원자 (순서론) 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[순서론]]에서 '''원자'''(原子, {{llang|en|atom}})는 [[최소 원소]]를 덮는 원소이다.

== 정의 ==
[[부분 순서 집합]] <math>(P,\le)</math>의 임의의 두 원소 <math>a,b\in P</math>에 대하여, 이항 관계 <math><:</math>를 다음과 같이 정의하자.
:<math>a<:b\iff a<b\land\nexists c\in P\colon a<c<b</math>
"<math>a<:b</math>는 "<math>b</math>가 <math>a</math>를 '''덮는다'''({{llang|en|cover}})"고 읽는다.

[[최소 원소]]를 갖는 [[부분 순서 집합]]의 '''원자'''는 [[최소 원소]]를 덮는 원소이다.

=== 원자 집합 ===
부분 순서 집합 <math>(P,\le)</math>가 다음 조건들을 만족시키면, '''원자 집합'''(原子集合, {{llang|en|atomic set}})이라고 한다.
* [[최소 원소]] <math>\bot\in P</math>를 갖는다.
* 임의의 원소 <math>a\in P</math>에 대하여, 만약 <math>a\ne\bot</math>이라면 <math>b\le a</math>인 원자 <math>b</math>가 존재한다.

부분 순서 집합 <math>(P,\le)</math>가 다음 조건들을 만족시키면, '''상대적 원자 집합'''({{llang|en|relatively atomic set}})이라고 한다.
* 임의의 원소 <math>a,b\in P</math>에 대하여, <math>a<b</math>라면 <math>[a,b]=\{c\in P\colon a\le c\le b\}</math>는 원자 집합이다.

부분 순서 집합 <math>(P,\le)</math>가 다음 조건들을 만족시키면, '''원자성 집합'''({{Llang|en|atomistic set}})이라고 한다.
* [[최소 원소]] <math>\bot\in P</math>를 갖는다.
* 임의의 원소 <math>a\in P</math>에 대하여, <math>\sup S_a=a</math>인, 원자들의 집합 <math>S_a</math>가 존재한다.

=== 공원자 ===
거꾸로 [[최대 원소]] <math>\top</math>을 가진 부분 순서 집합에 대해서는 '''공원자'''(原子coatom)라는 개념 및 이에 따른 집합 개념들을 정의할 수 있다. 즉, [[부분 순서 집합]] <math>(P,\le)</math>의 '''공원자'''는 반대 순서 집합 <math>P^{\operatorname{op}}=(P,\ge)</math>의 원자이다. 마찬가지로, '''공원자 집합'''({{llang|en|coatomic set}}) · '''상대적 공원자 집합'''({{llang|en|relatively coatomic set}}) · '''공원자성 집합'''({{llang|en|coatomistic set}})은 그 반대 순서 집합이 원자 집합 · 상대적 원자 집합 · 원자성 집합인 부분 순서 집합이다.

== 성질 ==
[[최소 원소]]를 갖는 상대적 원자 집합은 원자 집합이다. 모든 [[유한 집합|유한]] [[부분 순서 집합]]은 상대적 원자 집합이며, 따라서 [[최소 원소]]를 갖는 유한 부분 순서 집합은 원자 집합이다.

== 예 ==
[[자연수]](음이 아닌 정수)의 [[전순서 집합]] <math>(\mathbb N,\le)</math>는 [[최소 원소]] 0을 가지며, 이 부분 순서 집합의 원자는 1밖에 없다. 이는 원자 집합이며, 상대적 원자 집합이며, 또한 원자성 집합이다. 보다 일반적으로, 모든 [[정렬 집합]]은 원자 집합이며, 상대적 원자 집합이며, 원자성 집합이다.

양의 정수의 [[약수]] 관계 <math>\mid</math>에 대한 [[격자 (순서론)|격자]] <math>(\mathbb Z^+,\mid)</math>는 최소 원소 0을 가지며, 원자는 [[소수 (수론)|소수]]이다. 이 집합은 역시 원자 집합이며, 상대적 원자 집합이지만 원자성 집합이 아니다. 예를 들어, 4는 원자들의 집합의 상한으로 나타낼 수 없다.

집합 <math>S</math>의 [[멱집합]] <math>(\mathcal P(S),\subseteq)</math>은 최소 원소 <math>\varnothing</math>을 갖고, 원자들은 크기가 1인 부분 집합들이다. 이 역시 원자 집합이며, 상태적 원자 집합이며, 원자형 집합이다.

음이 아닌 실수의 [[전순서 집합]] <math>(\mathbb R_{\ge0},\le)</math>은 최소 원소 0을 갖지만, 원자를 갖지 않는다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용 | last=Davey | first=B.A. | 공저자=H. A. Priestley |title=Introduction to lattices and order | 판=2판 | publisher=Cambridge University Press | isbn=978-0-521-78451-1 | 날짜=2002|doi=10.1017/CBO9780511809088|zbl=1002.06001|언어=en}}

[[분류:순서론]]