는 정수이다.

'''증명''': 다항식 ''f''<sub>''n''</sub>(''x)를'' 전개하면, ''x''<sup>''k''</sup>의 계수는 <math>\frac{c_k}{n!}</math>의 형태를 갖는다. 이때 ''c''<sub>''k''</sub>는 정수이며, ''k''<''n''일 경우 ''c''<sub>''k''</sub>&nbsp;=&nbsp;0이다. 따라서 ''k''<''n''일 때 <math>f_n^{(k)}(0)=0</math>이고, ''n''&le;''k''&le;2''n''일 때는 <math>f_n^{(k)}(0)=\frac{k!}{n!}c_k</math>이다. 두 경우 모두 <math>f_n^{(k)}(0)</math>은 정수이므로 ''F''<sub>''n''</sub>(0)은 정수이다.

한편 &pi;&nbsp;=&nbsp;''a''/''b''이므로, 정의에 의해 ''f''<sub>''n''</sub>(&pi;&minus;''x'')=''f''<sub>''n''</sub>(''x'')가 된다. 따라서 임의의 음이 아닌 정수 ''k''에 대해 <math>(-1)^k f_n^{(k)} (\pi-x) = f_n^{(k)}(x)</math>이고, ''x''에 0을 대입하면 <math>(-1)^k f_n^{(k)} (\pi) = f_n^{(k)}(0)</math>이 된다. 따라서 <math>f_n^{(k)} (\pi)</math> 또한 정수이고 ''F''<sub>''n''</sub>(&pi;)도 정수이다.

'''명제 2''':
:<math> \int_0^\pi f_n(x)\sin x \,dx=F_n(0)+F_n(\pi)</math>

'''증명''': ''f''<sub>''n''</sub>의 차수는 2''n''이므로 <math>f_n^{(2n+2)}(x)=0</math>이다. 따라서 <math> F_n''(x) + F_n(x) = f_n(x)</math>이다.

sin 함수의 [[도함수]]는 cos이고, cos의 도함수는 &minus;sin이므로, 곱의 미분 법칙에 의해

:<math>(F_n'(x)\cdot\sin x - F_n(x)\cdot\cos x)' = f_n(x)\cdot\sin x</math>

따라서 [[미적분학의 기본정리]]에 의해 다음 적분이 성립한다.

:<math>\int_0^\pi f_n(x)\sin x \,dx= \bigl(F'(x)\sin x - F(x)\cos x\bigr)\Big|_{0}^{\pi}</math>

위 등식을 정리하면 명제 2가 참이라는 것을 알 수 있다.

'''결론''': 0 < ''x'' < &pi;인 모든 ''x''에 대해, <math>f_n(x) > 0, \sin x > 0</math>이 성립한다. 따라서 명제 2에 의해 ''F''<sub>''n''</sub>(0)+''F''<sub>''n''</sub>(&pi;)는 양수이다.

한편 0 &le; ''x'' &le; &pi;인 모든 ''x''에 대해 0 &le; ''x''(''a''&minus;''bx'') &le; &pi;''a''이며, 0 &le; sin ''x'' &le; 1이다. 따라서 다음 부등식은 참이 된다.

:<math>\int_0^\pi f_n(x)\sin x \,dx\le\pi\frac{(\pi a)^n}{n!}</math>

<math>\lim_{n \to +\infty}\frac{(\pi a)^n}{n!}=0</math>이므로, 충분히 큰 ''n''에 대해 위 식은 1보다 작다는 것을 알 수 있다.

즉 ''F''<sub>''n''</sub>(0)+''F''<sub>''n''</sub>(&pi;)은 0보다 크고 1보다 작은 [[정수]]이다. 이는 모순이므로 최초의 가정이 틀렸으며, &pi;는 무리수라는 것을 알 수 있다.

== 같이 보기 ==
* [[라이프니츠의 원주율 공식]]
* [[그레고리 급수]]
== 각주 ==
<references/>

[[분류:원주율]]
[[분류:증명]]