원주율 문서 원본 보기

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|style="text-align:center;"| [[파일:Pi-symbol.svg|150px]]<br />3.1415926535897932384626433832795……
|}
{{원주율}}

'''원주율'''(圓周率, {{문화어|원주률}})은 [[원둘레]]와 지름의 비 즉, [[원 (기하학)|원]]의 [[지름]]에 대한 [[둘레]]의 [[비율]]을 나타내는 [[수학 상수]]이다. [[수학]]과 [[물리학]]의 여러 분야에 두루 쓰인다. [[그리스 문자]] [[π]]로 표기하고, '''파이'''(π)라고 읽는다.<ref>송은영, 재미있는 수학상식, 맑은창, 2007, {{ISBN|89-86607-59-X}}, 126-133 쪽</ref> 원주율은 수학에서 다루는 가장 중요한 상수 가운데 하나이다.<ref>Pickover, Clifford A. (2005). [http://books.google.com/books?id=03CVDsZSBIcC A passion for mathematics: numbers, puzzles, madness, religion, and the quest for reality]. John Wiley and Sons. p. 52. {{ISBN|0-471-69098-8}}., [http://books.google.com/books?id=03CVDsZSBIcC&pg=PA52 Extract of page 52]</ref> [[무리수]]인 동시에 [[초월수]]이다. [[아르키메데스]]의 계산이 널리 알려져 있어 '''아르키메데스 상수'''라고 부르기도 하며, 독일에서는 1600년대 [[뤼돌프 판 쾰런]]이 소수점 이하 35자리까지 원주율을 계산한 이후 '''뤼돌프 수'''라고 부르기도 한다.<ref name="사이언스타임즈">[http://www.sciencetimes.co.kr/article.do?todo=view&atidx=0000037014&WT.mc_id=sc_newsletter&WT.senddate=20100119&WT.linkid=0000037014 파이(π) 본격 연구는 아르키메데스부터] {{웹아카이브|url=https://web.archive.org/web/20121209175001/http://www.sciencetimes.co.kr/article.do?todo=view&atidx=0000037014&WT.mc_id=sc_newsletter&WT.senddate=20100119&WT.linkid=0000037014}}, 사이언스타임즈, 2010년 1월 20일</ref> 원주율의 값은 순환하지 않는 무한소수([[무리수]])이기 때문에, 원주율을 포함한 계산에서는 3.14 또는 3.141 등 첫 소수점 아랫자리를 취한 근삿값을 사용하거나 기호 파이([[π|ㅠ]])를 사용한다. 초등학교 6학년 2학기 5단원 수학에서 처음배우며 그 단원의 제목은 원의 넓이이다.

== 개요 ==
[[파일:Pi-unrolled-720.gif|섬네일|400px|왼쪽|원의 지름이 1일 때, 원주는 π이다.]]

[[유클리드 기하학|유클리드 평면]]에서 [[원 (기하학)|원]]은 크기와 관계없이 언제나 [[닮음 (기하학)|닮은 도형]]이다. 따라서 원의 [[지름]]에 대한 [[둘레]]의 [[비 (수학)|비]]는 언제나 일정하며, 이를 원주율이라 한다. 즉, 원의 지름을 d, 둘레를 C라 하면 원주율 π는 다음의 식으로 나타낼 수 있다.<ref>[http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.pi.html "About Pi"]. Ask Dr. Math FAQ. Retrieved 2007-10-29.</ref>
:<math>\pi = \frac{C}{d}</math>

원주율을 나타내는 기호 π는 1706년 영국의 수학자 [[윌리엄 존스 (수학자)|윌리엄 존스]]가 최초로 사용했다. 이것은 둘레를 뜻하는 [[고대 그리스어]] "페리페레스"(περιφηρής) 또는 "페리메트론"(περίμετρον)의 첫 글자를 딴 것이다.<ref>{{서적 인용|성=Stein|이름=Sherman|번역자=이우영|제목=아르키메데스|출판사=경문사|연도=2006|isbn=89-7282-926-9|쪽=170}}</ref> 윌리엄 존스는 “특정 도형의 길이나 넓이를 구하는 계산에 매우 유용한 방법이 여러 가지 있다. 원을 예로 들면 지름이 1인 원의 둘레를 약 3.14159…= π로 표기하는 것이다.”라고 기호 π의 사용을 제안하였다.<ref>Smith, David Eugene. [http://books.google.com/books?id=awAfO7Ff_z0C&pg=PA346&dq=%22There+are+various+other+ways+of+finding+the+Lengths+or+Areas+of+particular+Curve+Lines%22&hl=en&ei=IKT2S4L7C8L88Abv0IS9Cg&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1&ved=0CCgQ6AEwAA#v=onepage&q=%22There%20are%20various%20other%20ways%20of%20finding%20the%20Lengths%20or%20Areas%20of%20particular%20Curve%20Lines%22&f=false A source book in mathematics], Volume I, pp. 346-347.</ref>

원주율은 소수점 아래 어느 자리에서도 끝나지 않고, [[순환마디]]도 없이 무한히 계속되는 [[무리수|비]][[순환소수]]이다. 원주율이 [[무리수]]라는 것은 [[1761년]] [[요한 하인리히 람베르트]]가 증명했다. 원주율의 소수점 이하에서 나타나는 수열은 무작위 [[표집]]을 통해 만드는 난수표와 성질이 같다.<ref name="sciencedaily.com">[http://www.sciencedaily.com/releases/2005/04/050427094258.htm Pi Seems A Good Random Number Generator But Not Always The Best], Science daily, 2005-4-25</ref> 원주율은 [[십진법]]으로는 값을 정확하게 표기할 수 없기 때문에 실제 계산에서는 [[근삿값]]을 이용한다.

<br clear="left" />
[[파일:Circle Area.svg|섬네일|172px|왼쪽|원의 넓이 = π × 반지름<sup>2</sup>]]
[[파일:CIRCLE 1 kor.png|섬네일|172px|왼쪽|원의 둘레 = π × 지름]]
[[파일:Squaring the circle.svg|섬네일|172px|왼쪽|[[원적 문제]] ]]
[[파일:Circle area by reassembly.svg|172px|섬네일|왼쪽|다빈치의 원의 넓이 계산]]

한편, 원주율은 계수가 [[유리수]]인 유한 차수 [[다항식]]의 해가 될 수 없다. 이러한 종류의 수를 [[초월수]]라 부른다. 이 사실은 [[1882년]] [[페르디난트 폰 린데만]]이 증명하였다. 여기에서 원주율은 어떤 [[정수]]에 적당한 유리수를 곱하고 [[제곱근]]을 씌우는 등의 [[연산 (수학)|연산]]을 조합하여 얻어낼 수 없다는 사실을 알 수 있다. 또한 원주율이 초월수라는 사실을 통해, [[고대 그리스|그리스]] 3대 난제 중 하나였던 “[[자 (도구)|자]]와 [[컴퍼스]]만을 사용하여 [[원 (기하학)|원]]과 넓이가 같은 [[정사각형]]을 [[작도]]하는 [[원적 문제]]”가 유한한 대수적 방법으로는 불가능하다는 것을 증명할 수 있다.

[[유클리드 기하학]]에서 원과 원주율의 관계를 살펴보면 다음과 같은 사실을 확인할 수 있다.<ref name="Rudin">{{서적 인용
|성=Rudin
|이름=Walter
|저자링크=월터 루딘
|제목=Principles of mathematical analysis
|언어=en
|총서=International Series in Pure and Applied Mathematics
|판=3판
|출판사=McGraw-Hill
|날짜=1976
|isbn=978-0-07-054235-8
|mr=0385023
|zbl=0346.26002
|url=http://www.mcgraw-hill.com.sg/html/9780070542358.html
|확인날짜=2014-10-06
|url-status=dead
|보존url=https://web.archive.org/web/20141006165957/http://www.mcgraw-hill.com.sg/html/9780070542358.html
|보존날짜=2014-10-06
}}</ref>{{rp|183}}
* 원의 둘레를 구하는 식은 원주율의 정의와 같다.
: 원의 둘레 = 지름 × 원주율
* 원의 넓이를 구하는 방법은 아르키메데스 시대 이후 여러 가지 기법이 알려져 있다. 널리 사용하는 방법 가운데 하나는 [[레오나르도 다빈치]]가 고안한 것으로, [[정육각형]]을 이용한 구적법이다. 레오나르도 다빈치는 왼쪽 그림과 같이 정육각형을 이용하여 분할한 원을 직사각형으로 치환하여 원의 넓이를 계산하였다.<ref>Beckmann, Petr (1976), A History of Pi, St. Martin's Griffin, {{ISBN|978-0-312-38185-1}}</ref>
: 원의 넓이 = 원주율 × 반지름<sup>2</sup>

원주율이 보이는 복잡한 수열에 비해 이를 계산하는 방법은 의외로 단순하다. [[라이프니츠]]가 정리한 다음 계산식이 널리 알려져 있다.
:<math>\pi = 4 \left( \frac{1}{1} -  \frac{1}{3} +  \frac{1}{5} -  \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \frac{1}{11} + \frac{1}{13} - \frac{1}{15} + \frac{1}{17} - \frac{1}{19} + \frac{1}{21} - \frac{1}{23} + \frac{1}{25} - \frac{1}{27} + \frac{1}{29} - \frac{1}{31} + \cdots \right) </math>

== 역사 ==
=== 고대 ===
고대의 여러 문화에서 원주율의 값으로 [[3]]이 쓰였다. 고대 [[메소포타미아]]에서도 원주율을 3으로 계산하였고<ref name="김흥식">김흥식, 세상의 모든지식, 서해문집, 2007, {{ISBN|89-7483-317-4}} 545-546쪽</ref>, [[구약성경]] 열왕기상 7장 23절과 역대하 4장 2절에는 직경과 둘레의 길이를 기술하여 원주율이 3정도 임을 알고 있었다고 추측된다. [[고대 중국]]의 수학책인 《[[구장산술]]》에서도 3을 원주율로 제시하였다. 《구장산술》에는 다음과 같은 문제가 실려 있다.<ref>과학동아 2006년 7월호, 원주율 π의 수수께끼</ref>
{| class="wikitable" style="border: 2px solid #eeeeee; margin: 0 0 1em 1em;"
!원문
!번역
|-
|今有圓田周三十步經十步問爲田幾何<br />答曰七十五步
|둘레가 30걸음, 지름이 10걸음인 원 모양의 밭이 있다면 넓이는 얼마인가? <br />답: 75걸음²
|-
|colspan=2| 원주율의 근삿값을 3.14로 할 때 오늘날의 계산은
:<math>\pi * 5^2 = 3.14 * 5^2 = 78.5</math>
|}
구장산술의 계산은 평균값으로 이루어져있다. (1) 원둘레가 30보인 경우 반지름은 30=2r*3.14 r=4.78 이경우의 면적은 71.74 (2) 지름이 10보인 경우 면적은 78.5. (1)과 (2)의 평균은 75보. 그러므로 구장산술의 계산이 부정확하다는 것은 잘못되었다.
[[파일:Hagalaz.jpg|섬네일|왼쪽|원에 내접하는 정육각형]]
구장산술에 실린 계산이 매우 부정확하다는 것은 왼쪽 그림을 보면 쉽게 알 수 있다. 지름이 1인 원에 내접하는 정육각형의 둘레는 3이고 실제 원의 둘레는 그것과는 차이가 상당하기 때문이다.<ref>장혜원, 청소년을 위한 동양수학사, 두리미디어, 2006, {{ISBN|89-7715-160-0}}, 71쪽</ref> 이는 [[고대]]에서부터 이미 널리 알려진 문제였고 값을 보다 정확하게 구하기 위한 노력이 계속되었다. [[고대 이집트]]에서는 원통형 바퀴를 굴려 직접 측정해 원주율을 계산하였는데 {{frac|256|81}}=3.16049……를 사용하였다.<ref name="김흥식" />

[[파일:Archimedes pi.svg|섬네일|원에 외접하는 다각형과 내접하는 다각형의 둘레를 이용한 아르키메데스의 원주율 계산]]
한편 기원전 3세기의 [[고대 그리스]] 수학자 [[아르키메데스]]는 근대 [[적분]]이 없었던 당시에 [[무한소]]라는 개념을 사용하였다. 그는 [[소거법]]을 사용하여 <math>\pi</math>의 [[근삿값]]을 계산하였다. 이 방법은 임의 차원의 미지항에 대해 [[함수의 극한|극한]]을 취하는 것으로, [[귀류법]]을 사용하여 동일한 계산을 반복하는 과정을 통해 해답을 얻는 것이다. 아르키메데스는 변이 매우 많은 [[다각형]]이 임의의 [[원 (기하학)|원]]에 내접하는 경우와 외접하는 경우를 비교하여 원주율을 계산하였다. 즉, 임의의 원의 둘레는 그것에 외접하는 다각형의 둘레보다 짧고 내접하는 다각형보다 길다. 이때 다각형의 변이 많아질수록 외접하는 경우와 내접하는 경우의 둘레 차는 작아지므로 원의 둘레에 근사한다. 즉, 지름이 d인 원에 내접하는 변의 개수가 n인 [[정다각형]]의 둘레 P<sub>n</sub>에 대해 다음과 같이 [[함수의 극한]]을 취하면 원주율을 얻을 수 있다.
:<math>\pi = \lim_{n \to \infty}\frac{P_{n}}{d}.</math>
아르키메데스는 정구십육각형을 이용하여 <math>\pi</math>의 값을 다음과 같이 계산하였다.<ref>나숙자, 친절한 도형 교과서, 부키, 2007, {{ISBN|89-6051-016-5}}, 243쪽</ref>
:<math>3 \frac{10}{71} < \pi < 3 \frac{1}{7} \approx 3.1408 < \pi < 3.1429 </math>
아르키메데스는 이 결과에 따라 <math>\pi</math>의 근삿값으로 3.1416을 제시하였다. 또한, 아르키메데스는 원의 면적이 <math>\pi r^2</math>임을 증명하였다. 아르키메데스는 자신의 저서 《구와 원기둥》에서 어떠한 크기가 주어지더라도 임의의 크기에 적당한 수를 곱하여 주어진 크기를 초과할 수 있다고 가정하였다. 이를 [[실수]]에서의 [[아르키메데스 성질]]이라고 한다.<ref>Kaye, R.W.. [http://web.mat.bham.ac.uk/R.W.Kaye/seqser/archfields "Archimedean ordered fields"] {{웹아카이브|url=https://web.archive.org/web/20090316065753/http://web.mat.bham.ac.uk/R.W.Kaye/seqser/archfields}}. web.mat.bham.ac.uk. Retrieved 2009-11-07.</ref>

중국의 [[삼국시대 (중국)|삼국시대]] [[위 (삼국)|위나라]] 수학자 [[유휘]]는 《구장산술》에 주해를 달아 다시 출판하였는데, 아르키메데스와 같은 방법을 사용하여 원주율을 {{frac|157|50}}=3.14 로 계산하였다. 유휘가 계산한 원주율 근삿값은 오늘날에도 일상생활에서 사용한다.<ref>장혜원, 청소년을 위한 동양수학사, 두리미디어, 2006, {{ISBN|89-7715-160-0}}, 70-73쪽</ref>

2세기에 들어 중국의 장형은 원주율을 3.1623으로 계산하였고<ref>위안싱페이, 장연 역, 중국문명대시야 1, 김영사, 2007, {{ISBN|89-349-2736-4}}, 465쪽</ref> 5세기 중국 [[남북조 시대]] [[송 (남조)|송나라]]의 [[조충지]]는 3.141592로 계산하였다.<ref>중국사학회, 강영매 역, 중국역사박물관 4, 범우사, 2004년, {{ISBN|89-08-04302-0}}, 76쪽</ref> 독일에서는 1600년대 [[뤼돌프 판 쾰런]]이 소수점 이하 35자리까지 계산하였다.<ref name="사이언스타임즈" /> 컴퓨터를 도입하기 이전에 가장 긴 자리수의 원주율을 계산한 사람은 영국의 수학자 샹크스였다. 그는 15년이나 걸려 1873년까지 소수점 이하 707자리까지 원주율 값을 계산해냈다. 하지만 후에 그 계산은 528자리까지만 정확한 것으로 밝혀졌다.<ref name="국민일보">[http://news.kukinews.com/opinion/view.asp?page=4&sec=1320&arcid=0919859987&code=11171320 첨단과학과 원주율] {{웹아카이브|url=https://web.archive.org/web/20131212070634/http://news.kukinews.com/opinion/view.asp?page=4&sec=1320&arcid=0919859987&code=11171320}}, 국민일보, 2005-7-11</ref>

=== 컴퓨터를 통한 원주율 계산 ===
[[1949년]] 9월 최초로 [[컴퓨터]]를 이용하여 70시간에 걸쳐 소수점 아래 2,037자리까지 계산하였다. 원주율 계산에 컴퓨터를 도입한 이후 원주율 계산은 단순 [[알고리즘]]의 무한 반복에 불과한 작업이 되어 수학적 의미를 잃었다.<ref name="사이먼">사이먼 싱, 박병철 역, 페르마의 마지막 정리, 영림카디널, 2002, {{ISBN|89-85055-97-6}} 74-75쪽</ref> 이 계산은 종종 컴퓨터의 성능을 시험하기 위한 방법으로 사용한다.<ref name="국민일보" /> 2005년 일본 [[도쿄 대학]]의 가네다 야스마사 교수는 컴퓨터를 601시간 56분 동안 사용하여 원주율을 소수점 1,241,100,000,000자리까지 구하였다. 2009년 〈도쿄신문〉에 따르면, 일본 [[쓰쿠바 대학]] 계산과학연구센터는 17일, 슈퍼컴퓨터를 사용한 원주율 계산에서, 2조 5769억 8037만 자리수의 세계기록을 수립했다고 한다. (73시간 59분 소요)<ref>[http://www.jpnews.kr/sub_read.html?uid=1319&section=sc1 日, 쓰쿠바 대학 세계 신기록 원주율 자리수 계산], JPNews, 2009-8-18</ref><ref>[http://www.tsukuba.ac.jp/topics/20090819133359.html 円周率の計算けた数で世界記録を樹立] {{웹아카이브|url=https://web.archive.org/web/20120628024907/http://www.tsukuba.ac.jp/topics/20090819133359.html}}, 쓰쿠바 대학 홈페이지 (일본어)</ref> 그 이후 프랑스에서는 2조 7천억 자리까지 계산하였다.<ref>[http://www.sciencetimes.co.kr/article.do?todo=view&atidx=0000036918 파이(π), 2조7천억 자리까지 계산] {{웹아카이브|url=https://web.archive.org/web/20121209175021/http://www.sciencetimes.co.kr/article.do?todo=view&atidx=0000036918}}, 사이언스타임즈, 2010-1-19</ref> 2010년 8월 3일에는 일본의 회사원 곤도 시게루(近藤茂)가 소수점 이하 5조 자리까지 계산하였다. (90일 7시간 소요, 검증 기간 포함 / PC 사용)<ref>[https://n.news.naver.com/mnews/article/003/0003410598?sid=104 日회사원, 원주율 소수점 이하 5조 자리까지 계산 성공 :: 네이버 뉴스<!-- 봇이 따온 제목 -->]</ref> 2016년 11월 11일 스위스의 입자 물리학자인 페터 트뤼프(Peter Trüb)는 105일 동안 계산하여, 원주율을 소수점 이하 22조 4591억 5771만 8361자리(<math>\pi^e</math>조 개)까지 계산했다.<ref>Peter Trüb가 계산한 <math>\pi</math> 값 22조 자리 중 첫 1조 자리의 값은 http://pi2e.ch/blog/ 사이트에서 다운로드 받을 수 있다.</ref>

== 원주율의 값 ==
<math>\pi</math> 값의 소수점 아래 1,000자리 수는 다음과 같다.
<pre>
3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679
  8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196
  4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273
  7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094
  3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912
  9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132
  0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235
  4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859
  5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303
  5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989...
</pre>

== 수학적 특성 ==
원주율은 두 [[정수]]의 비로 나타낼 수 없는 [[무리수]]이다. 또한, [[계수]]가 [[유리수]]인 [[다항식]]의 [[근 (수학)|근]]이 될 수 없는 [[초월수]]이다.

=== 무리수 ===
{{참고|원주율의 무리성 증명}}
원주율이 [[무리수]]라는 것은 1761년에 [[요한 하인리히 람베르트]]가 증명했다.<ref>김흥식, 세상의 모든지식, 서해문집, 2007, {{ISBN|89-7483-317-4}} 547쪽</ref> 람베르트는 다음과 같이 [[탄젠트]] 함수의 [[연분수]] 전개식을 이용하여 이를 증명하였다.대표적인 무리수로는 파이와 루트가 있다.<ref>Laczkovich, Miklós (1997), [http://www.jstor.org/pss/2974737 "On Lambert's proof of the irrationality of π"], American Mathematical Monthly 104 (5): 439–443, ISSN 0002-9890</ref>
:<math>\tan(x) = \cfrac{x}{1 - \cfrac{x^2}{3 - \cfrac{x^2}{5 - \cfrac{x^2}{7 - {}\ddots}}}}</math>
<math>x</math>가 <math>0</math>이 아닌 [[유리수]]일 때 위에 전개된 연분수를 십진기수법으로 나타내면 언제나 순환하지 않는 소수이므로 항상 무리수이다. 한편, <math>\tan (\frac{\pi}{4})=1</math> 이므로 <math>\frac{\pi}{4}</math>는 반드시 무리수여만 한다. 따라서 <math>\pi</math> 역시 무리수이다.<ref>Zhou, Li; Markov, Lubomir (2010), [http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0911/0911.1933v1.pdf "Recurrent Proofs of the Irrationality of Certain Trigonometric Values"], American Mathematical Monthly 117 (4): 360–362</ref><ref group="주해"><math>\frac{\pi}{4}</math>는 [[라디안]] 값이며, [[도 (각도)|육십분법]]으로 나타내면 45°이다. 한편 탄젠트 함수의 값은 0일 때 0이 되며 <math>\frac{\pi}{2}</math>, 즉 90°일 때 무한이 된다.</ref>

=== 초월수 ===
<div class="thumb tright">
<div class="thumbinner" style="width:222px;"><math>e^{i \pi} + 1 = 0 \;\;\!</math>
<div class="thumbcaption">[[오일러 등식]]은 기초 수학의 여러 개념에서 빈번하게 등장한다.</div></div></div>
원주율이 [[초월수]]임은 [[오일러 등식]]을 이용하여 다음과 같이 증명할 수 있다.<ref>김태성, [http://www.papersearch.net/view/detail.asp?detail_key=10300189 e 및 π의 초월성과 고등학교에서 초월수 지도] {{웹아카이브|url=https://web.archive.org/web/20121107054942/http://www.papersearch.net/view/detail.asp?detail_key=10300189}}, 한국수학교육학회 A 통권 14권 2호, 1976년, 17-22</ref> 오일러 등식은,
:<math>e^{i \pi} + 1 = 0 \;\;\!</math> …… (1)<ref group="주해"><math>i = \sqrt{-1}</math></ref>
이다. 이 때 π가 정계수 대수방정식 <math>\zeta (x) = 0</math>의 근이라면 <math>\zeta (\pi) = 0</math>이다. 따라서 <math>\zeta (\pi) \cdot \zeta (- \pi) = 0</math> 역시 성립하여야 한다. 이제 y=iπ라 하면 π=-iy 이고 -π=iy 이므로, iπ는 다음 식으로 나타낼 수 있는 정계수 대수방정식을 만족시켜야 한다.
:<math>\zeta (\pi) \cdot \zeta (- \pi) = \Psi (y) = 0</math>
이제 <math>\Psi (y) = 0</math>을 ν차원의 방정식이라 하면 그 [[근 (수학)|근]]인 y<sub>1</sub>, y<sub>2</sub>,……, y<sub>ν</sub>에는 iπ가 존재하여야 하므로, 식 (1)에 따라 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:<math> (1+e^{y_{1}})(1+e^{y_{2}}) \cdots (1+e^{y_{\nu}})=0</math>
그런데 이러한 관계를 만족하는 대수방정식의 근이 유리수라고 가정하면 무한히 약분할 수 있어서, 이를 기약분수로 표현할 수 없는 모순이 생긴다.<ref group="주해">이와 방식이 같은 증명 가운데 <math>\sqrt{2}</math>가 무리수임을 증명한 [[에우클레이데스]]의 증명이 널리 알려져 있다.</ref> 유리수를 기약분수로 표현할 수 없다는 것은 유리수의 정의에 어긋나므로 π가 정계수 대수방정식 <math>\zeta (x) = 0</math>의 근이라는 최초의 가정이 잘못되었다고 볼 수밖에 없다. 즉, 원주율은 초월수이다. 자세한 증명은 링크한 주석을 참고하기 바란다.<ref>[http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~fritsch/pi.pdf Hilberts Beweis der Transzendenz der Ludolphschen Zahl π] {{웹아카이브|url=https://web.archive.org/web/20110716060726/http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~fritsch/pi.pdf}}(독일어)</ref>

=== 수열 ===
개요에서 밝혔듯이 원주율은 반복되지 않고 무한히 계속되는 수열을 이룬다. [[네덜란드]] 수학자 [[라위트전 브라우어르]]는 다음과 같은 질문을 제기하였다.<ref name="장우석">장우석, 수학 철학에 미치다, 숨비소리, 2008년, {{ISBN|89-93265-01-1}}, 174-178쪽</ref>
* 원주율 π = 3.141592……의 전개에서 계속되는 소수의 수열에 9가 연속적으로 100회 나타날까?

브라우어르는 이 수열이 무한히 계속되기 때문에 이 수열을 어느 정도까지만 확인한 결과만으로는 위 질문에 답할 수 없다는 점을 지적하였다. 실제 소수점 이하 762번째에서부터 수열 999999 가 출현한다. 이 수열은 [[파인만 포인트]]로 알려져 있으며 원주율의 소수점 이하 수열에서 확률 0.08%로 발견할 수 있는 것으로 알려져 있다.<ref>Arndt, J. & Haenel, C. (2001), [http://books.google.com/books?id=JlG5rFH7Ge0C&dq=Feynman&pg=PA3 Pi — Unleashed], Berlin: Springer, p. 3, {{ISBN|3-540-66572-2}}.</ref> 따라서 경험적 방법으로는 위 문제에 답할 수 없다. 브라우어르는 이러한 논의를 바탕으로 [[아리스토텔레스]]의 배중률<ref group="주해">배중률은 [[논리학]]의 기본 공리 가운데 하나로서 A이면서 동시에 A가 아닌 경우는 없다는 것이다. [[불 대수]]로 표현하면 <math>a \land {\neg}a = 0</math></ref> 은 유한한 개수를 대상으로 한 것에만 적용 수 있을 뿐 무한한 것에 적용할 수 없다고 결론지었다.<ref name="장우석" />

원주율에서 나타나는 수열은 무작위 [[표집]]을 사용해 만든 난수표의 성질을 보인다. 하지만, 실제 원주율의 수열이 완전한 무작위성을 보이는지는 증명되지 않았다.<ref name="sciencedaily.com" />

== 계산식 ==
원주율은 [[무리수]]이기 때문에 그 값은 근삿값으로밖에 알 수 없다. 대부분의 계산에는 3.14나 22/7 라는 근삿값을 사용해도 충분하다. 355/113은 외우기 좋고, 정밀도도 좋다. 좀 더 정밀한 기술의 계산에서는 3.1416 또는 3.14159 등을 사용하기도 한다. 기상 예보나 인공 위성 등의 계산에는 소수점 아래 30자리까지 나아간 근삿값을 사용하고 있다. 이렇게 불규칙적인 패턴을 가지는 원주율은 다음과 같이 규칙적인 수식을 이용하여 계산할 수 있다. 더 정확한 값을 얻으려면 수식을 연장하기만 하면 된다.<ref name="사이먼" />
:<math>\pi = 4 \left( \frac{1}{1} -  \frac{1}{3} +  \frac{1}{5} -  \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \frac{1}{11} + \frac{1}{13} - \frac{1}{15} + \frac{1}{17} - \frac{1}{19} + \frac{1}{21} - \frac{1}{23} + \frac{1}{25} - \frac{1}{27} + \frac{1}{29} - \frac{1}{31} + \frac{1}{33} - \cdots \right) </math>

위 식은 [[고트프리트 빌헬름 라이프니츠]]가 전개한 것으로 흔히 [[라이프니츠의 원주율 공식|라이프니츠의 공식]]이라고 부른다. 이 식 외에도 원주율을 계산하는 공식으로는 다음과 같은 것이 있다.<ref>나카다 노리오, 황소연 역, 피라미드에서 수학을 배우자 (수학의 도레미 3), 이지북, 2001년, {{ISBN|89-89422-62-0}}, 160-161쪽</ref>
:<math>\frac{\pi}{2} =  \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \prod_{n=1}^{\infty} \left( \frac{ 4 \cdot n^2 }{ 4 \cdot n^2 - 1 } \right) </math> …… [[월리스 공식]] [[1655년]]
:<math> \frac{\pi^2}{6} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{5^2} + \frac{1}{6^2} + \frac{1}{7^2} + \frac{1}{8^2} + \frac{1}{9^2} + \cdots </math> ……[[오일러의 곱셈 공식]] [[1735년]]<ref group="주해">이 식은 [[바젤 문제]]의 해답으로 후일 [[리만 제타 함수]]로 일반화되었을 때 <math>\zeta(2)</math>에 해당하는 급수이다.</ref>

[[17세기]]의 프랑스 수학자 [[프랑수아 비에트]]는 다음과 같은 무한급수로 원주율을 계산하였다.<ref>Pierre Eymard,Jean Pierre Lafon, [http://books.google.co.kr/books?id=qZcCSskdtwcC&pg=PA44&dq=viete+pi&hl=ko&ei=q5tMTa_6JcOrcc_CzfsF&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1&ved=0CCsQ6AEwAA#v=onepage&q&f=false The number π], 45p.</ref><ref>[https://books.google.co.kr/books/about/Opera_mathematica_opera_atque_studio_Fra.html?id=JmBDAAAAcAAJ&redir_esc=y(P400L17,Variorum Opera mathematica ... opera atque studio Francisci à Schooten, Leydensis, ...] - P400L17,Variorum de rebus Mathèmaticis Reíponíorum Liber VIII</ref>
: <math> \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} \cdot\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2} \cdots = \frac{2}{\pi}</math>

또한, [[스털링 근사]]를 사용해 원주율을 유도할 수도 있다.<ref>Lennart Berggren,Jonathan M. Borwein,Peter B. Borwein, [http://books.google.co.kr/books?id=QlbzjN_5pDoC&pg=PA412&dq=Stirling's+approximation+pi&hl=ko&ei=qZ1MTd7EEsLIcaPYse0L&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1&ved=0CCsQ6AEwAA#v=onepage&q&f=false Pi, a source book]</ref>
: <math> n! \approx \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n </math>

원주율은 다음과 같이 [[연분수]]로 표현할 수 있다.<ref>Lange, L. J. (May 1999). [http://www.jstor.org/stable/2589152 "An Elegant Continued Fraction for π"]. The American Mathematical Monthly 106 (5): 456–458. doi:10.2307/2589152</ref>
: <math> \frac{4}{\pi} = 1 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{4}{5 + \cfrac{9}{7 + \cfrac{16}{9 + \cfrac{25}{11 + \cfrac{36}{13 + \ddots}}}}}} </math>

[[1996년]] 데이빗 베일리는 피터 보어와인, 시몽 플루프와 공동으로 π에 관련된 새로운 무한급수를 발견했다.

: <math> \pi = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{16^k}
\left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6}\right)</math>

이 식을 이용하면 [[2진수]] 그리고 [[16진수]]로 표기한 π값의 소수점 아래 ''n''자리 값을 ''n''-1째 자리까지 구하지 않고 바로 계산해 낼 수 있다. [https://web.archive.org/web/20030501201647/http://www.nersc.gov/~dhbailey/ 베일리의 홈페이지] 에선 다양한 [[프로그래밍 언어]]를 이용해 구현한 실제 예를 볼 수 있다.

== 적용 ==
원주율은 [[수학]]과 [[물리학]] 등 여러 분야에서 다양하게 적용한다.
=== 기하학 ===
[[아르키메데스]]는 [[원 (기하학)|원]]과 [[구 (기하학)|구]]의 다음과 같은 성질을 증명하였다.<ref>{{서적 인용|성=Stein|이름=Sherman|번역자=이우영|제목=아르키메데스|출판사=경문사|연도=2006|isbn=89-7282-926-9|쪽=145-168}}</ref>
* 반지름 ''r'' 인 원의 [[둘레]]：<math>C=2\pi r </math>
* 반지름 ''r'' 인 원의 [[넓이]]：<math>A=\pi r^2 </math>
* 반지름 ''r'' 인 구의 [[부피]]：<math>V=\frac {4}{3} \pi r^3</math>
* 반지름 ''r'' 인 구의 [[겉넓이]]：<math>A=4\pi r^2</math>

한편, 원은 [[이심률]]이 0인 [[타원]]으로 간주할 수 있으며 이에 따라 타원 방정식은 일반적으로 다음과 같이 표현한다.<ref name="박은순">{{서적 인용
|저자=박은순
|제목=쉬운 미분·적분학
|출판사=숭실대학교출판부
|날짜=2008
|isbn=89-7450-235-6
}}</ref>{{rp|70}}
:<math>\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 </math>
이 때 타원의 넓이를 A라 하면 다음과 같이 계산할 수 있다.
:<math>A=\pi ab </math>

[[파일:Angle radian.svg|섬네일|라디안의 정의]]
각의 크기를 나타내는 무차원 단위인 [[라디안]]은 오른쪽 그림과 같이 정의하여 반지름과 [[호 (기하학)|호]]의 길이가 같을 때 1라디안이 된다. 따라서, 원 전체는 2π라디안이고 이를 [[도 (각도)|도]]로 환산하면 다음과 같다.<ref name="박은순" />{{rp|119}}
* π[[라디안]] = 180°

=== 바젤 문제 ===
1687년 [[스위스]]의 [[바젤]]의 수학 교수였던 [[야코프 베르누이]]와 [[요한 베르누이]] 형제는 [[조화급수]]가 [[함수의 극한#발산|발산]]한다는 사실을 증명하였다. 그러나, 조화급수의 각 분모를 제곱한 다음 식을 닫힌 형식으로 나타내는 것에는 실패하였으며 논문의 끝에 이 문제를 해결하였다면 알려주기 바란다고 적었다.
:<math> \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots </math>
당대의 유명한 수학자들이 이 문제를 풀기 위해 시도하였으나 결국 실패하였고, 이 문제는 [[바젤 문제]]로 알려지며 [[해석학 (수학)|해석학자]]의 악몽으로까지 불리게 되었다. 이를 해결한 사람은 [[레온하르트 오일러]]로 1735년에 이 급수의 값이 다음과 같다는 것을 증명하였다.
:<math> \frac{\pi^2}{6} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots </math>
후일 이 급수는 다음과 같은 일반식으로 표현되었는데 이것이 [[리만 제타 함수]]이다.<ref>존 더비셔, 박병철 역, 《리만 가설》, 승산, {{ISBN|978-89-88907-88-7}}, 99-122쪽</ref>
:<math>

\!</math>
리만 제타 함수는 s가 짝수일 때 위 식을 이용하여 그 값을 쉽게 계산할 수 있으나 홀수일 때는 자명하지 않다. 1978년 s가 3일 때 무리수로 수렴하는 것이 증명되었다. 이 수렴값은 [[아페리 상수]]라고 한다.<ref>[http://rjlipton.wordpress.com/2010/07/11/proving-a-proof-is-a-proof/ Proving A Proof Is A Proof « Gödel’s Lost Letter and P=NP]</ref>

=== 복소수 계산 ===
[[파일:Euler's formula.svg|섬네일|[[복소평면]]에 그린 [[오일러의 공식]]. 각 ''φ'' 가 ''π'' 라디안(180°)으로 증가하는 동안 오일러 등식이 성립함을 보인다.]]

[[복소수]] <math>z</math>는 [[극좌표계#복소수 체계|극좌표계]]를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.<ref>Smith, Julius O.. [https://ccrma.stanford.edu/~jos/mdft/Euler_s_Identity.html "Euler's Identity"], Mathematics of the Discrete Fourier Transform (DFT). W3K Publishing. 0-9745607-0-7. 2011년 2월 5일에 확인.</ref>

:<math>z = r\cdot(\cos\varphi + i\sin\varphi)</math>

[[복소해석학]]에서 π는 복소수 변수가 [[지수 함수]]에서 보이는 행동과 연관이 있으며 [[오일러의 공식]]에 따라 다음과 같이 표현할 수 있다.

:<math>e^{i\varphi} = \cos \varphi + i\sin \varphi \!</math>

''i''는 [[허수 단위]]이기 때문에 ''i''<sup>2</sup> = −1 이므로 이를 π[[라디안]](=180°)과 함께 [[자연로그]]의 밑 [[자연로그의 밑|''e'']]의 지수로 표현하면 다음과 같은 [[오일러 등식]]을 얻는다.

:<math>e^{i \pi} = -1.\!</math>

따라서 ''n'' 번째 [[단위근]]은 다음과 같다.
:<math>e^{2 \pi i k/n} \qquad (k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\dots, n - 1)</math>

이제 [[가우스 적분]]으로 나타내면,
:<math>\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}</math>

이 결과는 [[반정수]]의 [[감마 함수]]가 √π의 유리수 곱임을 뜻한다.

=== 확률과 통계 ===
[[파일:Cauchy pdf.svg|섬네일| [[확률 밀도 함수]] f(x; x_0, γ )에 대한 [[코시 분포]] ]]
[[확률]]과 [[통계]]에서 원주율이 등장하는 정리들은 다음과 같은 것들이 있다.
* [[정규분포]]를 따르는 확률분포의 [[평균]]을 μ, [[표준편차]]를 σ라 하면, [[가우스 적분]]의 값을 상쇄하기 위해 정규분포의 확률 밀도 함수는
:<math>f(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{-\frac{(x-\mu )^2}{2\sigma^2}}</math>
이 된다.<ref>[http://mathworld.wolfram.com/GaussianIntegral.html Gaussian Integral], MathWorld, 2004-10-07 확인</ref>
* [[코시 분포|표준 코시 분포]]의 확률 밀도 함수:<ref>[http://mathworld.wolfram.com/CauchyDistribution.html Cauchy Distribution], MathWorld, 2007-11-08 확인</ref>
:<math>f(x) = \frac{1}{\pi (1 + x^2)}</math>
: 참고로, 모든 확률 밀도 함수는 다음과 같이 적분한다.<ref>[http://mathworld.wolfram.com/ProbabilityFunction.html Probability Function] {{웹아카이브|url=https://web.archive.org/web/20110815205500/http://mathworld.wolfram.com/ProbabilityFunction.html}}, MathWorld, 2007-11-08 확인함</ref>
:<math>\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1</math>

[[조르주루이 르클레르 드 뷔퐁]]이 제기한 [[뷔퐁의 바늘]] 문제는 원주율의 근삿값을 구하는 경험주의적인 방법으로 거론된다. 길이가 L인 바늘을 일정 간격으로 그린 평행선에 떨어뜨린다고 가정해 보자. 이 때 평행선의 간격 S가 바늘의 길이보다 크다고 하면, 바늘을 떨어뜨린 횟수 n번에 대해 바늘이 평행선 밖으로 나간 횟수 x번(단, x>0)에는 [[몬테카를로 방법]]에 의해 다음과 같은 관계가 있다.<ref>Weisstein, Eric W (2005-12-12). [http://mathworld.wolfram.com/BuffonsNeedleProblem.html "Buffon's Needle Problem"]. MathWorld. Retrieved 2007-11-10.</ref>
: <math>\pi \approx \frac{2nL}{xS}.</math>
즉, 뷔퐁의 바늘 문제에서 바늘을 떨어뜨리는 횟수가 매우 많아지면 바늘이 평행선을 벗어나는 횟수에 대한 바늘을 떨어뜨린 전체 횟수의 비는 원주율에 근사한다.

=== 물리학 ===
[[파일:Angularvelocity.svg|섬네일|회전하는 물체에는 [[각속도]]가 있다]]
원주율 자체는 [[물리 상수]]가 아니지만 [[물리학]]의 여러 분야에서 두루 사용한다. 이는 [[자연]] [[현상 (철학)|현상]]의 상당수가 [[원 (기하학)|원]]과 관계가 있기 때문이다. 예를 들어 회전수를 일정하게 유지하는 등속원운동에서 [[각속도]]와 [[원주속도]]는 다음과 같이 계산할 수 있다.<ref>문성수, 정설 재료역학, 기전연구사, 2000년, {{ISBN|89-336-0539-8}}, 52-53쪽</ref>
: 각속도를 ω (= θ / 초), 분당 회전수를 N이라 하면
: <math>\omega = \frac{2 \pi N}{60}</math>
: 이때, 반지름을 r이라 하면 원주속도 v는
: <math>v = r \cdot \omega = \frac{2 r \pi N}{60}</math>

이 외에 물리학에서 원주율을 사용하는 경우는 다음과 같다.
* [[불확정성 원리]]에 따라, [[양자 역학]]적인 [[물리량]]은 동시에 정확히 관찰할 수 없다. 예를 들어 입자의 특정 위치를 Δ x라 하고 이 때의 [[운동량]]을 Δ p 라 하면, 이 둘의 크기를 둘 다 정확히 관찰할 수는 없으며 다음 식을 사용해 확률적으로만 계산한다.<ref>존 테일러, 강희재 외 역, 현대물리학, 교보문고, 2005, {{ISBN|89-7085-543-2}}, 242-244쪽</ref>
: <math> \Delta x \Delta p  \ge \frac{h}{4\pi} </math>

* [[아인슈타인]]의 [[일반 상대성 이론]]에 의한 [[아인슈타인 방정식]]은 다음과 같이 표현한다.<ref>Einstein, Albert (1916). [http://www.alberteinstein.info/gallery/gtext3.html "The Foundation of the General Theory of Relativity"] {{웹아카이브|url=https://web.archive.org/web/20060829045130/http://www.alberteinstein.info/gallery/gtext3.html}} (PDF). Annalen der Physik.</ref>
:<math>R_{\mu \nu} - {1 \over 2}g_{\mu \nu}\,R + g_{\mu \nu} \Lambda = {8 \pi G \over c^4} T_{\mu \nu}</math>
: 여기서 <math>R_{\mu \nu}\,</math>은 [[리치 곡률]], <math>R\,</math> 은 [[스칼라 곡률]], <math>g_{\mu \nu}\,</math>는 [[계량 텐서]], <math>\Lambda\,</math>는 [[우주 상수]], <math>G\,</math>는 [[중력 상수]], <math>c\,</math>는 [[빛의 속도|광속]], 그리고 <math>T_{\mu \nu}\,</math>는 [[에너지-운동량 텐서]]이다.

== 같이 보기 ==
* [[원주율의 무리성 증명]]
* [[파이의 날]]
* [[파인만 포인트]]
* [[라디안]]
* [[라이프니츠의 원주율 공식]]
* [[그레고리수]]
* [[원]]

== 주해 ==
<references group="주해" />

== 참고 문헌 ==
{{각주|2}}

== 외부 링크 ==
* {{위키공용분류-줄}}
* {{네이버캐스트|1094|산학의 원주율}}
* {{네이버캐스트|204|원주율 π}}
* [http://math.bab2min.pe.kr/pi 온라인 원주율 계산기]
* {{언어링크|en}} [http://www.gutenberg.net/etext/50 Project Gutenberg E-Text containing a million digits of Pi] {{웹아카이브|url=https://web.archive.org/web/20040701012534/http://www.gutenberg.net/etext/50}}
* {{언어링크|en}} [http://mathworld.wolfram.com/PiFormulas.html From the Wolfram Mathematics site lots of formulae for π]
* {{언어링크|en}} [http://www.angio.net/pi/bigpi.cgi 원주율에 관한 것]
* {{언어링크|en}} [http://pi2e.ch/blog/ Peter Trüb가 계산한 원주율 - 소수점 아래 22조 자리까지 계산]

{{무리수}}
{{수학 상수}}
{{전거 통제}}

[[분류:원주율| ]]
[[분류:비 (수학)]]
[[분류:수학 상수]]
[[분류:초월수]]
[[분류:무리수]]
[[분류:복소해석학]]